符國(guó)慶，方逵

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128）

1 引言

有關(guān)集合，參考文獻(xiàn)[1]中有如下論述：

“什么是集合？集合論的創(chuàng)始人Cantor曾作如下描述： ‘一個(gè)集合是我們直覺中或理智中，確定的，互不相同的事物的一個(gè)匯集，被設(shè)想為一個(gè)整體 （單位）’.這些事物叫做這個(gè)集合的元素，或者說(shuō)這些元素屬于這個(gè)集合，也說(shuō)這集合包含這些元素.Cantor的描述對(duì)人們直觀地理解集合概念是很有價(jià)值的.例如，它說(shuō)一個(gè)集合的元素是 ‘確定的’，這意味著某個(gè)事物是否屬于某個(gè)集合的元素是 ‘確定的’，某個(gè)事物是否屬于某個(gè)集合是沒有絲毫含混余地的；又如，它說(shuō)一個(gè)集合的元素是 ‘互不相同的’，這意味著在一個(gè)集合中相同的元素只能算是一個(gè)；又如，它說(shuō)把一個(gè)集合 ‘設(shè)想為一個(gè)整體 （單體）’，這意味著要把整個(gè)集合看成一個(gè)單獨(dú)的思維對(duì)象，而不再看成那些個(gè)別元素的簡(jiǎn)單積累.現(xiàn)在有個(gè)問(wèn)題需要說(shuō)明：集合的元素是什么？我們的答復(fù)是集合的元素還是集合.例如：與一條已知直線平行的一切直線組成一個(gè)集合，這集合的元素是直線，而直線又可看成點(diǎn)的集合”.

[2]中針對(duì)集合卻有如下一些論述：

“集合如同幾何學(xué)中的點(diǎn)，線，面一樣是數(shù)學(xué)里最基本的概念.我們不妨理解為所謂集合是由具有明確涵義的事物 （或個(gè)體）組成的集體.集合里的每一事物稱為該集合的成員或元素.所謂事物，涵義也是廣泛的，它可以是具體的東西，也可以是抽象的概念.經(jīng)典集合的內(nèi)涵和外延都是明確的，具有明確的內(nèi)涵和外延的概念都可以用經(jīng)典集合去表示.但是，日常生活中，也存在著像‘老年人’， ‘高個(gè)子’，等眾多模糊概念.模糊概念是不能用經(jīng)典集合來(lái)描述的，這里因?yàn)椴荒芙^對(duì)的劃分 ‘屬于’與 ‘不屬于’，只能說(shuō)屬于的程度是多少.那么怎樣描述一個(gè)模糊概念呢？Zadeh[3]仿照用特征函數(shù)表示經(jīng)典集合的方法，就是把特征函數(shù)的取值范圍，從{0，1}的兩個(gè)值擴(kuò)大到 [0，1]閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值，即ΨA:U→ [0,1],(U為論域).Zadeh就是從這點(diǎn)取得突破，他利用經(jīng)典集合這一工具，實(shí)現(xiàn)了定量地描述模糊集合.為了有所區(qū)別，我們特意將模糊集合的特征函數(shù)改稱作 “隸屬函數(shù)”.

對(duì)集合的論述，上述兩種是目前使用最廣、影響最大、也是普遍得以認(rèn)可的典型代表，其它的有關(guān)集合論 （例如：可拓集合）一方面是：全盤承認(rèn)上述兩種后再拓展[4].另一方面是：論證了模糊集合論的缺陷與錯(cuò)誤[5]，卻對(duì)經(jīng)典集合論的完善與擴(kuò)充沒有顧及.

2 問(wèn)題的提出

首先不對(duì)Cantor的經(jīng)典集合理論和Zadeh的模糊集合理論中存在的問(wèn)題做任何論述，只是按現(xiàn)有的集合理論舉一個(gè)前兩本書都談及的有關(guān)幾何中點(diǎn)、線、面與集合關(guān)系的簡(jiǎn)單例子.

假設(shè)：論域U是一個(gè)建有以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以X軸，Y軸，Z軸為標(biāo)準(zhǔn)正交直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的三維幾何立體空間，試用集合的觀點(diǎn)討論平面XOY與U的關(guān)系.

當(dāng)把U表示為所有與平面XOY垂直的直線構(gòu)成的集合時(shí)，顯然，不論按經(jīng)典集合理論或模糊集合理論，論域中目前的元素是直線.如果按照Cantor的集合理論，因?yàn)槠矫鎄OY（可看成是過(guò)Y軸上的一點(diǎn)且與X軸平行的所有直線的集合）內(nèi)任一條直線不可能與自身平面XOY垂直，所以平面XOY內(nèi)的任一條直線都不可能是論域中的元素，照此，按經(jīng)典集合理論中子集的定義(由元素與集合的關(guān)系說(shuō)明的)，得出的結(jié)果是：平面XOY不可能是論域U的子集 （這一結(jié)果顯然不能被現(xiàn)在的人所接受）.再按Zadeh的模糊集合理論，因?yàn)槠矫鎄OY在空間內(nèi)，所以平面XOY是U的一個(gè)子集，不過(guò)不是經(jīng)典子集，而是一個(gè)模糊子集.再根據(jù)Zadeh的集合理論，模糊子集只有靠隸屬函數(shù)來(lái)描述，而與平面XOY垂直的所有直線 （即論域中每個(gè)元素）與平面XOY（即模糊子集）的隸屬程度應(yīng)該沒有差別，試問(wèn)這個(gè)隸屬函數(shù)的函數(shù)值取多少會(huì)是合適呢？難道取不同的值就能給我們帶來(lái)有關(guān)平面XOY的不同的信息嗎？顯然不能.這時(shí)誰(shuí)還敢相信：由特征函數(shù)化名而來(lái)的隸屬函數(shù)確實(shí)能全面反映平面XOY這一模糊子集 （暫時(shí)仍用這一名稱）的本質(zhì)呢.可見，雖然用模糊觀點(diǎn)得到了人們希望的結(jié)果，但模糊理論的解釋卻無(wú)法讓人信服.

然而，當(dāng)再把論域表示為三維幾何立體空間內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合時(shí)，無(wú)論按Cantor集合理論還是Zadeh集合理論，結(jié)果都是一樣，平面XOY集合是論域的一個(gè)經(jīng)典子集.這不剛好是大家最希望看到的結(jié)果嗎？

在用現(xiàn)有的集合理論解釋客觀世界的事物時(shí)，以上例子不僅揭露出了Cantor集合理論與Zadeh集合理論各自的欠缺，同時(shí)也給我們帶來(lái)了新的啟發(fā).

第一 它告訴我們，在客觀世界里，絕對(duì)不可再分的事物是不存在的.科學(xué)作為人類對(duì)客觀世界的表達(dá)，在科學(xué)里與客觀事物相對(duì)應(yīng)的最適當(dāng)?shù)母拍钪挥屑?，元素只不過(guò)是集合的一種特殊形式，元素概念與集合概念不存在有本質(zhì)的差別，是同一概念在不同場(chǎng)合扮演的不同角色.經(jīng)典集合論中，雖有＂集合的元素還是集合＂的說(shuō)法，但在同一論域里的元素與集合在具體操作中不能當(dāng)成兩個(gè)集合來(lái)直接運(yùn)算 （例如：交、并、補(bǔ)），這是人為地割裂了它們之間的本質(zhì)聯(lián)系.

第二 人類在認(rèn)識(shí)、表達(dá)客觀世界以及解決客觀世界里的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，同一論域可以有多種不同的表示形式，可以根據(jù)實(shí)際選擇其中一種或者讓多種形式并存.

因此，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)面向?qū)ο蟮牟煌瑏?lái)合理劃分我們的論域.不能人為割裂元素與集合的本質(zhì)一致性，同一論域里的元素與集合之間的關(guān)系本質(zhì)上仍是集合與集合的關(guān)系，完全可以進(jìn)行直接運(yùn)算.而且，同一論域里的元素與集合(本質(zhì)上仍是集合與集合)的關(guān)系最合理的分法應(yīng)是三種.而在經(jīng)典集合論中元素與集合的關(guān)系只用了三種關(guān)系中的二種， 因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，經(jīng)典集合論把元素與集合看成是本質(zhì)不同的兩個(gè)概念，并沒有把 “不屬于”定義為除 “屬于”之外的所有情況，而是把 “不屬于”的外延無(wú)意中限定在元素的全部應(yīng)徹底在集合之外，并不認(rèn)可元素與集合部分相交 (論文后會(huì)改稱相粘連)的情況 （這種情況顯然不是 “屬于”關(guān)系，按概念的規(guī)范，可以稱 “不屬于”關(guān)系），這樣，實(shí)際運(yùn)用中的 “不屬于”并沒構(gòu)成 “屬于”的對(duì)立面.所以經(jīng)典集合論只能很好地解決元素與集合確實(shí)只有二種關(guān)系的情況，當(dāng)遇到存在有相交關(guān)系時(shí)，就只能置之不理.遺憾的是：模糊集合論雖然認(rèn)可有第三種關(guān)系，卻把問(wèn)題模糊化、復(fù)雜化、甚至出現(xiàn)悖論[6]更不科學(xué).

3 低層集合論

定義1 （也稱集合公理）客觀世界里一切確定的事物均可被抽象為低層集合 （為方便經(jīng)典集合中＂集合＂名稱能繼續(xù)被正常使用，故另取它名，以示區(qū)別）.

約定1書寫時(shí)， “{”表示從非低層集合概念進(jìn)入低層集合的入口標(biāo)記， “}”表示從低層集合出來(lái)進(jìn)入非低層集合概念的出口標(biāo)記.一個(gè)低層集合內(nèi)的低層集合之間的分隔符有 “， （）”三個(gè)，而 “|”被書寫在低層集合內(nèi)時(shí)，表示注解.這些符號(hào)都不是集合本身的內(nèi)容，僅當(dāng)作分界標(biāo)記或注解提示，除此之外，任何其它符號(hào)一般可以作為低層集合的標(biāo)記.

約定2代表不含任何事物的低層集合被稱之為空集，記作 {?} （或者 {}）.

關(guān)系公理：如果某一低層集合{A}的全部是另一低層集合{B}的一部分，則稱{A}是{B}的低層子集，或稱{B}包含{A}，記作{A}∈{B}或{A}c{B}.

約定3空集是任何低層集合的一個(gè)低層子集.

定義 2 如果{A}∈{B},同時(shí){B}∈{A},則稱{A}與{B}相等（或相同），記作{A}={B}.

定義3在同一標(biāo)準(zhǔn)要求下，對(duì)某一低層集合進(jìn)行互斥劃分，直接得到的所有低層集合均稱之為預(yù)備元素，被當(dāng)前采用的某次劃分對(duì)應(yīng)的預(yù)備元素，稱之為當(dāng)前元素.

（互斥：指任意兩個(gè)低層集合之間，沒有任何相等的非空低層子集）.

定義4能被現(xiàn)有的當(dāng)前元素一個(gè)一個(gè)地直接表示出來(lái)的低層集合稱之為當(dāng)前可個(gè)體化集合，否則稱當(dāng)前不可個(gè)體化集合.（相對(duì)低層子集，也有相應(yīng)的＂當(dāng)前可個(gè)體化子集＂與＂當(dāng)前不可個(gè)體化子集＂）.

定義5某低層集合，如果被當(dāng)成是被討論對(duì)象的全體時(shí)，該低層集合稱之為論域或者全集.

定義6低層集合與低層集合之間 （當(dāng)然包括低層集合與預(yù)備元素之間，預(yù)備元素與預(yù)備元素之間）有如下三種關(guān)系：

（1）如果{A}與{B}之間沒有任何相等的非空低層子集，則稱{A}與{B}相排斥（或稱{A}相斥于{B}），記作{A}o{B}或{B}o{A}，（可簡(jiǎn)稱{A}斥{B},＂o＂表示很容易分開，來(lái)源于＂open＂的首字母）.

（2）如果{A}是{B}的低層子集，則稱{A}與{B}相包含，記作{A}∈{B}或{A}c{B}（{B}∈{A}意義類同），（可簡(jiǎn)稱{B}含{A}或{A}含于{B}），＂c＂來(lái)源于＂Include＂的＂c＂.

（3）{A}與{B}之間除上述兩種之外的其它所有情況，均稱{A}與{B}相粘連，記作{A}v{B}（可簡(jiǎn)稱{A}粘{B}或{B}粘{A}），＂v＂來(lái)源于快捷鍵＂ctrl＋v＂,表粘連.

定義7低層集合之間有如下運(yùn)算：

（1）{A}∩{B}表示兩者共同的某一低層子集，且該低層子集包含兩者全部相同的低層子集，稱之為{A}與{B}的交集.（多個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)也類同）.

（2）{A}∪{B}表示所有既包含{A}又包含{B}的低層集合的交集，稱之為{A}與{B}的并集.

（3）{A}-{B}表示{A}的低層子集中所有與{B}相排斥的低層子集的并集，稱之為{A}與{B}的差集.（顯然{A}∈{B}時(shí)，{A}-{B}={?}）.

注意：沒有把兩個(gè)低層集合在同一論域表示形式下個(gè)體化 （即表成當(dāng)前元素）時(shí)，運(yùn)算結(jié)果可能只有含義，卻不一定能寫成當(dāng)前可個(gè)體化集合的形式.

定理1： 空集是唯一的.

證明：假設(shè)還有一個(gè)空集 {Q}

根據(jù)關(guān)系公理與約定3

再根據(jù)定義2所以{?}={Q}

定理成立.

定理2：低層集合運(yùn)算的基本定理： （證明與經(jīng)典集合理論類同）

（1）冪等律，（2）結(jié)合律，（3）交換律，（4）分配律，（5）互補(bǔ)律（6）同一律，（7）零一律，（8）吸收律，（9）德.摩根律，（10）雙重否定律.

附加說(shuō)明：

（1）同一低層集合，根據(jù)需要，可以進(jìn)行任意互斥劃分.

（2）低層子集在運(yùn)算中產(chǎn)生新低層集合時(shí)，僅作最簡(jiǎn)單的原始處理 （可允許賦予新低層集合相應(yīng)的整體信息，但信息不是低層集合的本身內(nèi)容，不進(jìn)入低層集合的運(yùn)算，這一點(diǎn)與經(jīng)典集合思想不同）.

4 低層集合的表示

書寫時(shí),一般符號(hào)都可以當(dāng)作低層集合的標(biāo)記.對(duì)于當(dāng)前不可個(gè)體化集合，無(wú)法借助當(dāng)前元素來(lái)直接表示，只有靠語(yǔ)言描述.當(dāng)前可個(gè)體化集合的表示方法仍可采用經(jīng)典集合論的一些基本方法.

5 低層集合的應(yīng)用舉例

首先用上述低層集合的思想，回頭解釋前面三維幾何空間與平面XOY關(guān)系的例子：

當(dāng)論域被表示成所有與平面XOY垂直的直線構(gòu)成的低層集合時(shí)，三維空間與平面XOY均是低層集合，且論域是整個(gè)三維空間.因?yàn)槠矫鎄OY的全部是空間的一部分，根據(jù)關(guān)系公理，這時(shí)平面XOY是論域的一個(gè)低層子集 （與論域是相包含的關(guān)系），當(dāng)前元素是直線.由于能被當(dāng)前元素直接表示的低層集合，至少含有一條與平面XOY垂直的直線 （一個(gè)當(dāng)前元素），所以平面XOY現(xiàn)在是論域的一個(gè)當(dāng)前不可個(gè)體化子集.論域與平面XOY的差集是 {除平面XOY之外的空間}，仍是一個(gè)當(dāng)前不可個(gè)體化集合，它們的并集是論域 （當(dāng)前可個(gè)體化集合）.當(dāng)前元素Z軸與當(dāng)前不可個(gè)體化集合平面XOY是相粘連的關(guān)系，它們的交集也是一個(gè)當(dāng)前不可個(gè)體化集合.{Z軸的非坐標(biāo)原點(diǎn)部分}是一個(gè)當(dāng)前不可個(gè)體化集合，它與當(dāng)前不可個(gè)體化集合平面XOY是相排斥的關(guān)系.

當(dāng)論域被表示成 {（x y z）|x，y，z為實(shí)數(shù)}時(shí)，同樣三維空間與平面XOY均是低層集合，論域是整個(gè)三維空間，平面XOY仍是論域的一個(gè)低層子集.不過(guò)，此時(shí)的當(dāng)前元素是空間里所有的點(diǎn) （或三維坐標(biāo)），由于平面XOY能夠被當(dāng)前元素直接表示出來(lái)，所以平面XOY是論域的一個(gè)當(dāng)前可個(gè)體化子集.論域與平面XOY的差集也是一個(gè)當(dāng)前可個(gè)體化集合，它們的并集是論域（當(dāng)前可個(gè)體化集合）.當(dāng)前可個(gè)體化集合Z軸與平面XOY是相粘連的關(guān)系，它們的交集是一個(gè)當(dāng)前元素 （坐標(biāo)原點(diǎn)）.{Z軸的非坐標(biāo)原點(diǎn)部分}是一個(gè)當(dāng)前可個(gè)體化子集，它與平面XOY是相排斥的關(guān)系.

本例小結(jié)：

（1）不管論域被表示成什么形式，平面XOY總是論域的一個(gè)低層子集，不會(huì)有變化 （不再有二個(gè)固定的事物在一種表示形式下首先不是子集關(guān)系，換一種表示形式卻成了子集關(guān)系的矛盾局面，修正了經(jīng)典集合理論）.

（2）論域的某一表示形式下，平面XOY可能表現(xiàn)為當(dāng)前不可個(gè)體化集合，但在另一種形式下，又有可能表現(xiàn)為當(dāng)前可個(gè)體化集合 （并不模糊，修正了模糊集合理論）.

便于對(duì)照，不妨再看一個(gè) “老年人”的例子：

設(shè)： 某單位成員有 A、B、C、D、E(20 歲)，F(xiàn)、G(60歲)，H(80 歲)共 8 人，另給函數(shù) y=g（x）如下：

試討論：該單位老年人員與單位所有人員的比值情況.

先按模糊集合理論來(lái)分析：設(shè)論域U為該單位所有人員集合，g（x）為該單位老年人集合對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)，P(U)為U的冪集（包括所有U的模糊子集）.對(duì)于 P(U)中任一個(gè)元素 X，定 pos（X）等于 U中相應(yīng)X特征函數(shù)的函數(shù)值是非零的元素的總個(gè)數(shù)除以總?cè)藬?shù)8.

根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，不難驗(yàn)證：pos是 （U,P(U)）上的一個(gè)可能性測(cè)度，設(shè)：該單位全體老年人集合為L(zhǎng)，則:

根據(jù)必要性測(cè)度的定義：Nec（L）=1-pos（LC）,則 Nec（L）=1/8

再根據(jù)可信性測(cè)度的定義：

依模糊集合理論觀點(diǎn)，2/8這個(gè)數(shù)在一定程度上反映了該單位老年人員與單位所有人員的比值情況.

再用低層集合理論來(lái)分析，把論域換一種表示形式.不妨把每一個(gè)人抽象地劃分為＂老掉部分＂與＂年輕部分＂ （如同一個(gè)正在烤的紅薯可以被抽象地劃分為已烤熟部分與還沒烤熟部分一樣）.

{U}={（A 老， A 青）,（B 老， B 青）,（C 老， C青）,（D 老， D 青）, （E 老， E 青）, （F 老， F 青）,（G老， G青）,（H老，H青）}.

構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f（x）：自變量x為U中16個(gè)元素，函數(shù) y=f（x）如下：

（其實(shí)，構(gòu)造的函數(shù)還可以更詳細(xì)，因?yàn)橥瑯邮?0歲的人，他們老掉的部分可能會(huì)不一樣）.

設(shè)：本例中當(dāng)前可個(gè)體化集合的總量為低層集合內(nèi)所有當(dāng)前元素對(duì)應(yīng)的f（x）函數(shù)值的總和.則

老年人集合 {A老，B老,C老，D老，E老，F(xiàn)老，G老，H老}的總量為：

論域的總量為：

如果我們用老年人集合的總量與論域的總量之比來(lái)反映該單位老年人員與單位所有人員的比值情況，這個(gè)比值就是2.6/8.

比較2/8與2.6/8這二個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)單位8個(gè)人中有近2.6個(gè)老年人是合理的,既直觀，又具說(shuō)服力.

為進(jìn)一步加深對(duì)低層集合論的認(rèn)識(shí)，再談?wù)勁e世有名的羅素悖論的問(wèn)題.

Russell(1872-1970)曾把集合分成兩大類：第一類：如果集合A是集合A的一個(gè)元素,稱A為第一類集合.第二類：如果A集合不是集合A的一個(gè)元素，稱A為第二類集合.設(shè)Q為所有第二類的集合所組成的集合，那么，Q是第一類集合呢?還是第二類的集合呢?這就是舉世有名的羅素悖論問(wèn)題.

在經(jīng)典集合論中，依靠元素來(lái)說(shuō)明或描述集合，而且，在一般定義里是否允許用一個(gè)還待說(shuō)明的事物來(lái)說(shuō)明另一事物，當(dāng)初沒有明確的回答.如果允許，就無(wú)法回答羅素的問(wèn)題，如果不允許，則最早可用于說(shuō)明其它事物的概念從哪兒來(lái)呢，現(xiàn)在大家已知道，這時(shí)應(yīng)用公理化的思想，只有在公理里才允許用沒有定義的概念出現(xiàn)，一般情況是不能使用的.但最初人們卻沒有明確公理化的思想，對(duì)羅素的問(wèn)題也不能有一個(gè)清晰的交待.有了公理化思想之后，現(xiàn)在的人才能慶幸用公理化思想，可以說(shuō)服羅素.不過(guò)在此，低層集合論卻要給出說(shuō)服羅素的另一更簡(jiǎn)單的方法--只要讓羅素知道低層集合的思想與方法，這樣他根本就不會(huì)提這樣的問(wèn)題，因?yàn)椋?/p>

第一任何低層集合 ｛A｝都是自身 ｛A｝的一個(gè)低層子集 （包括空集），如果把非空低層集合 ｛A｝當(dāng)成是集合 ｛A｝的一個(gè)當(dāng)前元素，則根據(jù)定義3，另一個(gè)當(dāng)前元素只能是 ｛?｝，可表示為： {A}={A，?} （空集時(shí)， {?}={?}）.所以任一個(gè)低層集合在一定條件下，都能表示出是自身的一個(gè)當(dāng)前元素.＂集合A是集合A的一個(gè)元素＂，在一定意義上，一切低層集合都是這樣，經(jīng)典集合論中元素A與集合 {A}在低層集合論中不再有本質(zhì)的差別.

第二羅素悖論中說(shuō)的第二類集合，在低層集合論中，只算是不把集合 {A}當(dāng)成 {A}的一個(gè)當(dāng)前元素的條件下，眾多低層集合的表現(xiàn)形式中的一種表現(xiàn)， 例如： 當(dāng)定 {A}={1，2，3，4}時(shí)， 按經(jīng)典集合論的觀點(diǎn)看，等式右邊4個(gè)元素中沒有集合A，稱得上是第二類.但在低層集合論中，當(dāng)把低層集合{A}當(dāng)成{A}的一個(gè)當(dāng)前元素的條件下，{A}也可表示成：{（1，2，3，4），（?）}，此時(shí)低層集合{A}仍可以說(shuō)是自身的一個(gè)當(dāng)前元素.

第三羅素悖論問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是要經(jīng)典集合論按集合與元素本質(zhì)分開的方式來(lái)回答集合A與集合A的元素的關(guān)系問(wèn)題，當(dāng)然只有矛盾的結(jié)果.如果按低層集合論，因?yàn)榘呀?jīng)典集合論中的元素與集合本質(zhì)上統(tǒng)一了，結(jié)果是：任一個(gè)低層集合在一定條件下，都能表示出是自身的一個(gè)當(dāng)前元素，但一個(gè)低層集合也可以表成當(dāng)前元素中沒有低層集合自身式樣的形式.這樣在低層集合論里，如果還按低層集合 ｛A｝是不是低層集合 ｛A｝的一個(gè)元素來(lái)分類，不再具有任何分類的意義.到此，聰明的羅素怎么還會(huì)愿意提這樣的問(wèn)題呢？

6 結(jié)論

低層集合理論兼容了經(jīng)典集合的絕大部分內(nèi)容.例如：在經(jīng)典集合理論中， “集合”就是低層集合理論中的 “當(dāng)前可個(gè)體化集合”.“子集”是低層集合理論中的 “當(dāng)前可個(gè)體化子集”.“元素”就是低層集合理論中的＂當(dāng)前元素＂等等.

針對(duì)模糊集合理論里多數(shù)內(nèi)容缺乏直觀性與有效性，低層集合理論只借鑒了其中極少部分內(nèi)容.

低層集合理論提出了一種全新的集合思想.認(rèn)為：客觀世界里一切確定的事物均可被抽象為低層集合.尤其強(qiáng)調(diào)：預(yù)備元素與低層集合一樣，可以被劃分為更小部分，本質(zhì)上預(yù)備元素與低層集合沒有差別，它們之間可分為相排斥、相包含、相粘連三種關(guān)系.在實(shí)踐中,低層集合理論比現(xiàn)有集合理論更能廣泛地反映客觀世界一切確定的事物.

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