左加亭

等腰三角形是特殊的三角形，其特殊性質在解決實際問題時，有著廣泛的應用．下面舉幾個例子，與大家共同探討．

例1一艘輪船由南向北航行，速度為15海里/時.在A處測得小島P在輪船的北偏西15°方向上.兩小時后，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上.已知在小島P周圍18海里內有暗礁.若輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？

解析：根據題意畫出圖形如圖1，則AB=15×2=30（海里）．

過P作PC⊥AB交AB的延長線于點C，由在A點、B點測得的方位角可知∠PAB=15°，∠PBC=30°．

∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°-15°=15°．

∴AB=PB．

在Rt△BCP中，

∵∠PBC=30°，∴PC=1/2PB=1/2AB=15（海里）．

即點C距小島P的距離只有15海里，而小島周圍18海里內有暗礁，所以該船繼續(xù)向北航行有觸礁的危險．

規(guī)律總結：解此類問題，應首先正確畫出圖形，然后將實際問題轉化成數學問題．作垂線是解這類題常用的方法之一.

例2某中學學生在工廠學習時，看到工人師傅在材料的邊角處畫直角采用“三弧法”．如圖2所示，（1）畫線段AB，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，相交于點C；（2）以C為圓心，仍以AB長為半徑畫弧，交AC的延長線于D；（3）連接DB，則∠ABD為直角．這是為什么呢？

解析：易知△ABC為等邊三角形，△BCD是等腰三角形，進而可得一方程，解出即可．

由畫法可知，AB=AC=BC=CD．

∵ AC=BC，∴∠A=∠1．

∵CB=CD，∴∠D=∠2．

∵∠A+∠1+∠2+∠D=180°，

∴2∠1+2∠2=180°，∠1+∠2=90°，即∠ABD=90°．

規(guī)律總結：在三角形中求角的度數，有時還可借助于“等邊三角形的每個角都是60°”來解決．比如本題，可知∠1=60°.又△BCD為等腰三角形，且易知∠BCD=120°，故∠2=30°.相加即得結論.

例3東風汽車公司沖壓汽車零件后剩余的廢料都是形狀為等腰三角形的小鋼板，如圖3，其中AB=AC.該廠為了降低生產成本，變廢為寶，把這些廢料加工成紅星農業(yè)機械廠粉碎機上的零件，銷售給紅星農業(yè)機械廠，但要求零件的形狀都要是矩形．

現(xiàn)在要求把如圖3所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每個鋼板切割的次數最多為兩次（切割的損失忽略不計）．

（1）請你設計兩種不同的切割焊接方案，并用簡要的文字加以說明.

（2）若該三角形廢料切割后能焊接成正方形零件（要求只切割一次），則該三角形應滿足什么條件？

解析：等腰三角形切割后焊接成矩形的方法很多，但解此題時要注意切割次數最多為兩次的條件．

（1）方案一：如圖4所示．

方案二：如圖5所示（虛線為切割線，M、N分別為AB、AC中點，MP⊥BC）．

（2）若要把三角形廢料只切割一次后焊接成正方形零件，則三角形應為等腰直角三角形．

規(guī)律總結：應用幾何知識設計圖形，要勤于動腦，可能的情況下要善于動手操作．