張平柯

(湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)物理系，湖南 長沙，410002)

人們通常采用機(jī)電類比法對揚(yáng)聲器進(jìn)行定量研究[1-4]，將揚(yáng)聲器振動(dòng)系統(tǒng)等效為交流電路，將振動(dòng)系統(tǒng)元件特性參數(shù)等效為電路元件特性參數(shù)，將振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)參量等效為電路的狀態(tài)參量。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于人們可以利用交變電路系統(tǒng)化的研究成果，研究揚(yáng)聲器的振動(dòng)情況，得出聲壓頻率特性、平均聲功率等反映揚(yáng)聲器及其系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的技術(shù)指標(biāo)。由于一般音樂信號中存在大量的猝發(fā)性信號，因此，揚(yáng)聲器系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)技術(shù)指標(biāo)并不能全面反映其對音樂信號的響應(yīng)，短純音信號較接近真實(shí)音樂信號，揚(yáng)聲器對短純音信號的響應(yīng)能更客觀地反映其性能[5]。在短純音電信號的驅(qū)動(dòng)下，由于揚(yáng)聲器的固有特性不可避免地會(huì)在振動(dòng)的啟動(dòng)階段(前沿)和結(jié)束階段(后沿)產(chǎn)生瞬態(tài)失真。分析揚(yáng)聲器對短純音信號的響應(yīng)有助于提高揚(yáng)聲器系統(tǒng)的電聲還原質(zhì)量。機(jī)電類比法不太適用于對揚(yáng)聲器紙盆運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)分析，為此，本文作者通過求解在短純音信號驅(qū)動(dòng)下?lián)P聲器紙盆運(yùn)動(dòng)的微分方程，并利用 MAPLE 軟件[6]代入已知參數(shù)繪制響應(yīng)曲線，同時(shí)進(jìn)行實(shí)際測量，將測量結(jié)果與理論研究結(jié)果進(jìn)行對照，以尋找影響揚(yáng)聲器瞬態(tài)特性的因素。

1 在短純音信號驅(qū)動(dòng)下紙盆運(yùn)動(dòng)微分方程及其求解

在正弦驅(qū)動(dòng)力下工作的揚(yáng)聲器是一個(gè)受迫振動(dòng)系統(tǒng)，它所受到的驅(qū)動(dòng)力是罐形磁場對音圈施加的安培力，設(shè)揚(yáng)聲器受到的驅(qū)動(dòng)電壓為 U = UMs in (pt)(其中：UM為驅(qū)動(dòng)電壓幅值；p為驅(qū)動(dòng)電壓的圓頻率；t為時(shí)間)，當(dāng)音圈在罐形磁場的均勻區(qū)域振動(dòng)時(shí)，該力可表示為 f =BLUMsin (p t)/R (其中：B為罐形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；L為音圈繞線的總長度；R為音圈的直流電阻)。

紙盆運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力由2部分組成：一部分是機(jī)械阻力，它主要由空氣阻力形成，在速度不太大的情況下，阻力與速度成正比，即(其中，γ為機(jī)械阻力系數(shù))；另一部分是音圈受到的電磁阻力，它可以表示為： 其中， 為電阻力系數(shù))。因此，紙盆受到的總阻力為

設(shè)揚(yáng)聲器的等效振動(dòng)質(zhì)量為m，揚(yáng)聲器振動(dòng)系統(tǒng)的勁度系數(shù)為κ，紙盆離開平衡位置的位移為 x，根據(jù)牛頓第二定律，有：

若令驅(qū)動(dòng)力幅 F0=BLUM/R ，總阻力系數(shù)χ=γ+B2L2/R ，則揚(yáng)聲器的振動(dòng)微分方程為：

式(2)和(3)右邊前面部分對揚(yáng)聲器起始階段的瞬態(tài)特性影響很大，但經(jīng)歷充分長時(shí)間后，都將變成0。最后一項(xiàng)形式相同，引入：

即經(jīng)歷充分長時(shí)間后，揚(yáng)聲器將作與驅(qū)動(dòng)力頻率相同的運(yùn)動(dòng)，但它們間存在相位差-α。也就是說，在t= n(n為整數(shù))時(shí)撤除驅(qū)動(dòng)力，揚(yáng)聲器的振1動(dòng)位移、速度并不會(huì)回到初始狀態(tài)。這時(shí)，它具有由速度和位移決定的動(dòng)能和勢能，還將產(chǎn)生余振。其振動(dòng)方程為典型的阻尼振動(dòng)方程：

x2決定了揚(yáng)聲器停振過程中的瞬態(tài)特性。其中：c3和c4由x和v在t1時(shí)刻的值xt1和vt1來決定，可解得：c3=xt1；c4=(vt1+βxt1)/k。

若將x2的時(shí)間起點(diǎn)放到與驅(qū)動(dòng)力相同的時(shí)間起點(diǎn)上，則有：

因此，當(dāng) ω2- β2＜0時(shí)，在短純音信號驅(qū)動(dòng)下，揚(yáng)聲器紙盆位移可用如下分段函數(shù)表示：

這2種情況下的c1，c2，c3和c4是不同的。

ω2- β2=0的情況可從前2種情況逼近求解。

2 揚(yáng)聲器對短純音信號響應(yīng)的分析

對揚(yáng)聲器來說，人們關(guān)心的是它在聆聽位置上的聲壓特性。而聲壓vfaP··=(其中，f為頻率，v為揚(yáng)聲器紙盆振動(dòng)速度，a為比例系數(shù))，因此，人們更關(guān)心的是揚(yáng)聲器紙盆的速度。將式(5)和(6)對時(shí)間求導(dǎo)，可得紙盆的瞬時(shí)速度。

下面分析1只口徑為200 mm的低音揚(yáng)聲器對低頻短純音信號的響應(yīng)情況。

實(shí)測該揚(yáng)聲器音圈直流電阻 R=7 Ω，諧振頻率f0=38 Hz，總品質(zhì)因素Qt=0.73[9-10]。根據(jù)振動(dòng)理論，=163.5，它比ω=2πf0小，應(yīng)該用式(7)進(jìn)行分析；H與驅(qū)動(dòng)電壓有關(guān)，是一個(gè)可以改變的量，因此，可任選。利用MAPLE10作出f=f0=38 Hz時(shí)紙盆在0～0.45 s內(nèi)振動(dòng)的v-t曲線，如圖1所示。

從圖1可見：第1個(gè)速度峰的高度與穩(wěn)定后的速度峰高度之比約為0.60，而非理想值1.00；余振峰與穩(wěn)定速度峰的比值約為0.47，而非理想值0。

圖2 f=f0時(shí)揚(yáng)聲器紙盆振動(dòng)的實(shí)測v-t曲線Fig.2 Measured v-t curve of cone vibration when f=f0

圖3 Qt對38 Hz的短純音信號的瞬態(tài)響應(yīng)的影響Fig.3 Influence of Qt on transient response of 38 Hz tone burst signal

3 揚(yáng)聲器對短純音信號響應(yīng)的實(shí)測

在進(jìn)一步分析揚(yáng)聲器的前、后沿特性與Qt的關(guān)系之前，先通過實(shí)驗(yàn)測出紙盆的速度-時(shí)間圖像，以確定計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況的符合程度。

通常用麥克風(fēng)檢測揚(yáng)聲器的近場聲壓，并借助音頻分析軟件進(jìn)行分析。但采用這種方法精度很難達(dá)到要求。實(shí)驗(yàn)用的揚(yáng)聲器是一種雙音圈揚(yáng)聲器，其設(shè)計(jì)目的在于可靈活變換阻抗適合不同場合應(yīng)用。將短純音電信號加到1個(gè)音圈上，驅(qū)動(dòng)紙盆振動(dòng)，在另一個(gè)音圈上就會(huì)因?yàn)殡姶鸥袘?yīng)而產(chǎn)生與紙盆的振動(dòng)速度成正比的感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLv(其中：B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；L為線圈繞線總長度)。因此，通過計(jì)算機(jī)分析E的時(shí)間變化規(guī)律就可以發(fā)現(xiàn)速度的時(shí)間變化規(guī)律，描繪出紙盆振動(dòng)的v-t圖像。

圖2所示是用該方法測得的實(shí)驗(yàn)揚(yáng)聲器在f=f0=38 Hz的短純音信號驅(qū)動(dòng)下的v-t曲線。

根據(jù)圖2求得第1個(gè)速度峰的高度與穩(wěn)定后速度峰高度之比約為0.59，第1個(gè)余振速度峰與穩(wěn)定速度峰的比值約為0.47，測量結(jié)果與理論結(jié)果相吻合。

改變短純音信號的頻率，將測量結(jié)果與計(jì)算機(jī)模擬所得結(jié)果相比較，發(fā)現(xiàn)兩者都很一致。

4 Qt對瞬態(tài)特性和聲壓頻率特性的影響

設(shè)揚(yáng)聲器的諧振頻率f0=38 Hz。通過計(jì)算機(jī)模擬研究不同頻率的短純音信號驅(qū)動(dòng)下的紙盆v-t曲線。

圖 3～5所示分別是驅(qū)動(dòng)信號頻率 f為 38，25和75 Hz時(shí)的一組紙盆v-t曲線。從圖3～5可以看出：只要驅(qū)動(dòng)信號的頻率在一定范圍內(nèi)，Qt越小，揚(yáng)聲器對短純音信號的前、后沿響應(yīng)越好。但Qt過小會(huì)使聲壓頻率特性劣化。圖6所示是根據(jù)vfaP··=用計(jì)算機(jī)模擬的f0=38 Hz的揚(yáng)聲器在不同Qt時(shí)的聲壓頻率特性。

圖4 Qt對25 Hz的短純音信號的瞬態(tài)響應(yīng)的影響Fig.4 Influence of Qt on transient response of 25 Hz tone burst signal

圖5 Qt對75 Hz的短純音信號的瞬態(tài)響應(yīng)的影響Fig.5 Influence of Qt on transient response of 75 Hz tone burst signal

從圖6可以看出：Qt=0.707的揚(yáng)聲器的聲壓頻率特性最平坦，這與文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論是一致的。

但從圖1和圖2可以看出：此時(shí)揚(yáng)聲器的瞬態(tài)特性并不是很理想，反之，當(dāng)Qt很小時(shí)，雖然揚(yáng)聲器對單一頻率的短純音信號瞬態(tài)響應(yīng)較好，但聲壓頻率特性很差，低音放不出來。因此，揚(yáng)聲器的瞬態(tài)特性與聲壓頻率特性之間存在不可調(diào)和的矛盾。經(jīng)折中考慮，Qt取0.5～0.7可以獲得良好的綜合性能。

圖6 Qt對聲壓頻率特性的影響Fig.6 Influence of Qt on pressure-frequency characteristics

5 揚(yáng)聲器的Qm與Qe的等效性

葉希鵬等[12-13]認(rèn)為：揚(yáng)聲器的機(jī)械品質(zhì)因素 Qm主要影響其前沿響應(yīng)，為保證揚(yáng)聲器的良好的前沿響應(yīng)，Qm應(yīng)該比較大。揚(yáng)聲器的電品質(zhì)因素 Qe主要影響其后沿響應(yīng)，為保證揚(yáng)聲器的良好的后沿響應(yīng)，Qe應(yīng)該比較小。

本文作者對這種“Qm與 Qe對揚(yáng)聲器前、后沿特性具有不同影響”的觀點(diǎn)存在疑問。從前面的討論可知：總阻力系數(shù)為機(jī)械阻力系數(shù)與電阻力系數(shù)之和。從對總阻力系數(shù)χ的貢獻(xiàn)來看，γ與B2L2/R是等價(jià)的，它們?nèi)魏我粋€(gè)增大都將導(dǎo)致χ增大，從而導(dǎo)致 Qt減小。而Qt的變化總是同時(shí)影響系統(tǒng)的前沿特性和后沿特性。為了證實(shí)這一點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)揚(yáng)聲器上串聯(lián)2 kΩ的電阻，這時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)的 Qe已經(jīng)變?yōu)樵瓉淼?287倍(2007/7)，根據(jù) Qm與 Qe的并聯(lián)關(guān)系[14-15]，可不考慮Qe的影響，即可認(rèn)為Qt=Qm(更嚴(yán)格地講，應(yīng)該將R=7 Ω 和 Rg=2 kΩ 代入得到Qt=Qm的結(jié)論)。利用前述的測試方法，可獲得揚(yáng)聲器在f=f0時(shí)的紙盆振動(dòng)v-t曲線，見圖7。

圖7 消除電阻尼影響后揚(yáng)聲器紙盆的v-t曲線Fig.7 v-t curve of cone after elimination of electrical damping implication

比較圖7和圖2可見：雖然Qm沒有變化，只是Qe產(chǎn)生了變化(更嚴(yán)格地說是 Qt產(chǎn)生了變化)，但 Qe變化影響的不僅是后沿特性，而且包括前沿特性。

用嘗試法，通過計(jì)算機(jī)模擬，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)的 Qt取3時(shí)，所得到的圖像與實(shí)驗(yàn)所測得的圖像高度相似(見圖3)，這表明此時(shí)系統(tǒng)的Qm=3。圖7與圖3(a)所示的v-t曲線的相似性也表明前后沿特性的變化并不能反映到底是Qm還是Qe發(fā)生了變化。換句話說，Qm和Qe對揚(yáng)聲器的前、后沿特性產(chǎn)生的影響等效，真正影響揚(yáng)聲器前、后沿特性的是Qt，并且揚(yáng)聲器的前沿特性與后沿特性是相關(guān)的，前沿特性好的揚(yáng)聲器，后沿特性也好；前沿特性差的揚(yáng)聲器，后沿特性也差。

通過對揚(yáng)聲器的工作原理進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：Qm與Qe的形成機(jī)制是不一樣的，Qm與Qe對揚(yáng)聲器的影響也不盡相同。如罐形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B增加，會(huì)降低Qe，同時(shí)，還會(huì)使揚(yáng)聲器的靈敏度提高，因此，Qe較小的揚(yáng)聲器其靈敏度一般較高。在揚(yáng)聲器 Qt一定時(shí)，如何搭配 Qm與 Qe需進(jìn)行研究。但也許正是 Qm與Qe對揚(yáng)聲器某些技術(shù)指標(biāo)影響不相同，造成了“Qm和 Qe的對揚(yáng)聲器的前、后沿特性影響也不一樣”的誤解。

6 測量揚(yáng)聲器Q的一種可能方法

通過前面的分析，提出一種有效測量揚(yáng)聲器Q的新方法。

首先，用實(shí)驗(yàn)方法獲取揚(yáng)聲器的紙盆振動(dòng)的 v-t曲線(在測Qm時(shí)應(yīng)給揚(yáng)聲器串上1個(gè)充分大的電阻)，將它儲(chǔ)存到電腦中作為比較標(biāo)準(zhǔn)。然后，以Qt作為變量，以一定的步進(jìn)值從小到大或從大到小(步進(jìn)值越小，測量的精度越高)變化，讓計(jì)算機(jī)通過式(7)(Qt＞0.5時(shí))或式(8)(Qt＜0.5時(shí))進(jìn)行循環(huán)運(yùn)算并作圖，利用圖像比較軟件將每次作出的圖與標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行比較。當(dāng)比較結(jié)果一致(可以設(shè)定允許的偏差值)時(shí)，終止程序運(yùn)行，并輸出此時(shí)的Qt。

在開發(fā)專用的圖像比較軟件時(shí)，可利用揚(yáng)聲器前后沿特性的相關(guān)性，將比較重點(diǎn)放在前沿特性上，只需比較第1個(gè)速度峰的高度與穩(wěn)定后速度峰高度之比。

可采用以上同樣的方法對封閉式揚(yáng)聲器箱進(jìn)行討論。

7 結(jié)論

(1) 分析了揚(yáng)聲器在低頻短純音信號驅(qū)動(dòng)下的振動(dòng)情況，給出了描述揚(yáng)聲器的速度與時(shí)間關(guān)系的解析式及速度-時(shí)間曲線的計(jì)算機(jī)作圖法，并用實(shí)驗(yàn)證明了這種方法的正確性。

(2) 從理論上分析了機(jī)械品質(zhì)因素 Qm與電品質(zhì)因素Qe對揚(yáng)聲器的前后沿特性影響的等效性，指出了揚(yáng)聲器前后沿特性的相關(guān)性。實(shí)驗(yàn)證明真正影響揚(yáng)聲器前后沿特性的是總品質(zhì)因素Qt：揚(yáng)聲器的Qt越小，其前后沿特性就越好，但Qt太小，會(huì)導(dǎo)致聲壓頻率特性的嚴(yán)重劣化。經(jīng)綜合考慮，Qt為0.5～0.7較合適(此結(jié)論僅對安放在自由空間和無限大障板上的揚(yáng)聲器有效，如果將揚(yáng)聲器裝入音箱中，還必須考慮音箱的具體結(jié)構(gòu)確定其Qt)。

(3) 提出了一種測量揚(yáng)聲器和封閉式揚(yáng)聲器箱品質(zhì)因素Q的可能方法。

(4) 由于在高頻時(shí)揚(yáng)聲器紙盆將產(chǎn)生分割振動(dòng)，因此，本文的結(jié)論僅在低頻時(shí)成立。

[1] 馬大猷. 現(xiàn)代聲學(xué)理論基礎(chǔ)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004:72-73.

MA Da-you. Basis of modern acoustical theory[M]. Beijing:Science Press, 2004: 72-73.

[2] 杜功煥, 朱哲民, 龔秀芬. 聲學(xué)基礎(chǔ)[M]. 南京: 南京大學(xué)出版社, 2001: 116-145.

DU Gong-huan, ZHU Zhe-min, GONG Xiu-fen. Acoustic basis[M]. Nanjing: Nanjing University Press, 2001: 116-145.

[3] 王以真. 實(shí)用揚(yáng)聲器技術(shù)手冊[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社,2003: 23-24.

WANG Yi-zhen. Practical speaker technical manual[M]. Beijing:National Defense Industry Press, 2003: 23-24.

[4] 徐光澤. 電聲原理與技術(shù)[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007:37-39.

XU Guang-ze. Principle and technology of electro-acoustic[M].Beijing: Electronics Industry Press, 2007: 37-39.

[5] 張平柯. 音頻放大器低頻性能的短純音信號評測法研究[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 39(5): 1068-1074.

ZHANG Ping-ke. Evaluation method of low frequency performance of audio frequency amplifiers by tone burst signals[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2008, 39(5): 1068-1074.

[6] 黎捷. Maple9.0符號處理及應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004:140-144.

LI Jie. Maple9.0 symbol-processing and its applications[M].Beijing: Science Press, 2004: 140-144.

[7] 王柔懷. 常微分方程講義[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978:115-122.

WANG Rou-huai. Ordinary differential equations[M]. Beijing:People’s Education Press, 1978: 115-122.

[8] F.S.克勞福德. 波動(dòng)學(xué)(上冊)[M]. 盧鶴紱, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1981: 121-137.

Crawford F S. Waver(Volume 1)[M]. LU He-fu, trans. Beijing:Science Press, 1981: 121-137.

[9] 萬平英. 聲頻測量技術(shù)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2006:77-83.

WAN Ping-ying. Audio measurement technology[M]. Beijing:National Defense Industry Press, 2006: 77-83.

[10] 王以真, 沈偉星. 音箱研討(三): 揚(yáng)聲器低頻參數(shù)的測試和計(jì)算[J]. 電聲技術(shù), 2007, 31(2): 25-29.

WANG Yi-zhen, SHEN Wei-xing. Study and discussion on loudspeakers (Ⅲ): Measurement and calculation of low-frequency parameters of loudspeaker[J]. Audio Engineering,2007, 31(2): 25-29.

[11] 曹水軒, 沙家正. 揚(yáng)聲器及其系統(tǒng)[M]. 南京: 江蘇科學(xué)技術(shù)出版社, 1991: 133, 373.

CAO Shui-xuan, SHA Jia-zheng. Speaker and its system[M].Nanjing: Jiangsu Science and Technology Press, 1991: 133, 373.

[12] 葉希鵬. 詳解揚(yáng)聲器中品質(zhì)因數(shù) Q值[J]. 電聲技術(shù), 2006,30(8): 26-28.

YE Xi-peng. Analysis of quality factor of loudspeaker[J]. Audio Engineering, 2006, 30(8): 26-28.

[13] 王以真, 沈偉星. 音箱研討(五): 揚(yáng)聲器的機(jī)械 Q 值 Qms[J].電聲技術(shù), 2007, 31(5): 20-24.

WANG Yi-zhen, SHEN Wei-xing. Study and discussion on loudspeakers (Ⅴ): Mechanical quality factor of the loudspeaker[J]. Audio Engineering, 2007, 31(5): 20-24.

[14] 王以真, 沈偉星. 音箱研討(二): 論揚(yáng)聲器品質(zhì)因數(shù) Qts[J].電聲技術(shù), 2006, 30(12): 22-26.

WANG Yi-zhen, SHEN Wei-xing. Study and discussion on loudspeakers (Ⅱ): Analysis of quality factor Qtsof loudspeaker[J]. Audio Engineering, 2006, 30(12): 22-26.

[15] 克林格爾. 高保真揚(yáng)聲器和揚(yáng)聲器箱[M]. 沈執(zhí)良, 鐘厚瓊,譯. 北京: 科學(xué)普及出版社, 1984: 20.

Klinger. High-fidelity speakers and speaker boxes[M]. SHEN Zhi-liang, ZHONG Hou-qiong, trans. Beijing: Popular Science Press, 1984: 20.