相依隨機(jī)事件的度量指標(biāo)

嚴(yán)忠權(quán)

（黔南民族師范學(xué)院，貴州 都勻 558000）

0 引言

對(duì)隨機(jī)變量相依性度量的研究和文獻(xiàn)很多，常見的有度量變量線性相依的Pearson相關(guān)系數(shù)[1]，基于Copula的非線性相依變量的度量指標(biāo) kendall’s tau,Spearman’s rhos、Gini’s系數(shù)等[2]，且這些相依性度量指標(biāo)在金融、保險(xiǎn)、可靠性理論、統(tǒng)計(jì)推斷與決策等方面得到了廣泛應(yīng)用[3]?？v觀所有文獻(xiàn)，對(duì)隨機(jī)事件的相依性度量僅有張堯庭的《定性資料的的統(tǒng)計(jì)分析》[4]聯(lián)中將隨機(jī)事件變量化用列聯(lián)表，通過卡方檢驗(yàn)討論二事件間的相依與獨(dú)立。何蘊(yùn)理[5]對(duì)相依事件的度量作了一個(gè)簡單討論，在概率與統(tǒng)計(jì)的其它文獻(xiàn)中僅在討論獨(dú)立隨機(jī)事件時(shí)提及“當(dāng)兩個(gè)事件不獨(dú)立時(shí)稱之為相依”這一概念，沒有給出二相依隨機(jī)事件的度量指標(biāo)，而相依隨機(jī)事件卻大量存在，建立怎樣的指標(biāo)來度量兩個(gè)隨機(jī)事件的相依性及相依程度，這顯然是一個(gè)很有實(shí)際意義和理論意義的問題，本文給出了度量兩個(gè)相依隨機(jī)事件的三個(gè)相依度量指標(biāo)：關(guān)聯(lián)系數(shù)、相依系數(shù)和相關(guān)系數(shù)，論述了這三個(gè)指標(biāo)的性質(zhì)，從三個(gè)指標(biāo)所具有的性質(zhì)可見三個(gè)指標(biāo)定義的合理性和科學(xué)性。

1 相依隨機(jī)事件的關(guān)聯(lián)系數(shù)

定義1 設(shè)A，B是同一樣本空間下的兩個(gè)隨機(jī)事件，若P（A∩B）=P（A）P（B），則稱隨機(jī)事件 A，B 相互獨(dú)立。 若 P（A∩B）≠P（A）P（B），則稱隨機(jī)事件 A，B 是相依的。

定義2 設(shè)A，B是同一樣本空間下的兩個(gè)隨機(jī)事件，稱數(shù)量 δ（A，B）=P（A∩B）-P（A）P（B）為隨機(jī)事件 A 與隨機(jī)事件B的關(guān)聯(lián)系數(shù)。若δ（A，B）＞0，則稱隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B是正相依的，若δ(A,B)＜0,則稱隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B是負(fù)相依的。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義可得如下基本性質(zhì)：

定理1 設(shè)A,B是同一樣本空間下的兩個(gè)隨機(jī)事件，則A與B的關(guān)聯(lián)系數(shù)具有性質(zhì)：

（1）δ（A，B）=0當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B相互獨(dú)立；

（2）δ（A，B）=δ（B，A）；

（4）δ（ΣAj，B）=Σδ（Aj，B）(ΣAj表示有限或可數(shù)個(gè)兩兩相互排斥的事件）；

（5）δ（A∪C，B）=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C,B）。

證明：（1）、（2）由 δ（A，B）的定義顯然成立。

（4）：對(duì)于有限或可數(shù)個(gè)兩兩相互排斥的事件Aj,j=1,2,…，有

(5):δ（A∪C，B）=P(A∪C)∩B)-P(A∪C)P(B)=P((A∩C)∪(C-B))-P[P(A)+P(C)-P(A∪C)]P(B)=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C，B）

證畢。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義和定理1有：對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件通過關(guān)聯(lián)系可知它們是獨(dú)立、正相依、負(fù)相依。且兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)它們的關(guān)聯(lián)系數(shù)等于零，關(guān)聯(lián)系具有對(duì)稱性和類似概率可加性。除此之外，關(guān)聯(lián)系數(shù)還有如下系列性質(zhì)。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)定義可得如下性質(zhì)。

系 1：若 A?B，A≠φ,則 δ（A，B）=P(A)=P(A)＞0，即若 A?B，A≠φ，則隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B是正相依的；若A與B是互斥事件且均不是不可能事件，則δ（A，B）＜0，即互斥事件是負(fù)相依的。后面將會(huì)看到，其逆不真。

系3：由乘法公式和關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義有：P(A|B)=P(A)+，從這一表達(dá)式可知，當(dāng)A與B是正相依時(shí)，在其中一事件發(fā)生的情況下會(huì)使另一個(gè)事件發(fā)生概率增大，而當(dāng)A與B是負(fù)相依時(shí)，其中一個(gè)事件發(fā)生的情況下會(huì)使另一個(gè)事件發(fā)生的概率減小。

定理2 同一樣本空間下的任意兩個(gè)兩個(gè)隨機(jī)事件A與B的關(guān)聯(lián)系數(shù)滿足不等式max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]}≤δ （A，B）≤min{P(A)[1-P(B)]，[1-P(A)]P(B)}稱 之 為Freshe-Hoefding不等式。 由此得δ（A，B。

由定理1（3），可得如下性質(zhì)：

系 2：δ（A，A）=-δ（A，A） =P(A)[1-P(A)]，即任一事件與它自身是正相依的，而與它的對(duì)立事件是負(fù)相依的；δ（A，B）=δ（A，B），即任一事件組與它的對(duì)立事件組有相同的相依性。

證明：因?yàn)?P(A∩B)≤min{P(A),P(B)}，所以有

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A),P(B)≤P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]同時(shí)又有：δ（A，B）≤P(B)[1-P(A)]

所以有 δ（A，B）≤min{P(A)[1-P(B)],[1-P(A)]P(B)}

另一方面：由 P(A∩B)≥0、P(A∪B)≤0 有：

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A)P(B)≥-P(A)P(B)和

因此有 δ（A，B）≥max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]

如果我們對(duì)任一事件A發(fā)生與不發(fā)生用一個(gè)示性指標(biāo)變量表示：當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)令I(lǐng)A=1，當(dāng)事件A不發(fā)生令I(lǐng)A=0，則有 E(IA)=P(A)，且

Cov(IA,IB)=E(IA,IB)-E(IA)E(IB)=E(IA∩B)-P(A)P(B)=δ（A，B）

因此，兩個(gè)隨時(shí)機(jī)事件的關(guān)聯(lián)系數(shù)是它們的示性指標(biāo)變量的協(xié)方差。

關(guān)聯(lián)系數(shù)描述了兩個(gè)事件的相依關(guān)系：獨(dú)立、正相依、負(fù)相依，不能描述兩個(gè)隨機(jī)事件的相依程度，因?yàn)閮蓚€(gè)隨機(jī)事件最強(qiáng)相依應(yīng)是在A=B的情況，此時(shí)，它們的關(guān)聯(lián)系數(shù)為

δ（A，B）=P(A)-P2(A)

假如有 A=B 且 P(A)=0.05，則 δ（A，B）=0.0475，又假如 P(A)=0.3,P(B)=0.4，P(A|B)=0.6 則 δ（A，B）=(0.6-0.3)(0.4)=0.12。顯然，后者沒有前者的相依性強(qiáng)，而后者的關(guān)聯(lián)系數(shù)卻比比前者的要大。為此，我們定義一個(gè)相依度系數(shù)用來度量相個(gè)隨機(jī)事件的相依程度。

2 二隨機(jī)事件的相依系數(shù)

由條件概率P(A|B)的定義，當(dāng)P(B)=0時(shí)，條件概率P(A|B)沒有定義，為了定義相依度系數(shù)，我們規(guī)定，當(dāng)P(B)=0時(shí)，P(A|B)=P(A)。

定義3 對(duì)同一樣本空間下的任意兩個(gè)兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，定義rB(A)=P(A|B)-P(A|B)為事件A關(guān)于事件B的相依度系數(shù)（簡稱相依系數(shù)）。

由相依系數(shù)的定義可得計(jì)算公式：

由相依系數(shù)的定義我們有

定理3 設(shè)A、B是同一樣本空間下的兩個(gè)隨機(jī)事件，則它們的相依系數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)rB(A)=rA(B)=0成立當(dāng)且僅當(dāng)與相互獨(dú)立；

(2)rA(A)=1，rA(A)=-1；

(3)rS(A)=rφ(A)=0；

(4)rB(ΣAj)=ΣrB(Aj)；

(5)對(duì)任意的 A≠B 有 rBˉ(A)=-rB(A)，rB)=-rB(A)；

(6)對(duì)任間兩個(gè)隨機(jī)事件 A、B 有-1≤rB(A)≤1；-1≤rA(B)≤1。

由相依系數(shù)的定義和定理3可得如下的系。

系4：

(1)當(dāng) rB(A)=1 時(shí)，由 rBˉ(A)=P(A|B)-P(A)的定義，當(dāng)且僅當(dāng) P(A|B)=1，P(A)=0，由此得到 A=B，此時(shí)也有 rA(B)=1。因此當(dāng)rB(A)=rA(B)=1時(shí)，A與B最強(qiáng)正相依（當(dāng)A=B時(shí)稱A與B最強(qiáng)正相依）。

（2）同理，當(dāng) rB(A)=-1 時(shí)有 B=，當(dāng) rA(B)=-1 有 A=，此時(shí)表明A與B是最強(qiáng)負(fù)相依。

（4）等式rB(A)=rA(B)成立的充分必要條件是P(A)[1-P(A)]=P(B)[1-P(B)]。

（5）由 rB(A當(dāng)A與B是正相依時(shí)有rB(A)＞0、rA(B)＞0，而 A當(dāng) B與負(fù)相依時(shí)有 rB(A)＜0、rA(B)＜0。

（6）當(dāng) A?B 時(shí)，δ（A,B）=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)＞0，則 A與B正相依，且由rB(A)=P(A)/P(B)，則有A關(guān)于B的相依系數(shù)隨事件A發(fā)生的概率增大而增大且有rB(A)→1（表示向著1方向變化）。 與此同時(shí)，，rA(B)=P()。 從而 B 關(guān)于 A的相依系數(shù)是隨事件B的概率的增大而減小。

（7）當(dāng) A∩B=φ 時(shí)，δ（A,B）=-P(A)P(B)，即 A 與 B 互斥時(shí)，A與B負(fù)相依，且由rB(A)=-P(A)/P)，則有A關(guān)于B的相依系數(shù)的絕對(duì)值隨事件A的概率的增大而增大且有rB(A)→-1。同樣的rA(B)=-P(B)/P(A)，此B關(guān)于A的相依系數(shù)的絕對(duì)值也是隨事件B的概率的增大而增大且有rA(B)→-1。

（8）當(dāng)A∩B≠φ時(shí)，A與B可以是正相依也可以是負(fù)相依。例如：若P(A)=P(B)=0.5，P(A∩B)=0.3,此時(shí)A與B是正相依的；但若P(A)=P(B)=0.5，此時(shí)A與B是負(fù)相依的。

由由定理3和系3可知，相依系數(shù)是相依性度量的一個(gè)有效指標(biāo)，正負(fù)相依和相依系數(shù)的絕對(duì)值的變化是與A?B，A?B，A∩B≠φ以及兩個(gè)事件獨(dú)立的程度變化是一致的。

按照相依系數(shù)與零的距離，可將隨機(jī)事件的相依性分為五個(gè)等級(jí)：當(dāng)|rB(A)|≤0.05時(shí)，A與B幾乎獨(dú)立；當(dāng)0.05＜|rB(A)|≤0.2時(shí)，A 與 B為弱相依；當(dāng) 0.2＜|rB(A)|≤0.45時(shí),A 與 B為適度相依；當(dāng)0.45＜|rB(A)|≤0.8時(shí)，A與B為一般相依的；而當(dāng)0.8＜|rB(A)|時(shí)為強(qiáng)相依的。有了這五個(gè)級(jí)后，我們?cè)谧鹘y(tǒng)計(jì)推斷決策時(shí)就可采用相應(yīng)的策略。

定理4 相依系數(shù)具有下列不等式：

該不等式稱之為相依系數(shù)的Freshe-Hoefding不等式。

3 二隨機(jī)事件的相關(guān)系數(shù)

定義4 設(shè)A是B兩個(gè)隨機(jī)事件，稱

為隨機(jī)事件A與B隨機(jī)事件的相關(guān)系數(shù)，其符號(hào)與正負(fù)相依的符號(hào)相同。

對(duì)于相關(guān)系數(shù)有如下計(jì)算公式

定理4 設(shè)A、B是同一樣本空間下的兩個(gè)隨機(jī)事件，則它們的相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）RA,B=0當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B相互獨(dú)立。

（2）-1≤RA,B≤1，且 RA,B=1當(dāng)且僅當(dāng) A=B，即 A 與 B 最強(qiáng)正相依，RA,B=-1當(dāng)且僅當(dāng)A=，即A與B最強(qiáng)負(fù)相依。

（3）RA，B=RA，B=-RA，B；RA，B=RA，B。

由相關(guān)系數(shù)的定義和定理可得

系5

（1）兩個(gè)隨機(jī)事件的相關(guān)系數(shù)RA,B等于隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B的示性指標(biāo)變量IA與IB的相關(guān)系數(shù)ρIA，IB。

（2）RAA=1，RAA=-1，RA，S=RA，θ。

（3）相關(guān)系數(shù) RA，B可用于計(jì)算后驗(yàn)概率 P（B|A）

4 相依指標(biāo)的估計(jì)

兩個(gè)隨機(jī)事件相依關(guān)系的度量指標(biāo)：關(guān)聯(lián)系數(shù)、相依系數(shù)、相關(guān)系數(shù)分別都是由的概率表示，因此我們可在重復(fù)試驗(yàn)下得到它們的估計(jì)值。

設(shè)在N次獨(dú)立試驗(yàn)或觀測中，事件A發(fā)生了kA次,事件B發(fā)生了kB次，事件A∩B發(fā)生了kA∩B次。則各相依指標(biāo)的估計(jì)分別為：

可以證明上述估計(jì)是有效的，無偏的和一致的。

5 相依指標(biāo)的應(yīng)用

通過上面對(duì)隨機(jī)事件三個(gè)相依指標(biāo)的討論，對(duì)于同一樣本空間下的任意兩對(duì)隨機(jī)事件（A，B）和（A，C），我們可用相依系數(shù)的絕對(duì)值的大小來比較兩對(duì)事件的相依程度，若

|rB(A)|≤|rC(A)|

則有隨機(jī)事件A對(duì)C的相依程度大于隨機(jī)事件A對(duì)B的相依程度。通過相依程度的比較和上面對(duì)相依程度的分級(jí)，我們建立相依事件的度量指標(biāo)可用于公共社會(huì)學(xué)管理，決策科學(xué)、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)推斷、刑事犯罪偵探學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用。

[1]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]Roger B.Nelsen Antroduction to Copulas[M].New York:Springer,2006.

[3]張堯庭.連接函數(shù)(copula)技術(shù)與金融風(fēng)險(xiǎn)分析[J].統(tǒng)計(jì)研究，2002，(4).

[4]張堯庭.定性資料的的統(tǒng)計(jì)分析[M].南寧：廣西大學(xué)出版社，1991.

[5]何蘊(yùn)理.隨機(jī)事件的相依性[J].西安統(tǒng)計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，(2).