積分教學(xué)中的一題多解三例

羅星海

（湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430079）

一題多解教學(xué)是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，用不同的方法去解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)形式。高職數(shù)學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行一題多解教學(xué)，可以通過(guò)探究問(wèn)題的多種解法，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲望，嫻熟運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，有效復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，拓展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入 MATLAB 計(jì)算法，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生掌握積分的計(jì)算命令。下面列舉在積分教學(xué)中一題多解的三例，通過(guò)這三例，可以涵蓋不定積分、定積分、旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算的常用方法，探討其教與學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)歸納、舉一反三，以便學(xué)生掌握相關(guān)內(nèi)容的主要計(jì)算方法。

解法二：利用分部積分法

解法一：利用直接積分和湊微分法

解法三：利用換元積分法

所以 法三答案與法一、二相通。

解法四：利用MATLAB 計(jì)算

輸入如下命令：

得結(jié)果如下：

解法一：利用公式法

解法二：利用湊微分法

解法三：利用分部積分法

解法四：查表法

查積分表有遞推公式：

解法五：利用MATLAB 計(jì)算

例3：平面圖形由y＝sinx（≤x≤π）和y＝0圍成，試求該圖形，見(jiàn)圖1 。

圖1 y＝sinx 平面圖形

（1）繞x 軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積；

（2）繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

解法一：（1）繞x 軸旋轉(zhuǎn)

以［0，π］上任一點(diǎn)處的函數(shù)y 為半徑的圓面面積與dx 乘積為體積微元dVx＝πy2dx于是：

（2）繞y 軸旋轉(zhuǎn)，見(jiàn)圖2

圖2 以x2 －x1 繞y 軸旋轉(zhuǎn)求體積

以［0，1］上任點(diǎn)y 處的函數(shù)差x2－x1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周掃過(guò)的圓環(huán)面積與dy 乘積為體積微元

解法二：（1）繞x 軸旋轉(zhuǎn)，見(jiàn)圖3

圖3 線x 軸旋轉(zhuǎn)，求體積

以y 為底面圓半徑、以x2－x1為母線的圓柱體側(cè)面積為2πy（x2－x1）得體積微元：dVx＝2πy（x2－x1）dy

于是：

（2）繞y 軸旋轉(zhuǎn)，見(jiàn)圖4

圖4 線y 軸旋轉(zhuǎn)，求體積

以x 為底面圓半徑、以y 為母線的圓柱體

側(cè)面積為2πxydx

得體積微元：dVy＝2πxydx

于是：

顯然，（1）用法一易，（2）用法二易。