圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)

郭旭炯

圓錐曲線的很多性質(zhì)都和其焦點有關(guān)，在此我們不妨稱準(zhǔn)線和對稱軸交點為準(zhǔn)點；以焦點在x軸上的圓錐曲線為例，定義點(±m(xù),0)、(±a2m,0)為類焦點、類準(zhǔn)點，本文試圖對它們之間的聯(lián)系作些思考.

定理1 已知圓錐曲線C的焦點為F，A為其對應(yīng)準(zhǔn)點，過點F的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點，R為圓錐曲線C上異于P、Q的點，則直線RQ過準(zhǔn)點A的充要條件是P、R關(guān)于x軸對稱.

證明：不妨以焦點在x軸上的橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例，設(shè)焦點F(c,0)，對應(yīng)準(zhǔn)點A(a2c,0).

若把上述性質(zhì)中的焦點換成類焦點，則可以把性質(zhì)推廣到更一般的情形.

定理2 已知圓錐曲線C的類焦點F′，A′為其對應(yīng)類準(zhǔn)點，過點F′的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點，R為圓錐曲線C上異于P、Q的點，則直線RQ過類準(zhǔn)點A′的充要條件是P、R關(guān)于x軸對稱.

略證：不妨以焦點在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例，設(shè)類焦點F′(m,0)，對應(yīng)類準(zhǔn)點A′(a2m,0)，則上述證明過程中以m代c即證.

參考文獻(xiàn)

［1］陳天雄.一道高考解析幾何試題的引申及推廣.數(shù)學(xué)通報，2002年第6期.

［2］蘇立標(biāo).橢圓的“類準(zhǔn)線”的性質(zhì)初探.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2007年第3期.