田載今
為了幫助同學(xué)們進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù),下面在教科書的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充介紹一些知識,供學(xué)有余力的同學(xué)參考.
1. 一元函數(shù)
現(xiàn)實(shí)生活中處處可見變量.例如,某地的電話費(fèi)為每分鐘0.1元,那么打5分鐘電話要用0.5元,打8分鐘電話要用0.8元,打10分鐘電話要用1元……隨著通話時間的變化,電話費(fèi)也在變化.這里“通話時間”與“電話費(fèi)”是兩個不同的變量,它們之間存在對應(yīng)關(guān)系.
初中數(shù)學(xué)教科書中,對于函數(shù)有如下的定義:
在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么x叫做自變量,y叫做x的函數(shù).
上面例子中的“通話時間”就是一個自變量,“電話費(fèi)”是“通話時間”的函數(shù).如果問題中只涉及兩個變量,其中一個變量是自變量,另一個變量是函數(shù),則這樣的函數(shù)叫做一元函數(shù).這里的“元”是指自變量.一元函數(shù)是指有一個自變量的函數(shù),它是反映兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.目前,中學(xué)數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)都屬于一元函數(shù).
2. 多元函數(shù)
有些問題中涉及三個或更多的變量間的對應(yīng)關(guān)系.例如,隨著長方形的長a和寬b取值的變化,長方形的面積S會發(fā)生變化.當(dāng)a=2,b=1.5時,S=3;當(dāng)a=5,b=3時,S=15……這里的a、b是兩個自變量,S是a、b的函數(shù),這是一個二元函數(shù).類似地,隨著長方體的長a、寬b、高c取值的變化,長方體的體積V會發(fā)生變化.當(dāng)a=3,b=2,c=1時,V=6;當(dāng)a=5,b=3,c=2時,V=30……這里的a、b、c是三個自變量,V是a、b、c的函數(shù),這是一個三元函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)叫做多元函數(shù).多元函數(shù)是反映一個變量與一組變量(兩個或更多的變量組成的自變量組)之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.在微積分(一個在高中會初步接觸,在大學(xué)將深入研究的數(shù)學(xué)分支)教程中,在討論一元函數(shù)的基礎(chǔ)上,對多元函數(shù)會有進(jìn)一步的討論.
學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時,不要因?yàn)楹瘮?shù)一詞中有“數(shù)”這個字,就以為函數(shù)也像整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)等是某類數(shù)的名稱.其實(shí),函數(shù)指的是一個變化過程中的某個變量,它相對于另一個變量(自變量)有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系.表示一個函數(shù),實(shí)際上就是要反映這種對應(yīng)關(guān)系.
函數(shù)通常有三種表示方法,即列表法、圖象法和解析式法.
三種函數(shù)表示法,分別以不同形式表示變量間的對應(yīng)關(guān)系.能用列表法或圖象法表示的函數(shù),未必能列出其解析式.解析式法以式子形式反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系,是數(shù)學(xué)中表示函數(shù)的主要方法.一般地,對于用解析式法表示的函數(shù),通過取特殊值、列表,用描點(diǎn)法可以繪出函數(shù)圖象.然而,也存在可以用解析式表示但不能繪出具體圖象的函數(shù),例如y=2x(x是有理數(shù)),x+1(x是無理數(shù)).由于數(shù)軸上的有理數(shù)點(diǎn)與無理數(shù)點(diǎn)都是處處存在而又處處不連續(xù)的,所以我們只能想象出這個函數(shù)的圖象是由無數(shù)個間斷點(diǎn)沿兩條直線的位置排列而成的,但不能繪出具體圖象.
1. 多項(xiàng)式函數(shù)
我們學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式的概念.只含有一個字母的多項(xiàng)式,如3a+5,2b2+3b-6,c4+2c3-3c2-2c+1等,叫做一元多項(xiàng)式.如果用x表示字母,則一元n次多項(xiàng)式的一般形式為a0xn+a1xn-1+…+an,其中a0,a1,…,an是常數(shù),并且a0≠0.形式為y=a0xn+a1xn-1+…+an的函數(shù)叫做n次多項(xiàng)式函數(shù)(簡稱n次函數(shù)),其中字母x表示自變量,a0,a1,…,an是常數(shù),并且a0≠0.例如,y=6x3+3x2-2x+1,y=3x2+2x-5分別是三次函數(shù)和二次函數(shù).多項(xiàng)式函數(shù)是最基本的一類代數(shù)函數(shù),其自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù).
2. 一次函數(shù)
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線(可以稱它為直線y=kx+b),而其他多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都是曲線(如二次函數(shù)的圖象是拋物線),因此一次函數(shù)也叫做(直)線性函數(shù).
一次函數(shù)y=kx+b中,當(dāng)x=0時,y=b.由此可知,直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)(0,b),于是常數(shù)b叫做直線y=kx+b在y軸的截距.
以函數(shù)y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的圖象為例(圖1),可以發(fā)現(xiàn):|k|值越大,直線越“陡”.常數(shù)k的值決定了直線y=kx+b的傾斜程度,于是k叫做直線y=kx+b的斜率.
斜率和截距能表示y=kx+b中兩個常數(shù)的幾何意義,y=kx+b也叫做直線的斜截式.它在高中要學(xué)習(xí)的解析幾何中常常用到.
2008年7-8月號"數(shù)學(xué)潛能知識月月賽"參考答案
1. A2. 提示:作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′,作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′.連接A′B′,分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、C,則點(diǎn)C、D即為所求的點(diǎn). 3. 提示:構(gòu)造與△CDF全等的三角形 .4. 略.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學(xué)生數(shù)理化·八年級數(shù)學(xué)人教版2008年10期