臺球桌上的軸對稱變換

沈植東　張家德

隨著丁俊暉在世界斯諾克比賽中的一舉成名和斯諾克中國公開賽的成功舉辦，越來越多的中國青少年都喜歡上了臺球這一高雅的體育運動.下面，我們一起來解讀其中包含的數(shù)學知識.

先解釋一個臺球常用名詞，就是“庫”．臺球桌面的四周用臺呢包覆、用富有彈性的橡膠條襯里的邊岸，英文名叫cushion，我國臺球界稱之為“庫”（其英文的譯音）．

利用庫來解救球，就是當擊打主球無法直接擊中目標球時，擊打主球，通過庫的反彈擊中目標球.其中要用到反射角等于入射角和軸對稱變換等知識.因為臺球桌有四個邊庫，因此解球就分一庫解球、二庫解球、三庫解球和四庫解球等多種情況.其實，只要掌握了一庫解球的原理，其他多庫解球也就容易理解了.

1. 一庫解球

如圖1所示，要使主球A通過上邊庫反彈擊中目標球B，可以作出目標球B關于上邊庫的對稱點B1，只要對準目標球B的對稱點B1，也就是對準AB1與上邊庫的交點C擊打主球A，就能實現(xiàn)一庫解球了．

2. 二庫解球

在臺球運動中，當障礙球較多時，經常遇到一庫不能解球的局面，這時就要用二庫進行解球．由于臺球桌上各種形勢都會出現(xiàn)，所以視情況的不同會采用以下兩種二庫解球方法.

（1）相鄰二庫解球.

如圖2，主球A要通過上邊庫和右邊庫擊中目標球B，可對準目標球B的二次對稱點B2，擊打主球A，就能實現(xiàn)二庫解球.其中B和B1關于右邊庫對稱，B1和B2關于上邊庫對稱.而點C是AB2與上邊庫的交點，點C1是CB1與右邊庫的交點.也可以如圖3所示，利用下邊庫和右邊庫解球.

主球在兩個邊庫上的反彈點C和C1也可以如圖4所示來找到.其中點A和點A1關于上邊庫對稱，點B和點B1關于右邊庫對稱.點C和C1是A1B1與兩邊庫的交點.

（2）對折二庫解球（N形解球）.

二庫解球的又一種形式是利用上下庫（或左右?guī)欤┑摹皩φ邸眮韺崿F(xiàn)的，稱為N形解球.如圖5所示．其中A、A1關于上邊庫對稱，B、B1關于下邊庫對稱.A1B1交上邊庫于點C，交下邊庫于點C1.

3. 三庫解球

臺球的三庫解球比二庫解球更復雜.一般人認為難以確定解球反彈點，因此都望而卻步． 實際上，首先確定主球A的對稱點A1，再確定目標球B的對稱點B1和二次對稱點B2，就不難找到三個邊庫上的反彈點了．如圖6所示.

4. 四庫解球

在圖7中，主球A和目標球B各處一方．這種球勢可用主球和目標球各自的二次對稱點來確定反彈點的位置，實現(xiàn)四庫解球．

不過，四庫或更多的“庫”的解球，在實際中意義不大，因為單憑肉眼難以確定反彈點.當然，做為數(shù)學問題，更多“庫”的解球，理論上也可以一步一步精確地確定下來.

通過上面的解讀，相信同學們對軸對稱變換在臺球里的應用有了一定的了解.這里的關鍵就是：找出主球、目標球關于有關庫的對稱點，必要時，再作出這些對稱點關于有關庫的對稱點，連接適當?shù)狞c就可得到要求的擊球線路了.下面請大家試著完成下列題目，進一步加深對軸對稱變換的理解.

練習

1. 如圖8，網格表示臺球桌面，小球從（7，2）處被擊打，經過反彈，那么該球擊中x軸上的點的坐標是__.

2. 如圖9，ABCD是一臺球桌面，有白色、黑色球分別處在M、N兩點位置上.要怎樣撞擊白球，經臺邊AB、BC連續(xù)反彈后，能準確擊中黑球？試畫出擊球線路.不寫作法，保留作圖痕跡.

3. （2006年·蘇州）臺球是一項高雅的體育運動，其中包含了許多物理學、幾何學知識.圖10所示的是一個臺球桌面，目標球F與主球E之間有一個G球阻擋.

擊球者想通過擊打E球，讓E球先撞擊球臺的AB邊，經過一次反彈后再撞擊F球，他應該將E球打到AB邊上的哪一點？請作出這一點，并作出E球的運行路線（不寫作法，保留作圖痕跡）.