李范春，杜 玲，劉清風(fēng)，蘇琳芳

（大連海事大學(xué)輪機工程學(xué)院，遼寧 大連 116026）

1 引 言

上世紀50年代以來，伴隨著高強度材料的應(yīng)用，航空、航天與船舶與海洋平臺在世界范圍內(nèi)得到了更廣泛的應(yīng)用和飛速的發(fā)展，深潛器等海洋載人探測載運工具對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、可靠性的研究顯得越來越重要。為了保證結(jié)構(gòu)的安全可靠，通常把穩(wěn)定理論分析結(jié)果除以很大的安全系數(shù)作為穩(wěn)定性設(shè)計載荷。若用靜態(tài)試驗來測定結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的屈曲載荷，由于普通靜態(tài)穩(wěn)定性試驗是破壞性試驗，試驗成本太高，該方法的經(jīng)濟性受到嚴重影響。

利用結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的振動特性進行失穩(wěn)監(jiān)測和預(yù)估屈曲荷載的概念可以追溯到20世紀30年代，從20世紀70年代起，以Singer為代表的西方學(xué)者，結(jié)合航空航天事業(yè)的發(fā)展，利用振動頻率特性預(yù)估屈曲載荷方法對金屬懍條加筋圓柱殼進行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)在臨界屈曲前高載荷處的頻率急劇下降[1-3]。如何通過非破壞方式，對結(jié)構(gòu)失穩(wěn)載荷進行識別和確定結(jié)構(gòu)的工作荷載是船舶工程等許多工程領(lǐng)域迫切需要解決的問題。

根據(jù)工程應(yīng)用的需要，本文在研究國內(nèi)外相關(guān)研究工作的基礎(chǔ)上[4]，采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一般理論，對受預(yù)承壓結(jié)構(gòu)的彈性失穩(wěn)荷載與結(jié)構(gòu)固有頻率的內(nèi)在聯(lián)系進行了研究，通過推導(dǎo)得到了預(yù)應(yīng)力或者初應(yīng)力與系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系式，通過實驗給出了擬合曲線。最后，給出了結(jié)構(gòu)失穩(wěn)荷載、預(yù)應(yīng)力或者初應(yīng)力和固有基頻之間的關(guān)系式。通過實例與實驗結(jié)果的比較證實了理論結(jié)果的正確性。通過對該關(guān)系式的研究可知，該方法可作為無損實驗方法（NDT）和荷載識別的理論依據(jù)。

2 基本方程

固體的變形可由位移場表征

它借助于Lagrange坐標(biāo)Xi及Euler坐標(biāo)xi給出。對于變形至少有兩種可能的描述，這取決于位移場的空間坐標(biāo)的選取。

令F≡?x/?X表示位移梯度張量

以 G=F-1≡?X/?x 表示其逆。

由初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)的運動將導(dǎo)致物質(zhì)線素的改變。長度平方的變化應(yīng)是dX或dx的二次型。

式中：Eij和Aij分別為Lagrange和Euler應(yīng)變張量的分量形式。Lagrange和Euler應(yīng)變張量也可寫成如下形式：

其中：J=detF為雅柯比行列式，ρ是密度，ρ0為初始密度。

考慮任意一個面元ds，單位法向向量為n，設(shè)其承受接觸力為Tds，這里T為表面的力向量。Tds有以下幾種表示方式：

其中ds0（n0為其法向量）上的切向量dx和ds（n為法向量）上的切向量dx=Fdx0由映射F相聯(lián)系。因而有：

這里，σ為Cauchy應(yīng)力張量，τ為Piola應(yīng)力張量（或第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量），Σ為Kirchhoff應(yīng)力張量（或第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量）。

應(yīng)用質(zhì)量守恒定律和動量守恒定律可以得到以不同應(yīng)力張量表示的運動方程，以Cauchy應(yīng)力張量表示的運動方程為

以Piola應(yīng)力張量表示的運動方程為

或?qū)懗煞至啃问?/p>

以Kirchhoff應(yīng)力張量表示的運動方程為

上式也可以寫成如下的分量形式

3 預(yù)應(yīng)力固體的振動

對于小擾動問題，如果位移與物體的特征長度相比是個小量，而且位移梯度?u/?x或?u/?X是小量，我們可以近似地取 X=x，?/?X=?/?x，因而

這時Lagrange應(yīng)變張量E與Euler應(yīng)變張量A與線性化的應(yīng)變張量ε等同

質(zhì)量方程（12）式可簡化為

其中tr表示跡。

考察一個帶有預(yù)應(yīng)力或初應(yīng)力PΣ0（x）的彈性固體，P≥0。其中Σ0是體積力g=0時，對附加位移場u，由Kirchhoff動量方程及Σ=PΣ0+Λ·ε（u），經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到運動方程：

4 穩(wěn)定性分析的無損實驗方法（NDT）

對于承受預(yù)應(yīng)力或初應(yīng)力的結(jié)構(gòu)，如果單調(diào)增加穩(wěn)態(tài)荷載P而使結(jié)構(gòu)本身不遭到嚴重的危害，直到P=Pc，應(yīng)用實驗確定在結(jié)構(gòu)尤其是在役結(jié)構(gòu)靜態(tài)失穩(wěn)臨界荷載Pc是非常困難的。是否存在不冒任何結(jié)構(gòu)破壞的風(fēng)險而能得到臨界荷載的方法呢?給結(jié)構(gòu)施加較小而安全的荷載P

靜態(tài)屈曲臨界荷載Pc是以下方程的本征值。

其中，uc是靜力系統(tǒng)解的本征模態(tài)。

考慮動態(tài)系統(tǒng)（19）、（20）式，為了得到這個系統(tǒng)的本征值問題的解，有多種近似方法可以得到該問題的近似解，這里我們采用Rayleigh法，取靜態(tài)近似解

使用Rayleigh法進行近似分析，其目的是為了推導(dǎo)P和ω的近似關(guān)系。為此，應(yīng)用有限元法將解離散化?？疾欤?9）和（20）的變分公式并將離散化的方程寫成如下形式將是十分方便的。

其中，K是剛度矩陣，uc是RN空間中的一個矢量，KΣ是預(yù)應(yīng)力矩陣。以右乘（24）式，可得到如下關(guān)系式

與上述方法類似，對（21）式和（22）式應(yīng)用變分方法，得到如下方程

以（25）式減（26）式得

這就是預(yù)應(yīng)力荷載（或初應(yīng)力荷載）P與固有圓頻率ω2之間的關(guān)系，當(dāng)ω2=0時，該關(guān)系式將給出P=Pc。

5 算 例

為了驗證該方法的正確性，討論梁振動的例子，假設(shè)規(guī)范量彎曲剛度EI=1，單位長度的質(zhì)量ρA=1。在長度為π的梁上施加壓載荷P，梁的撓度微分方程為

對于簡支梁邊界條件為

將（30）式代入（28）式得

以P為橫坐標(biāo)，ω2為縱坐標(biāo)繪制 （31）式中的P、ω2的關(guān)系曲線，如圖1所示。 由于y（x）=sin（x）是（28）式的精確解，故P與ω2的關(guān)系是精確的，因而圖1的關(guān)系曲線是直線。

對于兩端固支梁的邊界條件為

其固有頻率隨軸壓的變化規(guī)律是下例泛函的極值

取近似靜態(tài)解uc（x）=1-cos2x，我們得到近似關(guān)系

這一關(guān)系非常接近精確解（見圖2），但當(dāng)ω=0時，P=4確是精確解。近似解（34）中的ω2與壓力P為線關(guān)系，將（34）式和固支梁的解析數(shù)值解繪制成曲線，則見圖2所示。

6 實驗結(jié)果

實驗是通過YDL300電液伺服萬能實驗機對試件加載，試件長l=600mm，寬b=30mm，高h=4mm，彈性模量E=2.0×1011Pa。通過激振力錘敲擊和傳感器機數(shù)據(jù)采集設(shè)備的接受，最終完成對固有圓頻率的測量。通過對將兩端簡支梁和兩端固支梁在不同軸壓下的實驗結(jié)果進行規(guī)范，規(guī)范后的實驗數(shù)據(jù)如表1和表2，將離散點進行直線擬合并繪制成曲線，得到最終如下的實驗曲線。如圖3和圖4所示。

表1 不同軸壓下簡支梁規(guī)范后的實驗數(shù)據(jù)Tab.1 Standardizing experimental datas of simply supported beam under different axial pressures

表2 不同軸壓下固支梁規(guī)范后的實驗數(shù)據(jù)Tab.2 Standardizing experimental datas of beam fixed at both ends under different axial pressures

7 結(jié) 論

從圖1至圖4我們可以看出，本文實驗結(jié)果完全支持所得理論結(jié)果，并且理論曲線與實驗線性擬合曲線吻合得很好。由于簡支梁ω2與壓力P為精確線性關(guān)系，固支梁ω2與壓力P為滿足一定精度的近似線性關(guān)系，因此，通過考慮兩個相應(yīng)系統(tǒng) （P1，ω1）和 （P2，ω2），便可以確定臨界荷載Pc。 通過這一方法我們可以實現(xiàn)確定結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)荷載的無損檢測，并實現(xiàn)確定結(jié)構(gòu)工作荷載的實時測量方法。

[1]Singer J.Recent studies on the correlation between vibration and buckling of stiffened cylindrical shells[J].Flight Science and Space Research,1979,3(6):333-343.

[2]Singer J,Prucz J.Influence of initial geometrical imperfections on vibrations of axially compressed stiffened cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,1982,(80)1:117-143.

[3]鄧長根,吳建華,甘東華.鋼結(jié)構(gòu)失穩(wěn)監(jiān)測方法和失穩(wěn)監(jiān)控部件研究[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報,2006,23(3):21-25.

[4]Bui H D.Introduction aux problèmes inverses en mécanique des matériaux[M].Eyrolles 1993,English translation,CRC Press,1993.