冪線(xiàn)性空間的初步探討

孫延彬，趙偉杰

（平頂山學(xué)院 團(tuán)委，河南 平頂山 467000）

冪線(xiàn)性空間的初步探討

孫延彬，趙偉杰

（平頂山學(xué)院 團(tuán)委，河南 平頂山 467000）

本文對(duì)怎樣從線(xiàn)性空間得到冪線(xiàn)性空間做了一個(gè)詳細(xì)的闡述，并仔細(xì)研究了冪線(xiàn)性空間的基本結(jié)構(gòu)，舉出了一個(gè)很有代表性的例子，還得到了冪線(xiàn)性空間的一些性質(zhì).隨后從線(xiàn)性無(wú)關(guān)中得到了冪線(xiàn)性空間的基的概念，并引出了維數(shù)的概念，初步討論了基坐標(biāo)變換.另外本文給出了冪線(xiàn)性空間的子空間的概念，初步討論了冪子空間的交與和，冪子空間的直和，最后對(duì)冪線(xiàn)性空間的同構(gòu)作了初步的探討.

冪線(xiàn)性空間；基；維數(shù)；基坐標(biāo)；子空間

近年來(lái)，隨著序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的提升得到廣泛的應(yīng)用，代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升也引起了越來(lái)越多人的關(guān)注，并且序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升已經(jīng)得出了很多具有深刻意義的成果，例如文[1]提出了代數(shù)群的提升，文[2]給出了環(huán)的冪集提升，文[3]給出了格的冪集提升.

1 預(yù)備知識(shí)

線(xiàn)性空間考慮它的所有子集構(gòu)成的集合，賦予它一定的結(jié)構(gòu)就得到了冪線(xiàn)性空間.

設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V為F的線(xiàn)性空間，記P（V）={A|A?V}，p0(V)=P(V)-Φ.

定義1設(shè)Γ是p0(V)的非空子集，如果?A,B∈Γ和λ∈F，滿(mǎn)足運(yùn)算：A+B={a+b|a∈A,b∈B}，λ·B={λb|b∈B}

而做成線(xiàn)性空間，則稱(chēng)Γ為V上的冪線(xiàn)性空間.{0}稱(chēng)為冪線(xiàn)性空間的零元.

注 由于Γ是p0(V)的非空子集，所以Γ是V中A這類(lèi)子空間的集合，但Γ也許含有限個(gè)諸如A這樣的V的子空間，也可以含有無(wú)限個(gè)諸如A這樣的V的子空間，但只要Γ?p0(V)并滿(mǎn)足上述兩種運(yùn)算，便可定義Γ為V的冪線(xiàn)性空間.

顯然，A是Γ中的元素，并且A是V的子集.

例1設(shè)V的一個(gè)線(xiàn)性空間，則{{x}|∈V}顯然是V上的冪線(xiàn)性空間.

證明 因?yàn)閂是線(xiàn)性空間，對(duì)于α∈V,β∈V有

1.{α}+{β}={α+β|α∈V,β∈V}={β}+{α}，

2.{{α}+{β}}+{γ}={α}+{β}+{γ}，

3.在{{α}|α∈V}中有{0},顯然是對(duì)V中任一元素{α}滿(mǎn)足公式{α}+{0}={α+0}={α}，

4.因?yàn)樵赩中每一個(gè)元素α，都有V中的一個(gè)元素β使α+β=0，所以在{{α}α∈V}中有{β}使{α}+{β}=0，

5.1 ·{α}={1·α}={α}，

6.k{α}={k/α}，

7.(k+1){α}=k{α}+l{α}，

8.k({α}+{β})=k{α}+k{β}，即得證.

2 冪線(xiàn)性空間的基與維數(shù)

定義2一向量組的一個(gè)部分組稱(chēng)為一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話(huà)），所得的部分向量組都線(xiàn)性相關(guān).

定義3向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量的秩.

定義4設(shè)Γ是數(shù)域F上的線(xiàn)性空間，A1，A2，…，Ar(r≥1)是Γ中一組向量，k1，k2，…，kr是數(shù)域F中的數(shù)，那么向量A=k1A1+k2A2+…+krAr，稱(chēng)為向量組A1，A2，…，Ar的一個(gè)線(xiàn)性組合，有時(shí)我們也說(shuō)向量A可以用向量組A1，A2，…，Ar線(xiàn)性表出.

是Γ中的兩個(gè)向量組，如果(1)中的每個(gè)向量都可以用向量組(2)線(xiàn)性表出，那么稱(chēng)向量組(1)可以用向量組(2)線(xiàn)性表出，如果(1)與(2)可以互相線(xiàn)性表出，那么向量組(1)與(2)稱(chēng)為等價(jià)的.

定義6設(shè)Γ是冪線(xiàn)性空間，A1，A2，…，Ar∈Γ.如果

時(shí)，只有在K1=K2=…=0時(shí)才成立.稱(chēng)A1，A2，…，Ar線(xiàn)性無(wú)關(guān)，如果有不全為零的數(shù)K1，K2，…，Kr使

則稱(chēng)A1，A2，…，Ar線(xiàn)性相關(guān).

定義7如果在冪線(xiàn)性空間中有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，但是沒(méi)有更多的數(shù)目的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，那么冪線(xiàn)性空間Γ就稱(chēng)為n維的，如果在Γ中可以找到任意多個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，那么Γ就稱(chēng)為無(wú)限維的.

定義8n維冪線(xiàn)性空間Γ中，n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量A1，A2，…，An稱(chēng)為Γ的一組基.設(shè)B是Γ中任一向量，于是A1，A2，…，An，B線(xiàn)性相關(guān)，因此B可以被基A1，A2，…，An線(xiàn)性表出：B=a1A1+a2A2+…+anAn，其中系數(shù)a1，a2，…，an是被向量B和基A1，A2，…，An唯一確定的，這組數(shù)就稱(chēng)為B在基A1，A2，…，An下的坐標(biāo)，記為（a1，a2，…，an）.

同樣可以得出：

定義9如果在冪線(xiàn)性空間Γ中有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量A1，A2，…，An，且Γ中任一向量都可以用它們線(xiàn)性表出.那么Γ是n維的，A1，A2，…，An就是Γ的一組基.

在例1中，假設(shè)V是n維的.

若α1，α2，…，αn是線(xiàn)性空間V中的一組基，則{α1}，{α2}，…，{αn}也是冪線(xiàn)性空間{{x}|x∈V}的一組基.

事實(shí)上，

時(shí)，有

而

時(shí)，不必

同理

時(shí)，要求

而

時(shí)，不必

定義10A1，A2，…，An與A'1，A'2，…，A'n是n維冪線(xiàn)性空間Γ中的兩組基，它們的關(guān)系是

設(shè)向量B在這兩組基下的坐標(biāo)分別是(x1,x2,…,xn)與(x'1, x'2,…,x'n).則

這里(aij,a2j,…,anj)j=1,2,…,n事實(shí)上就是第二組基向量A'j（j=1,2,…,n）在第一組基下的坐標(biāo).有

因此

這里

是基A1，A2，…，An到A'1，A'2，…，A'n的過(guò)渡矩陣.

3 冪線(xiàn)性空間的子空間

定義11數(shù)域F上冪線(xiàn)性空間Γ的一個(gè)非空子集稱(chēng)為Γ的一個(gè)冪線(xiàn)性子空間，如果T對(duì)于Γ的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域F上的冪線(xiàn)性空間.

性質(zhì) 冪線(xiàn)性空間Γ的非空子集T滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件，則稱(chēng)T是冪線(xiàn)性空間Γ的冪線(xiàn)性子空間.

1A∈Γ，有λA∈Γ.

2A，B∈Γ有A+B∈Γ.

定理1在冪線(xiàn)性空間中，有單個(gè)的零向量組成的子集，是一個(gè)冪線(xiàn)性子空間，它叫做零冪子空間.

Γ中可以有這樣的冪線(xiàn)性子空間，如{{0}}.

冪線(xiàn)性空間∈Γ本身也是∈Γ的一個(gè)冪子空間.

零冪子空間和冪線(xiàn)性空間本身這兩個(gè)冪子空間叫做平凡冪子空間，而其它的冪線(xiàn)性空間叫做非平凡冪子空間.

定理2設(shè)A1，A2，…，Ar是冪線(xiàn)性空間Γ中一組向量，可知這組向量所有的線(xiàn)性組合k1A1+k2A2+…+krAr所構(gòu)成的集合是非空的，而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是Γ的一個(gè)冪子空間，這個(gè)冪子空間叫做由A1，A2，…，Ar生成的冪子空間，記為L(zhǎng)（A1，A2，…，Ar）.

證明 1.A1+A2={α1+α2|α1∈A1，α2∈A2}=A2+A1，

2.(A1+A2)+A3=A1+(A2+A3)，

3.如果k1=k2=…=kr=0，所以有k1A1+k2A2+…+krAr={0}，得到A1+{0}=A1，

4.設(shè)k1=1，k'1=-1，那么k1A1+k'1A1=A1-A1=0，

5.1 ·A1=A1，

6.k(lA1)=klA1，

7.(k+l)=A1=kA1+lA1，

8.k(A1+A2)=kA1+kA2，

所以k1A1+k2A2+…+krAr所構(gòu)成的集合是一個(gè)冪線(xiàn)性空間，是Γ的一個(gè)冪子空間.記為L(zhǎng)（A1，A2，…，Ar）.

定理3設(shè)T是冪線(xiàn)性空間Γ的一個(gè)冪子空間，設(shè)Γ是有限維的，T當(dāng)然也是有限維的，設(shè)A1，A2，…，Ar是T的一組基，就有T=L（A1，A2，…，Ar）.

定理4兩個(gè)向量生成相同的冪子空間的充要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià).

證明 設(shè)A1，A2，…，Ar與B1，B2，…，Bs是兩個(gè)向量組.如果L（A1，A2，…，Ar）=L(B1，B2，…，Bs).

那么L（A1，A2，…，Ar）中每個(gè)向量Ai(i=1,2,…，r)作為L(zhǎng)（B1，B2，…，Bs）中的向量都可以被B1，B2，…，Bs線(xiàn)性表出.同樣每個(gè)向量Bi(i=1,2,…,s)作為L(zhǎng)（A1，A2，…，Ar）中的向量也都可以被A1，A2，…，Ar線(xiàn)性表出，因而這兩個(gè)向量組等價(jià).

如果這兩個(gè)向量組等價(jià)，那么凡是可以被A1，A2，…，Ar線(xiàn)性表出的向量都可以被B1，B2，…，Bs線(xiàn)性表出.反過(guò)來(lái)也一樣，因而L（A1，A2，…，Ar）=L(B1，B2，…，Bs).

定理5設(shè)T是數(shù)域P上n維冪線(xiàn)性空間Γ的一個(gè)m維冪子空間，A1，A2，…，Am是T的一組基，那么這組向量必定可擴(kuò)充成整個(gè)冪空間的基.也就是說(shuō)，在冪線(xiàn)性子空間T中必定可以找到n-m個(gè)向量Am+1，Am+2，…,An使得A1，A2，…，An是Γ的一組基.

4 冪子空間的交與和

定理6如果Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的兩個(gè)冪子空間，那么它們的交Γ1∩Γ2也是Γ的冪子空間.

證明 首先由{0}∈Γ1，{0}∈Γ2可知{0}∈Γ1∩Γ2，顯然Γ1∩Γ2非空.其次，如果A，B∈Γ1∩Γ2，即A，B∈Γ1，A，B∈Γ2，那么A+B∈Γ1，A+B∈Γ2，因此，A+B∈Γ1∩Γ2.對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明，所以Γ1∩Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間.

注 這里A+B={α+β|α∈A，β∈B}.

冪線(xiàn)性子空間的交適應(yīng)下列運(yùn)算規(guī)律：

定理7設(shè)Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，所謂Γ1，Γ2的和是指所有能表示成A1+A2，而A1∈Γ1，A2∈Γ2的向量組成的子集合，記做Γ1+Γ2.

如果Γ1，Γ2是Γ的冪子空間，那么它們的和也是Γ的冪子空間.

證明 因?yàn)?{0}∈Γ1，{0}∈Γ2，顯然 {0}∈Γ1+Γ2，顯然Γ1+Γ2是非空的.其次，如果A，B∈Γ1+∈Γ2，即

那么

又因Γ1，Γ2是冪子空間，故有

因此

同樣

所以Γ1+Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間.

定理8（維數(shù)公式） 如果Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，那么維（Γ1）+維（Γ2）=維（Γ1+Γ2）+維（Γ1∩Γ2）.

證明 設(shè)Γ1，Γ2的維數(shù)分別是n1n2，Γ1∩Γ2的維數(shù)是m.取Γ1∩Γ2的一組基

由定理5，它可以擴(kuò)充成Γ1的一組基

也可以擴(kuò)充為Γ2的一組基

我們來(lái)證明向量組

是Γ1+Γ2的一組基，這樣，Γ1+Γ2的維數(shù)就等于n1+n2-m，因而維數(shù)公式成立.

因?yàn)?/p>

所以

現(xiàn)在來(lái)證明向量組(1)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，假設(shè)有等式

令

由第一個(gè)等式，A∈Γ1，而由第二個(gè)等式看出，A∈Γ2，于是，A∈Γ1∩Γ2，即A可以被線(xiàn)性A1，A2，…，Am表出.令

則

由于A1，A2，…，Am,C1,…，Cn2-m線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得l1=…=lm=q1=…qn2-m=0，因而A=0，從而有

由于A1，A2，…，Am，B1，…Bn1-m線(xiàn)性無(wú)關(guān)，又得

這就證明了A1，A2，…，Am，B1，…Bn1-m，C1,…，Cn2-m線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因而它是Γ1+Γ2的一組基，故維數(shù)公式成立.

推論 如果n維冪線(xiàn)性空間Γ中兩個(gè)冪子空間Γ1，Γ2的維數(shù)之和大于n，那么Γ1，Γ2必含有非零的公共向量.證明 由假設(shè)

但因Γ1+Γ2是Γ的冪子空間，而有

所以

這就是說(shuō)，Γ1∩Γ2中含有非零向量.

5 冪子空間的直和

定義12Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間.如果和Γ1+Γ2中每個(gè)向量A的分解式

是唯一的，這個(gè)和就成為直和，記做Γ1⊕Γ2.

定理10設(shè)Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，和Γ1， Γ2是直和的充要條件是等式

只有在A1，A2全為零向量時(shí)才成立.

證明 定理的條件實(shí)際上就是零向量的分解式是唯一的，因而這個(gè)條件顯然是必要的，下面來(lái)證明這個(gè)條件的充分性.

設(shè) A∈Γ1+Γ2它有兩個(gè)分解式

于是

其中

所以說(shuō)

即是向量A的分解式是唯一的.

推論 和Γ1+Γ2為直和的充要條件是Γ1∩Γ2={{0}}.

證明 先證條件的充分性，假設(shè)有等式，

即

由假設(shè)

這就證明了Γ1+Γ2是直和.

再證必要性，任取向量A∈Γ1∩Γ2，于是零向量可以表示，

因?yàn)槭侵焙?，所以A=-A={0}這就證明了

定理 11設(shè)Γ1，Γ2是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，令T=Γ1+Γ2，則

證明 因?yàn)槎汕懊娑ɡ?0的推論知，Γ1+Γ2為直和的充要條件是Γ1∩Γ2={{0}}，這是與維（Γ1∩Γ2）=0是等價(jià)的，也就與維（T）=維（Γ1）+維(Γ2).等價(jià)，這就證明了定理.

定理12設(shè)Γ1是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，那么一定有一個(gè)冪子空間Γ2，使得Γ=Γ1⊕Γ2.

定理13設(shè)Γ1，Γ2，…，Γs都是冪線(xiàn)性空間Γ的冪子空間，如果和Γ1+Γ2+…+Γs中每一個(gè)向量A的分解式

是唯一的.這個(gè)和就稱(chēng)為直和，記做Γ1⊕Γ2⊕…⊕Γ2.

6 冪線(xiàn)性空間的同構(gòu)

定義10數(shù)域F上兩個(gè)冪線(xiàn)性空間Γ與Γ'稱(chēng)為同構(gòu)的，如果由Γ到Γ'有一個(gè)1-1的映上的映射δ，具有以下性質(zhì)：

1δ（A+B）=δ（A）+δ（B），

2δ（kA）=kδ（A），

其中A，B是Γ中任一向量，k是數(shù)域F中任一數(shù)，這樣的映射δ稱(chēng)為同構(gòu)映射.

例 n維冪線(xiàn)性空間Γ中任組一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)就是Γ到Fn的一個(gè)同構(gòu)映射，因而Fn上任一n維冪線(xiàn)性空間都與Fn同構(gòu).

由定義可以看出，同構(gòu)映射具有下列基本性質(zhì)：

1δ({0})={0}，δ(-A)=-δ(A).

2δ(k1A1+k2A2+…+krAr)=k1δ(A1)+k2δ(A2)+…+krδ(Ar).

3Γ中向量組A1，A2，…，Ar線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是它們的象δ（A1），δ（A2），…，δ（Ar）線(xiàn)性相關(guān).

4如果Γ1是Γ的一個(gè)冪子空間，那么Γ1在δ下的象集合，

是δ(Γ)的子空間，并且Γ1與δ（Γ1）維數(shù)相同.

5同構(gòu)映射的逆映射以及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積也是同構(gòu)映射.

總之，在數(shù)域F上任意一個(gè)n維冪線(xiàn)性空間都與Fn同構(gòu)，由同構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性與傳遞性即得，數(shù)域F上任意兩個(gè)n維冪線(xiàn)性空間都同構(gòu).

定理13數(shù)域F上兩個(gè)有限維冪線(xiàn)性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù).

〔1〕李洪興，汪培慶.冪群[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，1988（1）：1-4.

〔2〕姚炳學(xué)，李洪興.冪環(huán)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000（14）：15-19.

〔3〕明平華，鄭崇友.冪格[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2002，15（2）：14-17.

〔4〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1988.

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1673-260X（2010）09-0015-04