李艷梅

勾股定理是幾何中一個應(yīng)用廣泛的定理.不少同學(xué)在學(xué)習(xí)勾股定理時,由于馬虎,在做題時總出現(xiàn)這樣那樣的錯誤.現(xiàn)就同學(xué)們常見的錯誤剖析如下.

一?受“勾三股四弦五”的影響,忽視分情況討論

例1 一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,求第三邊長的平方.

錯解: 因為兩邊長分別為3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三邊的長為5,所以第三邊長的平方為25.

剖析: 題目中并沒有指出3和4是直角三角形的兩條直角邊的長.造成錯誤的原因是思維定勢,受“勾三股四弦五”的影響而忽視了分情況討論.

正解:應(yīng)分兩種情況:

(1)若已知的兩邊長是直角邊長,則第三邊是斜邊.

根據(jù)勾股定理,得斜邊長為=5.所以第三邊長的平方為25.

(2)若已知的兩邊長是一條直角邊長和斜邊長,則較大的是斜邊長.第三邊是另一條直角邊.

根據(jù)勾股定理,得另一直角邊長為=.所以第三邊長的平方為7.

綜上,第三邊長的平方為25或7.

二?忽視勾股定理的應(yīng)用條件

例2 如圖1,△ABC中,AB=10,BC=12, BC邊上的中線AD=8.求證:AB=AC.

錯解: 因AD為中線,所以CD=BC=6.又AD=8,所以在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC===10.而AB=10,所以AB=AC.

剖析: 由于受結(jié)論及題圖的影響,加上AD為中線的條件,很多同學(xué)不進(jìn)行推證,便直接認(rèn)為△ACD為直角三角形,從而導(dǎo)致了錯誤.

正解:因為AD為中線,故BD=CD=BC=6.又AB=10,AD=8,并且62+82=102,即BD2+AD2=AB2,所以△ABD為直角三角形,即AD⊥BC.所以在Rt△ACD中,由勾股定理,可求得AC=10.所以AB=AC.

三?忽視勾股定理表達(dá)式中的結(jié)構(gòu)特點

例3 在△ABC中,∠A=90°,∠A?∠B?∠C所對的邊長分別為a?b?c,a=13,b=5.求c.

錯解: 由勾股定理,得a2+b2=c2,所以c==.

剖析: 錯解的原因在于忽視了勾股定理的本質(zhì)特點,只注意到了表面形式.當(dāng)∠C=90°時,勾股定理的表達(dá)式為a2+b2=c2.而當(dāng)∠A=90°時,勾股定理的表達(dá)式應(yīng)為b2+c2=a2.

正解:因為在△ABC中,∠A=90°,所以由勾股定理,得b2+c2=a2.

所以c====12.

四?忽視對圖形的討論

例4 已知△ABC中,AB=20,AC=15,BC邊上的高AD=12,求△ABC的面積.

錯解: 如圖2,在Rt△ABD中,BD===16.在Rt△ACD中,CD===9.所以BC=16+9=25.

所以S△ABC=BC×AD=×25×12=150.

剖析: 錯解中只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況,實際上,高還有可能在三角形外.

正解: 當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時,如上解,BC=BD+CD=25.

S△ABC=BC×AD=×25×12=150.

當(dāng)AD在△ABC外部時,如圖3,由勾股定理可求出BD=16,CD=9.故BC=BD-CD=7.

S△ABC=BC×AD=×7×12=42.

所以△ABC的面積為150或42.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文