隋文靜,鮑建生

(華東師范大學(xué)理工學(xué)院,上海 200241)

中學(xué)生運用一般化與特殊化策略解決數(shù)學(xué)問題的研究

隋文靜,鮑建生

(華東師范大學(xué)理工學(xué)院,上海 200241)

在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平評價體系中,一般化與特殊化是第四層次探究性理解水平的一個重要指標(biāo)。對上海市某重點初中六至八年級的測試表明,所測試各年級的學(xué)生在一般化與特殊化策略與思維上的總體表現(xiàn)較低;特殊化策略及思維的運用好于一般化;低年級學(xué)生多運用特殊化的策略,一般化思維運用普遍較差,但隨著年級的增加有所提高;特殊化與一般化思維的靈活運用上存在一定思維定勢。

一般化;特殊化;數(shù)學(xué)認(rèn)知水平

“青浦實驗的新世紀(jì)行動”的大樣本調(diào)查(上海市教育科研青浦實驗研究所,2007)形成了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的評價體系,將數(shù)學(xué)認(rèn)知水平劃分為操作性記憶水平、概念性記憶水平、說明性理解水平和探究性理解水平四個層次[1]。后經(jīng)研究又形成了各級認(rèn)知水平的二級指標(biāo)。其中,第四層次探究性理解水平的二級指標(biāo)包括:發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題、解決非常規(guī)的和開放性的數(shù)學(xué)問題、提出猜想與構(gòu)造模型、特殊化與一般化以及數(shù)學(xué)推理與證明五個方面[2]。

為了了解學(xué)生在解決較高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)問題時,在這五個方面的具體表現(xiàn),我們設(shè)計了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平調(diào)查測試卷,在上海市某重點初中進(jìn)行測試,本文僅分析測試結(jié)果的一個方面,即特殊化和一般化的策略及思維情況。二級指標(biāo)中的特殊化與一般化,是指全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系,按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化。比如畫圖幫助思考;在不能直接解決的情況下計算特殊情況;或從一般情況入手,把問題作為一般化的一個特例來看待等等。

一、研究過程

(一)研究對象

本研究選擇上海市某重點初中的六、七、八年級全部學(xué)生作為測試對象,發(fā)放測試卷 597份,回收 597份,其中六、七、八年級分別為 194人、199人和 204人。

(二)研究方法

采用測試卷調(diào)查法及試題分析法。對三個年級的全部學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知水平調(diào)查測試,然后對涉及特殊化與一般化策略與思維的測試題目進(jìn)行試題分析。具體分析學(xué)生在一般化與特殊化思維方面表現(xiàn)如何,使用哪些一般化和特殊化的策略,在證明一般化結(jié)論時表現(xiàn)如何。將各年級測試卷所得數(shù)據(jù)用 SPSS13.0進(jìn)行統(tǒng)計。

(三)測試工具

為三個年級分別編制一套數(shù)學(xué)認(rèn)知水平測試題,題目需要較高認(rèn)知水平,考察學(xué)生在發(fā)現(xiàn)提出問題、開放性題目、提出猜想、一般化與特殊化、推理證明等方面的能力。試題來源主要是:(1)青浦實驗所采用的測試卷題目;(2)參考多方面研究并根據(jù)被調(diào)查學(xué)校的教學(xué)進(jìn)度改編而成。

每個年級有 6道測試題,年級之間有相同的題目,以期對年級之間做一些比較。測試卷中涉及一般化與特殊化策略及思維的題目是“鐘面問題”“式的規(guī)律及證明”“數(shù)的規(guī)律及證明”和“填數(shù)字問題”。三個年級的測試題詳細(xì)情況見表 1。

表 1 各年級試題情況統(tǒng)計

二、測試結(jié)果與分析

(一)總體表現(xiàn)

將涉及一般化與特殊化測試題的各年級的總得分轉(zhuǎn)化成得分率 (用小數(shù)表示),統(tǒng)計情況見表 2。從表 2可見,涉及一般化與特殊化的題目三個年級的平均得分率都不到 0.5,三個年級的最高得分率分別為 0.97、0.89、1.00,但七、八年級的最低得分率都是 0,六年級最低得分率只有 0.06?？梢娫谏婕耙话慊c特殊化的題目上表現(xiàn)不佳。

表 2 各年級總得分率統(tǒng)計

(二)“式的規(guī)律及證明”分析

該題目給出一組式的模式,要求尋找規(guī)律并證明規(guī)律。學(xué)生需要綜合考慮給出的 4個式子的特征及聯(lián)系,用字母代替數(shù)字,得出一般規(guī)律,并完成證明,這是對一般化思維以及對猜想與證明的認(rèn)識的考察。題目如下:

觀察下列等式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?試用一個數(shù)學(xué)等式表示這個規(guī)律并證明。

1.得分率統(tǒng)計

結(jié)果表明,該題目七、八兩個年級的總得分率差不多,為 0.27左右?！皩ふ乙?guī)律”平均得分率為 0.4387,而“證明規(guī)律”只有 0.1056。兩個年級在每個小題上的表現(xiàn)也差不多?？梢?涉及一般化的題目對學(xué)生來說難度很大,尤其是證明規(guī)律得分率相當(dāng)?shù)?詳見表 3)。

表 3 “式的規(guī)律及證明”得分率統(tǒng)計

2.作答情況分析

一是“尋找規(guī)律”方面。

以上各種回答情況反映了學(xué)生一般化策略使用上達(dá)到的層次。(5)、(6)兩種回答均是使用了一個變量正確表達(dá)所給模式的規(guī)律,并對變量的取值有嚴(yán)密的考慮,達(dá)到了一般化的水平;(2)、(4)的回答也正確反映了所給模式的規(guī)律,但未完全達(dá)到一般化水平,因為(2)的解答對變量沒有限制條件,而(4)的解答包含兩個變量,忽視了變量的制約關(guān)系,這兩種解答都“擴大”了原有模式的規(guī)律;(3)的解答描述的規(guī)律往往只適合第一個表達(dá)式,沒有正確描述一組模式的規(guī)律,沒有達(dá)到一般化水平;而文字表述所達(dá)到的一般化程度不同,有描述局部特征也有一般化的描述。

七、八兩個年級學(xué)生的作答情況見圖 1(橫軸數(shù)字 (1)至 (7)分別對應(yīng)上述七種作答情況)。可見,八年級在“尋找規(guī)律”上“忽視變量的條件限制”和“包含兩個變量”的情況明顯比七年級多,而七年級未作答的情況明顯比八年級多?？梢?雖然兩個年級在“尋找規(guī)律”上的得分率都很低,但八年級學(xué)生卻比七年級學(xué)生更“接近一般化”,他們更多地發(fā)現(xiàn)了模式的共同之處,只是由于忽視了變量的條件和限制,最終沒能達(dá)到一般化。而七年級學(xué)生的低得分率主要由于未作答。

二是“證明規(guī)律”方面。

在“證明規(guī)律”方面,主要的作答情況有 5種:(1)驗證一個特殊值;(2)驗證多個特殊值; (3)將等式兩邊同時化簡,得到 8n=8n的形式,完成證明;(4)證明完全正確(用代數(shù)語言形式化的證明);(5)未作答。

分析各種證明方法的一般化的水平發(fā)現(xiàn),(1)、(2)的證明都利用特殊性的例子來說明一般性結(jié)論,是“類屬性”的證明,而不是一般性水平的證明;(3)的證明是基于代數(shù)形式化的證明,但證明的“格式”不對,它對等號兩邊的代數(shù)式同時化簡最后得到 8n=8n。究其理解的心理學(xué)根源,可能是在一般化的代數(shù)思維中,把等號理解為一種顯示相等的關(guān)系結(jié)構(gòu),一種狀態(tài):相等,等價,同類或平衡[3]158,所以證明過程就是在保持這一平衡的關(guān)系。而證明時對等號的理解除了是平衡的關(guān)系外,更應(yīng)當(dāng)是從左可化到右,從右可化到左的過程化的理解;(4)的證明是形式化的一般化證明,且一般化中對等號的理解也是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

圖 1 “尋找規(guī)律”作答分析

學(xué)生的作答情況按年級分布如圖 2所示 (橫軸數(shù)字 (1)至 (5)分別對應(yīng)上述五種作答情況)。可見,“證明規(guī)律”方面,兩個年級的主要錯誤都是“未證明或規(guī)律錯誤”,即大多數(shù)學(xué)生在前一問沒有找到規(guī)律或沒有作答。七年級“驗證一個特殊值成立即完成證明”的情況明顯多于八年級。而八年級“8n=8n”的證明以及完全正確的證明均明顯多于七年級?？梢娖吣昙墝W(xué)生證明了特殊、具體事實的成立即會承認(rèn)一般化結(jié)論的正確性,而八年級學(xué)生更傾向于給出形式化證明,盡管形式化證明過程中有邏輯錯誤。

圖 2 “證明規(guī)律”作答分析

(三)“數(shù)的規(guī)律及證明”分析

該問題是對任意三位數(shù)互換個位與百位數(shù)字后做差的結(jié)果的規(guī)律探索。要求學(xué)生理解文字?jǐn)⑹龅囊饬x后給出具體的例子,通過特殊化的方法尋找到一個結(jié)果,再在一般化水平上證明這個結(jié)果。該題目考察借助特殊化方法探索,并給出一般化結(jié)論并證明的能力,題目如下:

寫下一個三位數(shù),使得這個三位數(shù)的百位、十位、個位是連續(xù)的自然數(shù),再把它的百位和個位的數(shù)字換一個位置得到另一個三位數(shù),然后從較大的三位數(shù)中減去較小的三位數(shù)。(1)求所得的差,(2)證明這一結(jié)果。

1.得分率統(tǒng)計

該題目按年級的得分率見表 4?？傮w上,該題兩個年級的得分率相差很大,八年級為0.5176,而六年級只有 0.1873。在“舉例”方面的得分率明顯高于“證明”。八年級在“舉例”、“證明”的得分率都明顯高于六年級。八年級“舉例”的得分率接近 0.7,而六年級只有 0.4左右,六年級在“證明”的得分率只有 0.0902,而八年級有 0.4283。可見,八年級學(xué)生基本可以將問題特殊化,一般化的證明有困難;而六年級學(xué)生在特殊化方面及一般化證明方面均有明顯困難。

表 4 “數(shù)的規(guī)律及證明”得分率統(tǒng)計

2.作答情況分析

在一般化的證明中,學(xué)生使用的證明方法大致有 6種:(1)枚舉法證明:枚舉所有情況并一一驗證;(2)代數(shù)的證明:基于代數(shù)語言的形式化證明;(3)位值的證明:例如因為十位數(shù)是不變的,而百位大數(shù)比小數(shù)大 100,個位大數(shù)比小數(shù)小 2,所以 200-2=198;(4)舉特例成立即得到證明;(5)分析豎式減法的過程得到證明。如個位需借一位,得到結(jié)果的末位比 10小 2,為 8,十位被借走一位且兩數(shù)相等,需再借一位,即結(jié)果十位數(shù)比 10小 1,為 9,百位被借走一位,且減數(shù)比被減數(shù)大 2,結(jié)果百位數(shù)為 2-1=1;(6)未作答或其它。

在各種證明方法中,枚舉法、代數(shù)的、位值的、分析豎式減法的證明都是具有一般化水平的證明,證明依據(jù)的是所有符合題意的特殊例子的共同、普遍規(guī)律。盡管枚舉法依賴具體的例子,但由于考慮了所有情況,也具有一般性;位值的、分析豎式減法的證明依賴算數(shù)過程,是算數(shù)層面一般化,是用具體數(shù)字、式子表達(dá)一般化的思想;而代數(shù)的證明則是基于符號表征,用形式化的語言表達(dá)一般化。嚴(yán)格說,只有代數(shù)證明才是真正意義上的一般化。而舉特例的證明只能算作實例水平上的證明,是“類屬性”的證明,而不是一般性水平的證明,但“類屬性”證明方法比較易于理解,又不失一定的嚴(yán)格性,值得作為引向形式化證明的鋪墊[3]138。

各種證明方法的學(xué)生按年級分布見圖 3(橫軸數(shù)字 (1)至 (6)分別對應(yīng)上述六種作答情況)?？梢?在一般化證明中,六年級近 80%的學(xué)生未作答,遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于八年級。八年級有近40%學(xué)生采用代數(shù)的證明,而六年級最多采用的是舉出特例成立的證明方法。代數(shù)的證明不到 5%。位值、分析豎式的證明兩個年級差不多,但只占很少比例。有趣的是,八年級沒有一例枚舉法的證明,猜測這可能由于八年級學(xué)生形式化證明的思維定勢影響?？傮w看,八年級學(xué)生一般化的形式化的證明是明顯好于六年級的,六年級形式化的一般化層面的證明很少,大多是基于特例的證明。

圖 3 “一般化證明”作答分析

(四)“鐘面問題”和“填數(shù)字問題”的分析結(jié)果

“鐘面問題”是六年級與八年級共有的題目,這是一道在國內(nèi)已有許多實驗與研究的經(jīng)典開放題,它的全部答案共 124個,具有一個“好”的開放題的許多特點:非常規(guī),參與性與趣味性,探索性等。這道題目的解決需要特殊化與一般化策略的有效運用,第一問需要學(xué)生使用特殊化的策略,湊出結(jié)果為 0的算式,第二問則需要在湊數(shù)、嘗試中發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律,將特殊的方法推廣到一般化層面,找出更一般的策略。具體題目如下:

掛鐘的鐘面上有 12個數(shù)字:1,2,3,…,11,12.要在這 12個數(shù)字中間添上加號“+”或者減號“-”,得到一個算式,使得這個算式的結(jié)果為 0.

(1)這道題目共有一百多種不同的解答,寫出你想到的 4種不同的解答;

(2)你有什么方法可以找到更多的解答?

“填數(shù)字”問題是六、七年級共有題目。要求學(xué)生在圓圈內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù),使每條邊上兩個圓圈中的數(shù)之和等于方框內(nèi)的數(shù)。這兩個問題都可以通過設(shè)未知數(shù),列出三元一次及四元一次方程組得以解決。第一問填三個數(shù)字,此時三元一次方程組有唯一解,因此答案唯一,所以用一般化思維(列方程組)容易解決,用特殊化方法 (代入數(shù)字嘗試)不易解決;第二問是填入四個數(shù)字,但此時的四元一次方程組有無窮多解,因此用特殊化的方法,代入數(shù)字嘗試更易解決。具體題目如下:

在圖 4和 5中的圓圈內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù) (可以是負(fù)數(shù)),使每條邊上兩個圓圈中的數(shù)之和等于方框內(nèi)的數(shù)。

由于篇幅有限,這里僅簡述“鐘面”和“填數(shù)字”問題的測試結(jié)果。

“鐘面問題”中,八年級在尋找特殊化方法方面明顯好于六年級,但兩個年級在將特殊化方法推廣到一般化策略時表現(xiàn)都不好。八年級學(xué)生在提出一般化、可推廣的策略方面優(yōu)于六年級學(xué)生,六年級學(xué)生毫無策略的湊數(shù)、非數(shù)學(xué)的回答較八年級多?！疤顢?shù)字問題”中,一般化求解的方法對六年級學(xué)生來說難于特殊化求解方法。六年級有 42%的學(xué)生能靈活地轉(zhuǎn)換于一般化與特殊化的方法之間,七年級的這一比例明顯更多,為 64%。而不能靈活轉(zhuǎn)換的學(xué)生當(dāng)中,兩個年級的學(xué)生都是只掌握特殊化方法的學(xué)生比例較高,而只掌握一般化方法的學(xué)生比例較低。

三、討論

以下討論中,我們將六、七年級劃入低年級組,八年級作為高年級組。綜上所述,測試各年級學(xué)生在一般化與特殊化策略與思維上的總體表現(xiàn)較低,由于題目背景、難度的不同,學(xué)生在一般化與特殊化方面的表現(xiàn)不盡相同,但總體上,測試顯示以下幾點結(jié)果:

(一)特殊化策略的運用好于一般化

測試學(xué)生的特殊化策略題目的得分率都高于一般化策略的題目。大部分學(xué)生能夠有效使用特殊化策略,如考慮特殊情況、代入具體數(shù)字等,而且高年級表現(xiàn)更好。即使較難的開放題(鐘面問題),學(xué)生也能嘗試從特殊情況入手,給出一些具體回答。但將具體問題推廣到一般情況或一般化證明的題目得分率都很低。

這一現(xiàn)象與特殊化與一般化思維的本質(zhì)有關(guān),特殊化思維考慮的是具體、固定的對象,直觀簡單;而一般化思維考慮的是概括、可變的對象,在將固定數(shù)學(xué)對象換成可變數(shù)學(xué)對象的一般化過程中需要綜合考慮已分解的各要素及其關(guān)系、變量間的互相關(guān)系、變量的限制條件等問題,所以一般化往往難于特殊化。

(二)低年級學(xué)生較多運用特殊化的策略

調(diào)查發(fā)現(xiàn),低年級學(xué)生趨向于用特殊化的策略,他們更多用語言表達(dá)規(guī)律,借助直觀理解,遇到難以理解的問題首先想到舉例子。調(diào)查中,低年級學(xué)生在鐘面問題中大多采用湊數(shù)嘗試的方法,一般化、可推廣的策略明顯少于高年級學(xué)生。低年級學(xué)生對一般化的證明大多數(shù)是未作答的,即使存在少數(shù)的證明,也多是將證明轉(zhuǎn)化為枚舉所有特例,一一證明其成立或驗證一個或多個特例的方式。而研究中的高年級學(xué)生沒有人想到用枚舉法證明一般化,他們努力想給出一個形式化的證明,雖然大多數(shù)證明也失敗了。

按皮亞杰的兒童智力發(fā)展理論,初中低年級學(xué)生認(rèn)知水平處于具體運算階段,在很大程度上要借助具體對象進(jìn)行思維操作,所以更趨向用特殊化策略;而隨年級升高學(xué)生認(rèn)知水平逐漸進(jìn)入形式運算階段,能夠不受具體對象限制,在抽象、概括水平上進(jìn)行思考。

(三)一般化策略運用普遍較差,但隨著年級的增加有所提高

從調(diào)查結(jié)果看,涉及一般化思維及證明的“式的規(guī)律及證明”問題得分率最低,該題目中學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,續(xù)寫后面的式子,但就是無法上升到一般化層面用符號語言代替具體數(shù)字。其它涉及一般化策略及證明的表現(xiàn)也都很差,似乎一旦出現(xiàn)變量 n,得分率就會“垂直下降”。但隨著年級的升高,一般化思維的運用也有所提高,高年級學(xué)生形式化的證明明顯好于低年級學(xué)生。

究其原因,除了以上提到的認(rèn)知水平的差異外,六、七年級學(xué)生處于由算數(shù)思維向代數(shù)思維過渡的階段,這本身也是由特殊化思維向一般化思維的過渡,對于字母、變量的含義理解不全面,這可能導(dǎo)致一般化運用策略過程的困難。但需要注意的是,高年級一般化過程、形式化的證明的層次也不高,得分率未超過 0.5,甚至出現(xiàn)形式化證明 0.1左右的得分率。

(四)特殊化與一般化策略的靈活運用上存在一定思維定勢

有意思的是,在“填數(shù)字”問題中,第一小問采用特殊化的方法是很難快速湊對答案的,而第二小問采用特殊化方法能立即獲得解答,而采用一般化方程的辦法就沒那么直觀。結(jié)果顯示,六年級有 5.2%只做對第一問,七年級有 8%只做對第一問,這部分比例七年級略高,雖然都沒超過 10%,但也說明一個有趣的問題,部分學(xué)生或許列方程“埋頭苦算”,卻忽視了帶具體數(shù)字嘗試一下的辦法,跳不出形式化的“束縛”,而隨年級升高學(xué)生的這一“束縛”變得明顯。

在“數(shù)的規(guī)律及證明”問題中,六年級學(xué)生用枚舉法證明,這是從特殊化的角度考慮,但由于題目背景特殊,用枚舉法可以窮盡所有情況,因此枚舉法證明不失為一種好方法。而八年級學(xué)生沒有一人用枚舉法,似乎想努力尋找形式化的證明,即使證明是錯誤的。其原因可能是,隨年級升高,學(xué)生在接受了較多形式化證明及一般化策略后,形成一定思維定勢,以致于想不到使用直觀而容易的特殊化方法,但由于本研究側(cè)重對學(xué)生的測試,其具體原因還有待進(jìn)一步研究。

[1]賀真真.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)因素分析的數(shù)據(jù)報告——以上海市青浦區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].教育發(fā)展研究,2007 (7-8A):78-83.

[2]周超.八年級學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的檢測與相關(guān)分析[D].上海:華東師范大學(xué),2009.

[3]李士锜.PME數(shù)學(xué)教育心理[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2001.

Survey on M iddle School Students’Strategies of Generalization and Speci alization i n Mathematics Problem Solvi ng

SU IWenjing,BAO Jiansheng
(School of Science and Technology,East China No rmalUniversity,Shanghai 200241,China)

In the assessment framework ofmathematical cognition level,generalization and specialization are among the key indicators of the highestmathematical cognition levels.This survey on three grades in a key middle school in Shanghai has some initial findings.Firstly,the students’overall performance in strategies of generalization and specialization is not good.Secondly,the use of strategies and thought of specialization is better than generalization.Thirdly,low grade students are more likely to use strategiesof specialization than to use strategiesof generalization,but the situation is changed along with passing grades.Finally,there are some thinking patterns that affect students’using of strategy of generalization and specialization.

generalization;specialization;mathematical cognition level

G633.6

A

1671-6574(2010)03-0022-08

2010-04-01

隋文靜(1985-),女,新疆克拉瑪依人,華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系課程與教學(xué)論專業(yè) 2008級碩士研究生;鮑建生(1960-),男,浙江金華人,華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授,博士生導(dǎo)師。