臧殿高

一、問題緣起

數(shù)學(xué)中的函數(shù)和方程常需要研究其圖象，如能在教學(xué)中演示其圖象的生成過程、變化特征，會加強學(xué)生的感性認識，提高學(xué)習(xí)效率。從筆者多年制作教學(xué)課件的經(jīng)驗來看，制作這樣一個課件的關(guān)鍵技術(shù)是如何設(shè)計用來生成數(shù)學(xué)軌跡（或動態(tài)圖象）的算法。失當?shù)乃惴ㄊ怪谱髡n件效率低下，甚至于難以完成，只有高效的算法才能事半功倍。本文通過一個數(shù)學(xué)案例來說明：如何設(shè)計生成軌跡的良好算法；算法在幾何畫板中的實現(xiàn)過程；課件在課堂教學(xué)中的演示方式。

二、理論基礎(chǔ)

幾何畫板以點、直線（段）、圓為基礎(chǔ)，通過相交、垂直、平移、對稱、縮放等眾多變化能構(gòu)建出許多復(fù)雜的圖形，輔以“繪制函數(shù)”的功能，幾乎涵蓋了所有中小學(xué)階段所涉及的圖象問題，當驅(qū)動其中某個特征點時，便能生成軌跡或使圖象運動起來。但僅僅知道這些基礎(chǔ)的功能，只能處理簡易的圖象問題，想要高效地生成復(fù)雜的、動態(tài)的軌跡，還需要進一步理解幾何畫板中生成動態(tài)軌跡的原則。據(jù)筆者看來，重要的原則有兩個：其一，尋找一個主動點來提供運動方式，從這個主動點出發(fā)，依照確定的步驟做出一個或多個從動點（即構(gòu)成軌跡的動點），從而生成軌跡；其二，確定好函數(shù)或方程的參數(shù)設(shè)置方式，以便于軌跡的調(diào)整及演示時的變化。

有必要對以上兩個原則作進一步說明：其一，從主動點出發(fā)到做出從動點的過程就是一個合理算法設(shè)計的過程，良好的算法依賴于設(shè)計者對所做軌跡的深刻理解和對幾何畫板功能的熟知，這是作圖的核心部分，也是初學(xué)幾何畫板時最值得花時間思考的地方，往往能有一通百通的效果。其二，只有適當?shù)闹鲃狱c及其良好的運動方式才能為后面的生成軌跡打好基礎(chǔ)，因此，應(yīng)多思考什么樣的點適合做主動點及這個點應(yīng)以一個什么樣的方式來運動。主動點的運動軌跡常在圓（?。⒅本€（線段）或確定圖象上，同時應(yīng)盡量確保整個主動點的運動是連續(xù)不斷的，這樣從動點生成的軌跡才會是連續(xù)的一個整體。其三，設(shè)計算法時盡量淡化所做軌跡的個別化特征，尋找這一類軌跡生成的通法，比如作一個具體二次函數(shù)的圖象，就可以考慮以三個參數(shù)來分別代替三個系數(shù)，初次構(gòu)圖時會費些時間，但這樣做是高效的，生成圖象后，只需調(diào)整相應(yīng)參數(shù)即可得到相應(yīng)圖象，甚至可以將其做成一個新工具，方便以后直接調(diào)用。參數(shù)的運用是初學(xué)幾何畫板時的一個難點，沒有參數(shù)的軌跡只是靜態(tài)的圖象，是無法實時變化的，也就不利于課堂教學(xué)的演示。其四，參數(shù)的設(shè)置盡量不用菜單“圖表/新建參數(shù)”來產(chǎn)生，而應(yīng)以一種幾何的方式給出，最好能賦予參數(shù)一個明確的實際意義，這樣便于演示軌跡變化時的參數(shù)調(diào)整，也便于學(xué)生理解參數(shù)的意義以及參數(shù)變化與圖象變化的關(guān)聯(lián)。

三、案例說明

本文選擇的構(gòu)圖案例是“圓錐曲線的統(tǒng)一生成方法及其演示”。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線三類。三者獨立而又共具特征。教材中“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”揭示了三者的聯(lián)系與區(qū)別，但三者到底是如何演變的，學(xué)生由于缺乏感性認識，僅依靠三張靜態(tài)圖象在接受上存在明顯的困難。因此本案例有較高的教學(xué)價值。

先看圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到一個定點和到一條定直線（定點在直；線外）的距離之比等于常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。其中，定點是焦點，定直線是準線，常數(shù)是離心率，當常數(shù)小于1時，軌跡是橢圓；當常數(shù)等于1時，軌跡是拋物線；當常數(shù)大于1時，軌跡是雙曲線。

如果僅僅需要分別做出三種軌跡并加以比較，對許多有過制作軌跡經(jīng)驗的教師而言不是難事。困難的地方在于難以將三個圖象有機地整合在一起，并通過一個參數(shù)的控制來演示統(tǒng)一定義中所說的變化，所以需要選擇合適的算法來構(gòu)圖。

然而，從統(tǒng)一定義看來，沒有明確的點可做主動點，無論是從定點出發(fā)還是從定直線出發(fā)，都不容易做出從動點。但經(jīng)過研究可以發(fā)現(xiàn)一個圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)。

圓錐曲線如圖1，記焦點F，頂點A，準線l，過點A作對稱軸FA的垂線，設(shè)點P為曲線上任意一點，∠PFA的平分線與l交于點Q，交m于點C，延長AC到點E，使AC=CE，則P、E、Q三點共線。

統(tǒng)一性質(zhì)與統(tǒng)一定義相比較，一個明顯的優(yōu)點是任意兩點間的關(guān)系確定，可以由一個幾何的方式來做出圖中的任意一個點。因此，就以這個統(tǒng)一性質(zhì)作為整個構(gòu)圖算法的理論基礎(chǔ)。

從上述理論可以看出，如何做出點P是關(guān)鍵，直線PF的主動旋轉(zhuǎn)可以引導(dǎo)點P在圖象上運動，這就能提供一個主動的運動方式。在直線PF上任取一點作為主動點，依照理論可以做出點P，從而可以生成軌跡。

四、構(gòu)圖過程

構(gòu)圖要處理好的兩個關(guān)鍵點：一是選取適當?shù)闹鲃狱c；二是定義中常數(shù)的設(shè)置方式。

圓錐曲線的統(tǒng)一做法（圖2）。

（1）打開新畫板，選擇菜單“圖表/定義坐標系”做出坐標系，選擇工具欄中的“點”工具，在坐標系的橫軸上任取兩點，用“文本”工具分別標記為F和D。

（2）選中點D及橫軸，菜單“構(gòu)造/垂線”做出垂線，標記為l。

（3）選中點D和點F，菜單“構(gòu)造/線段”做出線段FD。

（4）用“點”工具在FD上任取一點，標記為A，這是設(shè)置統(tǒng)一定義中常數(shù)的關(guān)鍵步驟，AF與AD的比值即為常數(shù)，通過改變點A的位置來控制常數(shù)變化，進而演示曲線的變化。

（5）選中點A及線段FD，菜單“構(gòu)造/垂線”作出垂線，標記為m。

（6）用“圓”工具以點F為圓心做任意大小的圓，用“點”工具在圓周上任取一點，標記為B，選中點B和點F，菜單“構(gòu)造/直線”做出直線BF，這是設(shè)置主動點B的關(guān)鍵步驟，實際上，點B可以是平面上任意一點，但這樣提供的運動方式是不確定的，做圓并使點B在圓周上運動，就為點B提供了確定的運動方式，便于后面生成軌跡的操作。

（7）依次選中點B、點F和點D，菜單“構(gòu)造/角平分線”做出的平分線，選中平分線、直線l及直線m，菜單“構(gòu)造/交點”生成兩個交點，依次標記為Q、C。

（8）選中點A，點擊菜單“變換/標記中心”，選中點C，菜單“變換/縮放”，設(shè)置縮放比為2：1，使點C變換到新位置，標記為E，即AC=CE。

（9）選中點Q、點E，菜單“構(gòu)造/直線”做出直線QE，進而做出直線QE與直線BF的交點，標記為P。

（10）依次選中點B（主動點）、點P（從動點），菜單“構(gòu)造/軌跡”生成點P的軌跡，此軌跡即為圓錐曲線，其中F為焦點，A為頂點，l為準線，AF/AD為離心率。

五、演示方式

圓錐曲線生成后，通過改變點A的位置來改變離心率。當AF/AD<1時，軌跡為橢圓。當AF/AD=1時，軌跡為拋物線。當AF/AD>1時，軌跡為雙曲線。同時，改變點F和直線的距離能變化曲線的大小。

演示方式一：使用按鈕隱藏軌跡，計算并顯示AF/AD的值（即離心率），將點A從F向D移動，選取五個不同位置，分別追蹤點P，運動點B即可產(chǎn)生相應(yīng)軌跡，演示效果如圖3。

演示方式二：顯示軌跡，從F向D拖動點A，可以演示軌跡從橢圓、拋物線至雙曲線的連續(xù)變化過程。

(作者單位：江蘇大豐高級中學(xué))