唐高明

同類項(xiàng)及其合并是整式運(yùn)算的基礎(chǔ),因此同學(xué)們要認(rèn)真學(xué)好這部分內(nèi)容. 在學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要按如下三步曲來做.

準(zhǔn)確理解同類項(xiàng)的意義

所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).所有的常數(shù)都是同類項(xiàng),理解同類項(xiàng)的意義,關(guān)鍵要抓住以下幾點(diǎn).

(1) 同類項(xiàng)概念是對幾個相比較的情況下建立的,如:2a?-3a與a是同類項(xiàng);2a與-3a2不是同類項(xiàng).因此單獨(dú)一項(xiàng)就不能說是或不是同類項(xiàng).

(2) 判斷若干項(xiàng)是否為同類項(xiàng),關(guān)鍵就是看這些項(xiàng)是否符合同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn):①所含的字母相同;②相同字母的指數(shù)也分別相同. 兩者缺一不可. 如3a2b與3ab2不是同類項(xiàng),因?yàn)樗鼈冎痪邆洧?不具備②;3a2b2與-3a2b2c也不是同類項(xiàng),因?yàn)樗鼈儾痪邆洧?

(3) 所有同類項(xiàng)都是同類項(xiàng),如3與1,-2與,6與等都是同類項(xiàng).

(4) 同類項(xiàng)與字母的排列順序無關(guān),如4x3y2與-2y2x3是同類項(xiàng).

(5) 同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān),n個同類項(xiàng),去掉它們的系數(shù)后(即系數(shù)都看做1),余下的部分完全相同. 如-x3y,2x3y與 - x3y去掉系數(shù)后,余下的都是x3y,這就是同類項(xiàng)中的類,如2ab的類是ab,-2ab2的類是ab2. 這樣,同類項(xiàng)可以理解為“類相同的項(xiàng)”.

熟練進(jìn)行同類項(xiàng)的合并

在代數(shù)式中,如果出現(xiàn)了同類項(xiàng),那么就可以把這些同類項(xiàng)合并為一項(xiàng),即合并同類項(xiàng). 如-7a2b + 2a2b,根據(jù)乘法對加法的分配律有-7a2b + 2a2b = (-7 + 2)a2b = - 5a2b. 可見,合并同類項(xiàng)的理論根據(jù)就是逆用分配律,由此可得出合并同類項(xiàng)的法則:在合并同類項(xiàng)時(shí),把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為結(jié)果的系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變. 這個法則可簡記為“一個相加,兩個不變”,即系數(shù)相加,字母及其指數(shù)不變. 運(yùn)用類似的概念又可理解為“系數(shù)相加,類不變”.

在合并同類項(xiàng)時(shí),首先要準(zhǔn)確地找出同類項(xiàng),可在同類項(xiàng)下面畫橫線或波浪線以區(qū)分不同的同類項(xiàng),如x2y - 3xy2 + 2x2y + xy2 +- a -中標(biāo)注就表示了三類不同的同類項(xiàng);其次合并同類項(xiàng),運(yùn)用乘法分配律,把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起(用小括號),字母和字母的指數(shù)不變,如上式可寫成(1 + 2)x2y + (-3 + 1)xy2 - a + (5-2);最后寫出合并后的結(jié)果. 上式的結(jié)果為3x2y - 2xy2 - a + 3. 在合并同類項(xiàng)時(shí),要注意以下幾點(diǎn).

(1) 只有同類項(xiàng)才能合并,否則不能合并,如2x + 2y,4x2 - 2x等都不能合并同類項(xiàng). 在合并同類項(xiàng)后,只要不再有同類項(xiàng),就是最后結(jié)果.

(2) 合并同類項(xiàng)的實(shí)質(zhì)是系數(shù)的合并,因此不能改變字母和字母的指數(shù). 如3x + 2x = 5x2,7x2 - 5x2 = 2等都是錯誤的.

(3) 多個項(xiàng)中的項(xiàng)交換時(shí),符號要一起移動,不能把符號丟掉,不動的項(xiàng)符號也不能動. 如由3x2 - 2y2 + 5x2 + 4y2變?yōu)?x2 - 5x2 + 2y2 + 4y2是錯誤的.

(4) 合并后的系數(shù)為帶分?jǐn)?shù)一定要化為假分?jǐn)?shù),如:2x + x = 2x,7x - x = 6x等都是不妥的.

(5) 合并后的系數(shù)為1或-1必須省去1. 如6x - 5x = 1x,2xy - 3xy = -1xy等都是不合適的.

(6) 合并后系數(shù)為0,結(jié)果應(yīng)為0,而不能寫成字母及其指數(shù)的形式. 如:2x - x - x = x,5x2 - 8x2 + 3x2 = x2等都是錯誤的.

靈活運(yùn)用同類項(xiàng)的概念解題

在學(xué)習(xí)同類項(xiàng)的概念時(shí),同學(xué)們并不感到困難,但靈活地運(yùn)用它去解決一些實(shí)際問題卻很不習(xí)慣. 事實(shí)上,同類項(xiàng)的概念中隱含著“相同字母的指數(shù)相同”的等量關(guān)系,利用這一等量關(guān)系,先建立簡易方程,再解方程,問題便得到解決. 值得注意的是依據(jù)同類項(xiàng)的概念建立等量關(guān)系時(shí),切記同類項(xiàng)與“系數(shù)”無關(guān).

例1 若5m3x - 1和7mx - 3是同類項(xiàng),則x = .

由同類項(xiàng)的概念,可以得到方程:3x - 1 = x - 3,解得:x = -1.

例2 若3am - 1bc2與-2a3bn - 2c2是同類項(xiàng),求3m2n - 2mn2 + 2m2n - 4mn2的值.

先由同類項(xiàng)的概念求出m?n的值,再將代數(shù)式化簡后代入求值.

解:因?yàn)?am - 1bc2與 - 2a3bn - 2c2是同類項(xiàng),所以有m - 1 = 3,n - 2 = 1,所以m = 4,n = 3. 原式 = (3 + 2)m2n + (-2) + (-4)]mn2 = 5m2n - 6mn2. 當(dāng)m = 4,n = 3時(shí),原式= 5 × 42 × 3 - 6 × 4 × 32 = 24.

例3(1)若a4b3與3am-1bn是同類項(xiàng),-2axb|y|與3am-1bn是同類項(xiàng),則x=,y=;

(2)若mapbq與 - 3ab2p+1的差為-apbq,則pq(p + q)=.

(1)由題知a4b3與-2axb|y|是同類項(xiàng),所以有x = 4,|y| = 3,得y = ±3. 因此應(yīng)填4?±3.

(2)由mapbq與-3ab2p+1的差為-apbq知mapbq與-3ab2p+1是同類項(xiàng),所以有p = 1,2p + 1 = q,解得q = 3.

當(dāng)p = 1,q = 3 時(shí),原式 = 1 × 3 × (1 + 3) = 12.

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