陸志洪

要讓學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”，就要在教學(xué)中引導(dǎo)展開兩個學(xué)習(xí)過程。即知識的生成過程和知識結(jié)論的理解、運(yùn)用過程。在這兩個過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)一般要遵循兩個順序，一個是知識本身的邏輯順序，一個是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的心理順序。只有依據(jù)這兩個順序展開的學(xué)習(xí)活動，才能提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性、能動性、獨(dú)立性。所以，教師要從學(xué)生的認(rèn)知心理出發(fā)，真正做到認(rèn)知順序同知識順序、教學(xué)順序的有機(jī)統(tǒng)一，讓學(xué)生在富有探索性的過程中學(xué)習(xí)。為此，必須重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下3個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

一、數(shù)學(xué)探索——經(jīng)歷動作、映象、符號的同構(gòu)過程

布魯納認(rèn)為，在人類智慧生長期間，要經(jīng)歷3個階段：動作性表征、映象性表征、符號性表征，這3個階段大致與皮亞杰的3個“運(yùn)動階段”相當(dāng)。鑒于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和數(shù)學(xué)知識的抽象性。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程也應(yīng)體現(xiàn)這3個階段，即應(yīng)經(jīng)歷“動作操作——表象操作——符號操作”的過程。動手操作是學(xué)生觀念的發(fā)端。是對知識直觀層面的感知，沒有學(xué)具和實(shí)踐的操作，學(xué)生的有些認(rèn)識幾乎不可能發(fā)生；表象操作是連接動作操作和符號操作的中介，是對知識表象層面的具體又抽象的內(nèi)化，忽視這一環(huán)節(jié)，直接把動作操作上升到符號操作，學(xué)生學(xué)習(xí)很難上升到抽象的符號文字水平；符號操作是通過符號對表象的再現(xiàn)，是對知識高度抽象概括，其中最重要的是語言，它為學(xué)生進(jìn)一步展開高級思維提供了工具。只有有序地展開對同一知識的動作、映象、符號的同構(gòu)探索過程，數(shù)學(xué)知識才能得以內(nèi)化。布魯納還認(rèn)為，即使人們達(dá)到了符號性階段，當(dāng)遇到研究新事物時(shí)，仍然極大地利用動作性和映象性表征去學(xué)習(xí)認(rèn)識事物。可見這三者之間有相互促進(jìn)的關(guān)系，動作和表象有利于抽象出符號，符號反過來有助于理解動作和表象，學(xué)生的學(xué)習(xí)只有在這種“具體、半具體、半抽象、抽象”之間來回展開，才能實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的數(shù)學(xué)建構(gòu)。

二、數(shù)學(xué)探索——經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的凝聚過程

數(shù)學(xué)教育最為核心的目標(biāo)就在于使學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)化”。鄭毓信在《數(shù)學(xué)文化》一書中指出，所謂“數(shù)學(xué)化”是指如何由實(shí)際問題建構(gòu)出它的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識和方法去解決問題。其表現(xiàn)在兩個方面：一是由定量到定性的研究思想：二是相對于實(shí)際問題而言，數(shù)學(xué)化的過程必然包含著一定的簡化和理想化。所以，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)題材——數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)模型——數(shù)學(xué)知識和方法”的過程。其中“現(xiàn)實(shí)題材——數(shù)學(xué)問題”由教師提出或由學(xué)生自己提出：“數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)模型”應(yīng)是由學(xué)生自己的活動，從數(shù)學(xué)問題出發(fā)，或猜測出一個數(shù)學(xué)模型再加以驗(yàn)證，或由現(xiàn)實(shí)原型經(jīng)過抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，或由眾多例證歸納為一個數(shù)學(xué)模型。或由對因素的分析組成為一個數(shù)學(xué)模型，在這個過程中不僅有邏輯推理。而且有想象、類比、歸納、猜測等非邏輯推理：“數(shù)學(xué)模型——數(shù)學(xué)知識和方法”是從具體問題到抽象概念和方法的轉(zhuǎn)化過程，是建立數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)之間關(guān)系的過程，也是一個從一般方法反思具體問題的過程。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)只有展開了這個過程，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)從過程到對象的凝聚，體驗(yàn)到知識、方法和思想的發(fā)生、發(fā)展和提升。

三、數(shù)學(xué)探索——經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程

數(shù)學(xué)教材中很多重要的概念、原理、思想都是按照螺旋上升的原則編排的，所以，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)經(jīng)歷“簡單結(jié)構(gòu)——復(fù)雜結(jié)構(gòu)”的過程。皮亞杰認(rèn)為，人都有適應(yīng)和建構(gòu)的傾向，這兩種認(rèn)知發(fā)展的機(jī)能包括了同化和順應(yīng)兩個過程。個體只有在從不平衡到平衡的不斷交替中，認(rèn)知才能得到發(fā)展。數(shù)學(xué)知識的生成依賴于學(xué)生自身的積極建構(gòu)，有的學(xué)習(xí)是把外界元素整合到一個正在形成或已經(jīng)形成的結(jié)構(gòu)中，如把三位數(shù)乘兩位數(shù)的整數(shù)乘法計(jì)算方法整合到兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算方法中：有的學(xué)習(xí)是受同化元素的影響對原有結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，如用未知數(shù)表示數(shù)量關(guān)系是對用已知數(shù)表示數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知改變。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，就是一個不斷探索與建構(gòu)的過程，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷復(fù)雜，學(xué)習(xí)的整體遷移能力在自主生成的同時(shí)，也得以不斷深化與拓展。