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      一道源于課本的橢圓問題的解法探討

      2008-12-10 03:56王春彪
      中學數(shù)學研究 2008年6期
      關鍵詞:對應點證法交點

      王春彪

      高三數(shù)學復習應當回歸教材,注重課本習題的探究,培養(yǎng)學生重視結果更要重視過程且弄清

      知識的來龍去脈的嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.本人在一次高三數(shù)學復習課中遇到如下一道小題:

      “如圖,將矩形ABCD的兩邊BC、CD分別8等分,過A、B連接七個對應分點的連線得7個交點,對于下列曲線:①圓;②橢圓;③雙曲線;④拋物線;⑤直線.這7個交點可能位于哪幾種曲線上,寫出所有可能曲線的序號 .”

      本題的背景實質是蘇教版高中數(shù)學教材選修2-1第33頁的11題.原題為:“把矩形的各邊n等分,如圖1連接直線,判斷對應直線的交點是否在一個橢圓上,為什么?”教參提供的答案認為是在一個橢圓上,并給出了證明過程,實質上是不夠嚴密的.因為正方形是特殊的矩形,

      因此對應點也有可能是在一個圓上,本題則很好地完善了課本題結論.教學中發(fā)現(xiàn)學生存在兩個方面問題:一是容易忽略圓這個特殊結論;二是對得到橢圓的結論過程和方法不熟悉.因此有必要探討如何探究得到正確結論?

      一、矩形為正方形時對應點在一個圓上

      證明過程如下:

      證法1:(幾何證法)如圖2:設AE和BF是對應的第r個分點連線(0≤r≤n,r∈N),則易證明△ABE≌△BCF,則∠BAE=∠CBF,∵∠CBF+∠ABF=90°,∴∠BAE+∠ABF=90°,即∠APB=90°.∴點P在以AB為直徑的圓上.

      證法2:(代數(shù)證法)如圖4:設AB=2a,設P(x,y);A(-a,0),B(a,0),E(a,2ran),

      F(a-2ran,2a),則AE的方程:y=rn(x+a);BF的方程:y=-nr(x-a).交點P的坐標x=n2-r2n2+r2a

      y=2nrn2+r2a,

      即P點坐標(n2-r2n2+r2a,2nrn2+r2a)

      ,則點P所在的曲線方程為x2+y2=a2.∴點P在以AB為直徑的圓上.

      二、矩形為非正方形時對應點在一個橢圓上

      證明過程如下:

      證法1:類比圓的代數(shù)解法,如圖3設AB=2a,BC=2b,設P(x,y),A(-a,0),B(a,0

      ),E(a,2rbn),F(xiàn)(a-2ran,2b),則AE的方程:y=rbna(x+a).BF的方程:y=-nbra(x-a).交點P的坐標x=n2-r2n2+r2a

      y=2nrn2+r2b,∴x2a2+y2b2=1.

      i)當a=b時,x2+y2=a2,以AB為直徑的圓;

      ii)當a>b時,x2a2+y2b2=1,焦點在x軸(線段AB)上的橢圓;

      iii)當a

      直接用代數(shù)解法,但是解方程過程較為復雜,能否有更為簡單的消參方法呢?考慮到橫縱坐標的幾何屬性,得到下列解法:

      證法2:如圖5,由△APH∽△ABE,∴PHAH=BEAB.∴yx+a=2rbn2a,∴yx+a=rbna ①

      由△BFG∽△BPH,∴PHBH=FGBG.∴ya-x=2ba-(a-2ran),∴ya-x=nbra ②

      ∴①×②得:y2a2-x2=b2a2,即x2a2+y2b2=1(下同解法1).

      證法3:充分考慮到圓與橢圓的關系,由正方形時的代數(shù)解法得到交點P坐標x=n2-r2n2+r2a,

      y=2nrn2+r2a,由矩陣與變換的知識,正方形可通過伸壓變換得到一般矩形,易知該變換的矩陣為A=10

      0ba,則x

      y10

      0ba=x′

      y′,即x′

      y′=x

      y10

      0ba=n2-r2n2+r2a

      2nrn2+r2b,

      ∴x′=n2-r2n2+r2a,

      y′=2nrn2+r2b,(下同解法1).

      本題在探究該問題的解法過程中,用到了代數(shù)解法和幾何解法.并且用到新教材的類比推理及矩陣與變換的知識,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想,能從特殊到一般又能從一般到特殊的思考問題.在解題過程中很好地體現(xiàn)了傳統(tǒng)高中數(shù)學知識和方法,又突出新課程所倡導的方法和思路,確實是一道值得深究的好題.

      注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文

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