廣義非完整力學系統(tǒng)的Lie對稱性與Noether守恒量＊

董文山 黃寶歆

(濰坊學院物理與電子科學系,濰坊 261061)

廣義非完整力學系統(tǒng)的Lie對稱性與Noether守恒量＊

董文山?黃寶歆

(濰坊學院物理與電子科學系,濰坊 261061)

(2008年10月26日收到;2009年3月24日收到修改稿)

研究廣義非完整力學系統(tǒng)的Lie對稱性與Noether守恒量,建立Lie對稱性的確定方程、限制方程和附加限制方程,給出結構方程和Noether守恒量的形式,研究Lie對稱性的逆問題,并舉算例說明結果的應用.

廣義非完整力學,Lie對稱性,守恒量

PACC:0320

1.引言

對稱性原理是物理學中更高層次的法則[1],利用對稱性尋求系統(tǒng)的守恒量是近代分析力學的重要研究方向.1979年,Lutzky[2]將Sophus Lie研究微分方程在無限小群變換下不變性的方法應用于Lanrange力學系統(tǒng),得到了Noether型守恒量.其后, Lie對稱性方法發(fā)展迅速,被推廣到了各種力學系統(tǒng),取得了一系列重要成果[1,3—15].

受有廣義非完整約束的廣義經(jīng)典力學系統(tǒng)稱為廣義非完整力學系統(tǒng).羅紹凱研究了系統(tǒng)的運動方程,給出了系統(tǒng)的Poincaré-Chetaev積分變量關系和積分不變量[16],Li等研究了廣義非完整力學中奇異系統(tǒng)的Noether對稱性[17]和Poincaré-Chetaev積分不變量[18],陳立群給出了系統(tǒng)的Vacco動力學方程[19],本文將對稱性方法推廣至廣義非完整力學系統(tǒng),研究系統(tǒng)的Lie對稱性,給出系統(tǒng)的確定方程、結構方程和Noether守恒量的形式,最后舉例說明結果的應用.

2.系統(tǒng)的運動微分方程

研究自由度為n的廣義非完整力學系統(tǒng).假設系統(tǒng)的位形由廣義坐標qi(i=1,…,n)確定,其運動受有g個l階線性非完整約束

式中

在廣義復合導數(shù)空間,系統(tǒng)的虛位移滿足廣義非完整力學的Ч е т а е в定義[16]

按照Lagrange乘子法,系統(tǒng)的Routh方程為[16]

在方程(4)積分之前,可由方程(1),(3),(4)先求出約束乘子作為的函數(shù),于是方程(4)可表為下列相應完整系統(tǒng)的形式:

Λi為廣義非完整約束反力,引入廣義動量和Hamilton函數(shù)

系統(tǒng)運動方程可表為正則形式[16]

令[20,21]

則(1),(3)式中的fβ和(8)式中~Λi可表為

取

正則方程(8)可進一步表為

與(16)式相對應的逆變代數(shù)方程為

此處

其中

且

這里,0n×n是n階零矩陣,In×n是n階單位矩陣.因系統(tǒng)是非奇異的,由方程(17)可解出a·μ,記作

3.Lie對稱性的判據(jù)

引進無限小單參數(shù)變換

在一級近似下,其展開式為

式中ε是無窮小參數(shù),具有一階小量,ξ0和ξμ為無限小單參數(shù)變換的生成元.取無限小變換的生成元向量

它的一次擴展

根據(jù)微分方程不變性的判據(jù),在無窮小變換(24)式下,運動微分方程(22)的不變性歸結為如下確定方程:

定義1 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27),則稱相應的對稱性為與廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)相應的廣義完整力學系統(tǒng)(6)的Lie對稱性.

廣義非完整約束(1)在變換(24)下的不變性歸為如下限制方程:

定義2 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)以及限制方程(28),則稱相應的對稱性為廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)的弱Lie對稱性.

若考慮到廣義非完整力學的Ч е т а е в定義(3)對無限小生成元ξ0,ξμ的限制,則有

方程(29)稱為附加限制方程.

定義3 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),則稱相應的對稱性為廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)的強Lie對稱性.

4.系統(tǒng)的結構方程和Noether守恒量

對于廣義非完整力學系統(tǒng),Lie對稱性通過Noether對稱性可導致Noether守恒量.

定理1 對于廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)相應的廣義完整力學系統(tǒng)(6),如果Lie對稱性的無限小生成元ξ0,ξμ和規(guī)范函數(shù)G t,a 滿足如下結構方程:

則相應的廣義完整力學系統(tǒng)(6)的Lie對稱性導致相應廣義完整力學系統(tǒng)的Noether守恒量.

定理2 如果生成元ξ0,ξμ是廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)的弱Lie對稱性生成元,且存在規(guī)范函滿足結構方程(30),則廣義非完整力學系統(tǒng)的弱Lie對稱性導致相應完整系統(tǒng)的Noether守恒量(31).

定理3 如果生成元ξ0,ξμ是廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)的強Lie對稱性生成元,且存在規(guī)范函滿足結構方程(30),則廣義非完整力學系統(tǒng)的強Lie對稱性導致相應完整系統(tǒng)的Noether守恒量(31).

證明

顯然,系統(tǒng)存在守恒量(31)式.

5.系統(tǒng)Lie對稱性的逆定理

首先由已知守恒量求出與其相應的Noether對稱性.假設已知廣義非完整力學系統(tǒng)(1),(4)有初積分

則有

將系統(tǒng)運動方程(16)的兩端同乘以ξ—μ=ξμ-并對μ求和,得

將(33)與(34)式相加后,分離出含a·ν的項,并令其系數(shù)為零,得到

由此解得

其中

令初積分(32)式等于Lie對稱性的守恒量(31)式,得

于是,在給定規(guī)范函數(shù)G的情況下,由方程(36)和(38)可求出生成元ξ0和ξμ,它們對應系統(tǒng)(6)的 Noether對稱性.

其次,將所得對稱性生成元ξ0,ξμ代入對稱性確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),檢驗此對稱性是否是Lie的.

定理4 如果由方程(36)和(38)確定的無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),則對稱性為廣義非完整力學系統(tǒng)的強Lie對稱性;如果ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28),則對稱性為系統(tǒng)的弱Lie對稱性;如果ξ0,ξμ僅滿足確定方程(27),則對稱性是相應廣義完整力學系統(tǒng)的Lie對稱性.

6.算例

設力學系統(tǒng)的廣義Lagrange函數(shù)為

受廣義非完整約束

試研究系統(tǒng)的Lie對稱性和Noether守恒量.

首先,研究正問題.

令

系統(tǒng)的廣義動量和Hamilton函數(shù)為

由(8),(40)和(41)式,得

方程(17)和(18)給出Lie對稱性的確定方程(27)給出

Lie對稱性的限制方程(28)給出

由(45),(46)式可求得如下解:

將(47)式代入結構方程(30),求得規(guī)范函數(shù)

(38)式給出系統(tǒng)的守恒量

其次,研究逆問題.

假設有積分(49),則由(36)和(38)兩式得

當取

則有

容易驗證,(52)式滿足確定方程(27)式和限制方程(28)式,因此,系統(tǒng)的對稱性為弱Lie對稱性.

7.結論

由于廣義非完整力學系統(tǒng)包容了廣義經(jīng)典力學和一階至高階非完整力學,因此,本文的主要結果(27),(30)和(31)式具有普遍意義.對于不受約束的力學系統(tǒng),廣義非完整約束力為Λi=0,本文的結果蛻化為廣義經(jīng)典力學的結果[21],對于不受非完整約束的非保守力學系統(tǒng),重新定義Λi為廣義非勢力則本文的主要結果與文獻[22]的主要結果相同.

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PACC:0320

Lie symmetries and Noether conserved quantities of generalized nonholonomic mechanical systems＊

Dong Wen-Shan?Huang Bao-Xin

(College of Physics and Electranic Science,Weifang University,Weifang 261061,China)

26 October 2008;revised manuscript

24 March 2009)

In this paper we study the Lie symmetries and Noether conserved quantities of generalized nonholonomic mechanical systems,and establish the determining equations,the restriction equations and the additional restriction equations.The structure equation and the formof Noether conserved quantities are obtained.The inverse problems of Lie symmetries are discussed and an example to illustrate the application of the result is given.

generalized nonholonomic mechanics,Lie symmetries,conserved quantity

＊濰坊學院自然科學基金(批準號:2008Z03)資助的課題.

?E-mail:dongwenshan@126.com.

＊Project supported by the Natural Science Foundation of Weifang University,China(Grant No.2008Z03).

?E-mail:dongwenshan@126.com.