劉玉東
三角形的角平分線是三角形的主要線段之一.它在幾何的計算或證明中,起著“橋梁”的作用.那么,如何利用三角形的角平分線解題呢?下面舉例說明.
一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形
此情形下可構(gòu)造兩種基本圖形,如圖1、圖2所示.
△ABC中,AD是角平分線.如圖1,以AD為軸翻折,使點C落在AB上(即在AB上截取AE=AC),得△ACD≌△AED.如圖2,以AD為軸翻折,使點B落在AC的延長線上(即延長AC到E,使 AE=AB),得△ABD≌△AED.
例1如圖3,在△ABC中,AD平分∠BAC,且AB+BD=AC.求∠B ∶∠C的值.
解法1:如圖4,在AC上截取AE=AB,連接DE.
則△ABD≌△AED(SAS).
∴∠B=∠AED,BD=ED.
又∵AB+BD=AC,
∴CE=BD=ED.
∴∠C=∠EDC.
∴∠B=∠AED=2∠C.
∴∠B∶∠C=2∶1.
解法2:延長AB到E,使AE=AC ,連接DE.請讀者一試.
二、“角平分線+垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形
1. 根據(jù)角平分線的性質(zhì),自角平分線上任一點向角的兩邊作垂線,得兩個全等的直角三角形.
2. 自角的一邊上的一點作角平分線的垂線并延長,與另一邊相交,則截得一個等腰三角形.
例2如圖5,在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.
求證:∠A+∠C=180°.
證明:過點D作DE⊥AB,交BA延長線于點E;作DF⊥BC,交BC于點F .如圖6.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF .
又∵AD=CD,
∴Rt△EAD≌Rt△FCD(HL).
∴∠C=∠EAD.
∵∠EAD+∠BAD=180°,
∴∠C+∠BAD=180°.結(jié)論得證.
評注:本題也可通過“以角平分線為軸翻折”的思路解:沿BD翻折△BDC得△BDC′,則△ADC′是等腰三角形,∠C=∠C′=∠EAD.
例3如圖7,等腰Rt△ABC中,∠A=90°.∠B的平分線交AC于D,過C作BD的垂線交BD的延長線于E.求證:BD=2CE .
證明:如圖8,延長CE交BA的延長線于點F.
∵BE是∠B的平分線,BE⊥CF,
∴∠BCF=∠F.
∴△FBC是等腰三角形.
∴CE=FE.
∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠ABD=∠ACF(因在△BAD與△CED中已有兩角相等),∠BAD=∠CAF=90°,
∴Rt△BAD≌Rt△CAF.
∴BD=CF=2CE.
評注:上面證法是構(gòu)造出2CE,也可構(gòu)造出1/2BD來證:自D作DF∥BC交AB于F.易知△AFD是等腰三角形,AF=AD,故FB=DC.易知△BDF是等腰三角形,F(xiàn)D=FB=DC.作FG⊥BD于G,則DG=1/2BD.由∠CDE=∠BDA=90°-∠ABD,∠DFG=∠BFG=90°-∠ABD,易證△DFG≌△CDE(AAS).
三、“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形
1. 自角平分線上任一點作角的一邊的平行線與另一邊相交,得等腰三角形.
2. 自角的一邊上任一點作角平分線的平行線與另一邊的延長線相交,得等腰三角形.
例4如圖9,在△ABC中,∠B和∠C的平分線相交于點F.過F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E.若BD+EC=9,則線段DE的長為().
A. 9B. 8C. 7D. 6
解:∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠FBC .
∵∠FBC=∠FBD,
∴∠DFB=∠FBD.
∴DF=DB.
同理可證EF=EC .
∵DF+EF=DE,
∴BD+EC=DE,則DE=9. 故應(yīng)選A.
例5如圖10,△ABC中,AD是∠BAC的平分線.E是BC中點.EF∥AD,交AB于M,交CA的延長線于F.求證:BM = CF.
證明:作BN∥FC交FE的延長線于N.如圖11.
∵E是BC中點,
∴△BEN≌△CEF(ASA).
∴CF=BN.
易知△AFM為等腰三角形,從而△BMN也為等腰三角形(∠BNM=∠MFA=∠FMA=∠BMN),BM=BN.
∴BM = CF.
總之,涉及三角形角平分線問題的輔助線的添加,一般不外乎以上三種情形.只要根據(jù)題目所給的條件,靈活選用上述三種構(gòu)造方法,問題一般不難獲得解決.
中學(xué)生數(shù)理化·八年級數(shù)學(xué)人教版2008年7期