陽永生

（長沙民政職業(yè)技術(shù)學院 文法系，湖南 長沙 410004）

0 引 言

會議籌備的一項重要任務就是為與會代表預訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。然而，由于與會代表數(shù)量、對客房的需求及參加分組會議情況等都具有隨機性，使得具體的籌備工作變得十分復雜。因此，通過數(shù)學建模方法對該問題進行研究具有重要的理論與實踐意義。

本文以2009年全國大學生數(shù)學建模競賽D題數(shù)據(jù)為背景[1]。

1.題分析與模型假設

根據(jù)問題的復雜性和實際情況，以經(jīng)濟、方便和代表滿意等作為優(yōu)化目標，從預訂賓館各規(guī)格客房、租借會議室、租用客車三個維度進行優(yōu)化設計，采用兩階段規(guī)劃方法進行問題的建模與求解。模型具體假設如下：

(1) 滿足代表在價位方面的需求是指價位區(qū)間而不是具體的價位；

(2) 假設附表 2回執(zhí)信息中各規(guī)格客房需求比例具有代表性；

(3) 兩賓館間的距離不超過 500米時無需派車，道路的寬度按50米計算；

(4) 只在有客房預訂的賓館租借會議室。

2.型建立

2.1.房需求數(shù)據(jù)預測

為確定各賓館客房的預訂數(shù)量，應先確定客房的需求總量及各種規(guī)格客房的需求量。設ξ表示本屆會議預測與會代表人

由假設(1)及附表2，將合住1~獨住3的六類客房依次稱為規(guī)格1~規(guī)格6客房，如果籌備組預訂的各規(guī)格客房數(shù)能滿足K位代表的需求，則在置信水平為α的情形下有

據(jù)此，可預測出當置信水平為α時與會代表人數(shù)K，由假設(2)，可得到第 j種規(guī)格客房的需求量 Nj和客房總量N 。

2.2.型一：客房預訂決策模型

客房的預訂應使會議籌備組管理方便、代表滿意。前者可用所選擇的賓館數(shù)盡量少、距離上盡量靠近來衡量；后者則應包含預訂客房數(shù)不夠?qū)嶋H需求的程度、代表是否能得到他要求規(guī)格的客房；同時，還應考慮預訂客房數(shù)超過實際需求時的空房費。

(1) 所選擇的賓館數(shù)量為：

如果在賓館i的預訂客房總數(shù)大于0，則τi=1，否則τi=0。

(2) 所選擇的賓館在距離上的度量可描述為：

(3) 預訂的客房應盡量滿足代表在客房規(guī)格方面的需求。

設 xij表示在第i個賓館預訂第 j種規(guī)格客房的數(shù)量；yjk表示需要第k種規(guī)格客房而實際安排第 j種規(guī)格客房的數(shù)量； cjk表示當一個代表需要第k種規(guī)格客房而實際安排第j種規(guī)格客房時的滿意度，具體取值結(jié)果如下：

其中，第一部分表示當某規(guī)格客房預訂數(shù)大于需求量時的偏差值，第二部分表示當預訂數(shù)小于需求量時的偏差值，二者具有互斥性，故增加以下約束[3]

(4) 預訂客房的總量過?；虿蛔銓е碌摹皳p失”期望值盡量小。

該損失包括預訂客房數(shù)超過實際需求時造成的一天空房費和預訂客房數(shù)不夠?qū)嶋H需求時引起代表不滿的“費用”。

客房數(shù)超過實際需求時造成的空房費為

其中， q1表示一間客房一天的空房費。由附表3，根據(jù)樂觀值準則可得本屆會議客房需求總量的最大值 Nmax，采用極值差方法將 f1進行無量綱化處理，得

根據(jù)假設(2)及附表2，想合住的代表人數(shù)占總代表人數(shù)的57%，想獨住的代表人數(shù)占總代表人數(shù)的43%，因此，平均每一間客房所代表的人數(shù)為1.57人，故預訂客房數(shù)不夠?qū)嶋H需求時引起代表不滿的“費用”為

在置信水平為α時，預訂客房的總量過?；虿蛔銓е碌摹皳p失”的期望值[4,5]為

(5) 目標函數(shù)構(gòu)成。

顯然，目標函數(shù)(1)~(4)具有不同的指標性質(zhì)，本文采用極值差方法對其進行無量綱化處理。即

設 aij表示第i個賓館第 j種規(guī)格客房的數(shù)量；構(gòu)造目標

函數(shù)(5)~(9)的總目標函數(shù),得客房預訂決策模型[6](模型一)如下：

館中各種規(guī)格客房數(shù)量的限制；式(11)表示在各賓館預訂的第 j種規(guī)格的客房必須全部分配出去；式(12)確保當賓館i的預訂客房總數(shù)大于0時 si= 1 ；式(13)表示要求合住的代表不能安排單間；式(16)表示每一種規(guī)格客房預訂數(shù)與相互調(diào)配的均衡。

2.3.型二：會議室、客車租賃決策模型

只考慮上午的會議室和客車租賃問題；只在有客房預訂的賓館租借會議室；上午開會前從各賓館派車，將代表接到各會場，散會后原車返回。會議室、客車租賃決策的主要目標為總費用盡量小。

結(jié)合3.2的討論，可選定在哪些賓館預訂客房，不妨依次對其重新編號為 i=1 ,,n um 。設 Ai表示賓館i的入住代表人數(shù)；示賓館i中第 j種類型會議室的規(guī)模，表示會議室的間數(shù)，表示單間會議室半天的租用費；表示第s種型號客車的額定載客量示單位租金；各分組會議所討論主題的影響因子為(θk>0且∑θk=1)，其含義為第k個分組會議對與會代表的吸引力；示賓館i第 j種類型會議室是否作為k個分組會會場，為 0-1變量；表示從賓館l派出的第s種型號客車的數(shù)量。

于是，建立會議室、客車租賃決策模型(模型二)如下：

其中，目標函數(shù)(17)會議室和客車租賃費用之和；式(18)表示賓館i第 j種類型會議室的間數(shù)限制：式(19)表示每一個主題分組會必須指派 1個會議室；式(20)表示賓館i第 j種類型會議室的規(guī)模限制；式(21)表示保證從賓館l派出客車的總載客量大于賓館l需要派車的代表的數(shù)量。

3.型求解與結(jié)果分析

首先，預測客房需求總量及各規(guī)格客房需求量。顯然，當置信水平α增加時，客房需求總量預測值會隨之增加，其關(guān)系如圖1所示。

圖1.房需求總量與置信水平α關(guān)系圖

從圖1可看出，客房需求總量預測值在473間(0.5α=時)左右波動，且幅度不大。即在50%的概率意義下，客房需求總量小于 473間；而當客房預訂量增加約 2.1%時，卻可以保證95%的概率意義下不會出現(xiàn)客房不足現(xiàn)象。具體的各規(guī)格客房需求量預測值如表1所示。

表1.規(guī)格客房需求預測值

其次，確定在哪些賓館預訂客房及預訂各類客房的數(shù)量。根據(jù)圖1所反映的數(shù)據(jù)特點，分別以表1中置信水平 α =0.5和 α =0.95時的各規(guī)格客房需求數(shù)據(jù)為基礎，權(quán)值λi均取為0.2，運用LINGO軟件求解[7]模型一，得具體的預訂結(jié)果如表2所示。從表2可以看出，當α取不同的值時，賓館的選擇及各規(guī)格客房之間的調(diào)整方向沒有變化，但在各規(guī)格客房預訂數(shù)量及調(diào)整幅度上有一定差異，同時，各規(guī)格客房預訂均可以滿足85%左右的與會代表在價位方面的需求。

表20.5α=時(0.95α=)具體客房預訂情況及對比分析

最后，確定預訂會議室及租車的規(guī)格和數(shù)量。由于沒有關(guān)于會議主題影響因子的任何信息，不妨假設六個分組會的影響力相等，取θk=1/6，運用LINGO軟件求解[4]模型二，得置信水平α=0.5和α=0.95時具體的會議室租借方案均為：租借賓館七第一、三種類型會議室各1間，賓館八第一、二種類型會議室各1間，賓館九第二、三種類型會議室各1間；會議室租借費用為 5600元；無需租車?？梢?，會議室和客車租賃決策對參數(shù)α不敏感，即各賓館預訂客房數(shù)量和與會代表總?cè)藬?shù)發(fā)生小范圍變化時，對決策結(jié)果不會產(chǎn)生影響。

4.語

本文較系統(tǒng)地解決了會議籌備過程中關(guān)于與會代表數(shù)量預測、賓館預訂、會議室租借和客車租賃決策等問題。首先基于置信水平對與會代表數(shù)量進行預測，從而得到各規(guī)格客房需求數(shù)據(jù)；結(jié)合問題的實際情況，將會議籌備問題轉(zhuǎn)化為兩階段決策問題，建立相應的數(shù)學規(guī)劃模型，得到了從經(jīng)濟、方便和代表滿意等角度考慮的優(yōu)化方案。其優(yōu)點在于決策者可以根據(jù)各因素的利弊，確定置信水平α，決定具體方案的實施。理論分析與計算結(jié)果均表明模型的有效性，與實際生活情形相符。

[1]中國大學生數(shù)學建模競賽[EB/OL].www.mcm. edu. cn, 2009.

[2]劉寶碇,彭錦.不確定理論教程[M].北京:清華大學出版社,2005.

[3]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型(第三版)[M],北京:高等教育出版社,2003.

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[5]范宏,程浩忠,葉幼君. 基于隨機期望值規(guī)劃的輸電網(wǎng)規(guī)劃方法[J].華東電力,2007,35(12):16~21.

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[7]謝金星,刑文訓.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO 軟件[M],北京:清華大學出版社 ,2007.