傅桂元，李鐘慎

（華僑大學機電及自動化學院，福建 泉州 362021）

無源控制的超混沌Chen系統(tǒng)的自適應同步

傅桂元，李鐘慎

（華僑大學機電及自動化學院，福建 泉州 362021）

在不同初始條件下，提出一種基于無源控制理論的控制方法，實現(xiàn)具有參數(shù)不確定性的兩超混沌Chen系統(tǒng)的自適應同步.通過引入自適應控制，在線估計系統(tǒng)的參數(shù)，并設計一個自適應無源控制器，使兩系統(tǒng)的同步誤差方程轉(zhuǎn)化為無源系統(tǒng).根據(jù)無源系統(tǒng)理論，系統(tǒng)的動態(tài)誤差方程將穩(wěn)定于狀態(tài)空間原點，即兩超混沌Chen系統(tǒng)完全同步.仿真結(jié)果表明，所設計的控制器簡單明了，控制方法有效.

超混沌Chen系統(tǒng)；同步；無源控制；自適應控制

近年來，人們提出各種控制方法實現(xiàn)兩混沌系統(tǒng)的同步，包括自適應控制［1］、反步法控制［2］、滑模變結(jié)構控制［3］、線性及非線性反饋控制［4］、主動控制方法［5］、線性矩陣不等式［6］等.但是，上述方法設計的控制器或過于復雜，或是只適用于具有參數(shù)嚴格反饋形式的一類混沌系統(tǒng)，在實際應用中仍受到很大的限制.對于存在振蕩的不穩(wěn)定性系統(tǒng)，為了使系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，可以依據(jù)無源理論構造反饋控制器，使得相應的閉環(huán)系統(tǒng)無源而保持內(nèi)部穩(wěn)定.文［7］將無源系統(tǒng)理論應用到非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.文［8］基于無源控制的方法，實現(xiàn)對Lorenz混沌系統(tǒng)的控制，使其穩(wěn)定到零平衡點和非零平衡點.本文提出一種基于自適應無源控制的方法實現(xiàn)兩超混沌系統(tǒng)的同步.

1 無源控制系統(tǒng)

考慮仿射非線性系統(tǒng)，有

式（1）中：狀態(tài)變量x∈Rn；外部輸入u∈Rm；系統(tǒng)輸出y∈Rm；f和g的m列為光滑的向量場；h為光滑映射.

定義1 系統(tǒng)（1）稱為無源系統(tǒng)，如果其滿足對于?t≥0，存在一個實常數(shù)β，使得不等式

成立，或者存在ρ＞0和一個實常數(shù)β，使不等式

成立.

從定義1可以看出，無源非線性系統(tǒng)的物理意義非常明顯，即系統(tǒng)只能通過外部輸入來增加能量.從反方面考慮，可以利用無源系統(tǒng)的這個物理特性，通過施加外部控制來逐步減少非線性振蕩系統(tǒng)的能量，從而降低系統(tǒng)輸出幅度，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定.

引理1［9］如果系統(tǒng)為無源系統(tǒng)，令φ為光滑函數(shù)，則必然存在控制律u（t）=-φ（y），使非線性系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定.

令z=θ（x），則系統(tǒng)（1）可以化為如下形式

定理1 假定系統(tǒng)（1）為最小相位系統(tǒng)，x=0是系統(tǒng)（1）的平衡點.若系統(tǒng)（1）在x=0處具有相對階［1，1，…，1］，則系統(tǒng)（4）可以通過局部反饋控制等效為一個無源系統(tǒng)，且其選擇的反饋控制器為

式（5）中：W（z）為f0（z）的Lyapunov函數(shù)；k為任意大于零的常數(shù)；v是與輸入u有關的外部輸入量.

證明 選取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

兩邊求導后，可得

由于系統(tǒng)（1）為最小相位系統(tǒng)，即系統(tǒng)（4）也為最小相位系統(tǒng)，則有

由此可得

對式（9）兩邊積分可得

由式（6）可知，V（z，y）≥0.令V（z0，y0）=μ，則式（10）可改寫為

因此，由定義1可知，系統(tǒng)（4）為無源系統(tǒng).

2 基于無源控制的超混沌Chen系統(tǒng)的同步

Chen系統(tǒng)的動態(tài)微分方程［10］為

式中：xi（i=1，2，3，4）為系統(tǒng)的狀態(tài)量；a，b，c，d，r為系統(tǒng)參數(shù).當a=35，b=3，c=12，d=7，0≤r≤0.085時，系統(tǒng)（12）表現(xiàn)出混沌特性；而當0.085≤r≤0.798時，系統(tǒng)（12）為超混沌系統(tǒng).

假定系統(tǒng)（12）為驅(qū)動系統(tǒng)，其響應系統(tǒng)的動態(tài)微分方程為

定義同步誤差e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，且系統(tǒng)參數(shù)a，b，c，d，r未知.控制目標是在控制器u的作用下，使驅(qū)動系統(tǒng)（12）與響應系統(tǒng)（13）在不同初始條件下，其誤差滿足

其中：tf為大于零的一時間值.兩超混沌系統(tǒng)的同步動態(tài)誤差方程為

定理2 對于系統(tǒng)（2），根據(jù)定理1，當控制量u為

系統(tǒng)（14）將漸近穩(wěn)定于狀態(tài)空間原點，即系統(tǒng)（12）與系統(tǒng)（13）將達到完全同步.式（15）中：^a，^c，^d分別為系統(tǒng)參數(shù)a，c，d的估計值，且其自適應更新律為

式（16）中：hi（i=1，2，3）為任意大于0的常數(shù).

注1 由于控制器u只與系統(tǒng)參數(shù)a，c，d有關，而與b，r無關，因此只需估計參數(shù)a，c，d即可.

證明 令z1=e1，z2=e3，z3=e4，y=e2，則動態(tài)誤差方程（14）可改寫為

將式（17）改寫成式（4）的形式，則有

由定義2可知，系統(tǒng)（17）為最小相位系統(tǒng).取系統(tǒng)（17）的Lyapunov函數(shù)為

兩邊求導后可得

聯(lián)立式（15），（16），（17），可得

因此，由定理1可知，系統(tǒng)（17）為無源系統(tǒng).證畢.

3 數(shù)值仿真

令驅(qū)動系統(tǒng)（12）各狀態(tài)變量的初始值［x1（0），x2（0），x3（0），x4（0）］=［0.5，0.5，0.5，0.5］；響應系統(tǒng)（13）狀態(tài)量的初始值［y1（0），y2（0），y3（0），y4（0）］=［1，1，1，1］；系統(tǒng)的動態(tài)誤差初始值為［0.5，0.5，0.5，0.5］.由于驅(qū)動與響應系統(tǒng)均為超混沌Chen系統(tǒng)，選取其系統(tǒng)參數(shù)的估計初值為（0）=1，（0）=1，（0）=1，設計參數(shù)h1=5，h2=7，h3=9，k=5.

為了便于比較，在t=10s時，響應系統(tǒng)（13）才加入控制器u.驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的同步輸出及誤差曲線，分別如圖1，2所示.由圖2可知，驅(qū)動系統(tǒng)（12）與響應系統(tǒng)（13）在控制器u的作用下很快達到同步，其誤差快速趨于零，即兩系統(tǒng)很快達到完全同步.

系統(tǒng)的參數(shù)a，c，d的估計值（P）曲線，如圖3所示.從圖3可知，隨著時間的推移，參數(shù)a，c，d的估計也逐漸收斂于某一常數(shù)值.

圖2 系統(tǒng)同步誤差曲線Fig.2 Curve of system synchronization error

圖3 系統(tǒng)參數(shù)的估計值曲線Fig.3 Curve about estimation value for system parameters

4 結(jié)束語

提出一種基于無源控制的方法實現(xiàn)，具有參數(shù)不確定性超混沌Chen系統(tǒng)的同步.通過自適應控制在線估計系統(tǒng)的參數(shù)，設計一個自適應控制器使系統(tǒng)的同步動態(tài)誤差方程為無源系統(tǒng).根據(jù)無源控制理論，將動態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定到零平衡點，即實現(xiàn)兩Chen系統(tǒng)完全同步.采用無源控制設計的控制器簡單明了，其物理意義更為明顯.

［1］PARKJ H.Adaptive synchronization of hyperchaotic Chen system with uncertain parameters［J］.Chaos，Solitons＆ Fractals，2005，26（3）：959-964.

［2］WANG Bo，WEN Guang-jun.On the synchronization of a class of chaotic systems based on backstepping method［J］.Physics Letters（A），2007，370（1）：35-39.

［3］HUANG Li-lian，F(xiàn)ENG Ru-peng，WANG Mao.Synchronization of uncertain chaotic systems with perturbation based on variable structure control［J］.Physics Letters（A），2006，350（3/4）：197-200.

［4］CHEN H S.Global chaos synchronization of new chaotic systems via nonlinear control［J］.Chaos，Solitons＆Fractals，2005，23（4）：1245-1251.

［5］ZHANG Hao，MA Xi-kui.Synchronization of uncertain chaotic systems with parameters perturbation via active control［J］.Chaos，Solitons＆Fractals，2004，21（1）：39-47.

［6］CHEN F X，ZHANG W D.LMI criteria for robust chaos synchronization of a class of chaotic systems［J］.Nonlinear Analysis，2007，67（12）：3384-3393.

［7］LIN W.Feedback stabilization of general nonlinear control systems：A passive system approach［J］.Systems＆Control Letters，1995，25（1）：41-52.

［8］YU Wen.Passive equivalence of chaos in Lorenz system［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems（Ⅰ）：Fundamental Theory and Applications，1999，46（7）：876-878.

［9］BYRNES C I，ISIDORI A，WILL EMS J C.Passivity，feedback equivalence，and the global stabilization ofminimum phase nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36（11）：1228-1240.

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Adaptive Synchronization of Hyperchaotic Chen Systems via Passive Control

FU Gui-yuan，LI Zhong-shen
（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Under different initial conditions，a control method based on passive control is proposed to achieve the adaptive synchronization of two hyperchaotic systems with uncertain parameters.The system parameters are estimated by introducing adaptive control，and an adaptive passive controller is designed to transfer the synchronization erroneous equation into a passive system.In terms of the passivity theory，the dynamic erroneous equation can be stable on the original point of the state space，namely，the two hyperchaotic systems can be completely synchronized.The simulation results have proven the simplicity and effectiveness of the designed controller.

hyperchaotic Chen system；synchronization；passive control；adaptive control

TP 273

A

1000-5013（2010）04-0378-05

（責任編輯：黃仲一 英文審校：鄭亞青）

2009-10-21

李鐘慎（1971-），男，教授，主要從事最優(yōu)控制、時滯系統(tǒng)的控制和抗飽和控制的研究.E-mail：lzscyw@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金計劃資助項目（E0710018）