吳妙仙

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學院信控分院,浙江東陽 322100)

0 引 言

非線性發(fā)展方程的精確求解問題已形成了許多重要的方法,如反散射方法[1]、Darboux變換方法[2]、Hirota方法[3]、B?cklund變換[4]及 W ronskian技巧[5-6]等.其中 ,W ronskian技巧有著鮮明的特點 ,這不僅因為W ronskian行列式本身所具有的特性使得由W ronskian行列式形式構(gòu)成的解可以直接代入到方程中進行檢驗,而且通過這種解的表示還可以求得除孤子解以外的其他形式的精確解,如有理解、positon解、negaton解、complexiton解、breathers解等[7-9].

目前,W ronskian技巧已經(jīng)有效地應(yīng)用到許多經(jīng)典的可積系統(tǒng)中,如 KdV方程、MKdV方程、KP方程、Boussinesq方程、非線性 Schr?dinger(NLS)方程及帶導(dǎo)數(shù)項的非線性 Schr?dinger方程等.最近,一些學者已成功地將該技巧應(yīng)用于若干等譜與非等譜方程及變系數(shù)方程中.例如:文獻[10]研究了等譜二階 AKNS方程的雙W ronskian解;文獻[11]研究了非等譜 KP方程的雙 W ronskian解;文獻 [12]研究了一類變系數(shù) NLS方程的雙W ronskian解.

本文研究一類在珀色-愛因斯坦凝聚態(tài)中有著重要應(yīng)用的一類廣義非線性 Schr?dinger方程

式(1)中:λ為實參數(shù);Q(t,x)為宏觀波函數(shù);t,x分別為時空變量.方程 (1)從形式上看是經(jīng)典Schr?dinger方程的變系數(shù)推廣,其孤子解和周期解結(jié)果見文獻[13].方程 (1)的 Lax對可表示為

式 (2)中:φ為波函數(shù);

1 W ronskian解

若在方程 (1)中施以分式變換

F,G均為 x,t的復(fù)函數(shù),則 F與 G滿足下列方程:

其中 D是著名的 Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)算子,定義為

考察矩陣方程組

式 (8)中:φ,ψ為列向量,φ =(φ1,φ2,…,φ2N)T,ψ=(ψ1,ψ2,…,ψ2N)T;A是關(guān)于 x與 t的 2N ×2N 階矩陣函數(shù),且滿足

令 PN×M,QN×M為如下 N ×M階矩陣:

因此,方程 (6)和方程 (7)可轉(zhuǎn)化為雙線性方程組

為了證明的需要,先給出以下幾個引理:

引理 1[15]設(shè) D是 N ×(N-2)階矩陣,a,b,c,d是 N維列向量,則

引理 2[5]設(shè)αj(j=1,2,…,n)是具有 n個分量的列向量,而γj(j=1,2,…,n)是不為零的 n個任意常數(shù),則

式 (17)中 γ αj是列向量 ,即

引理 3[16]設(shè) P=(pij)是 n×n階算子矩陣,其元素 pij是微分算子,B=(bij)是 n×n階函數(shù)矩陣,以表示矩陣 B的列向量與行向量,則

注 1 式 (19)說明算子 pij分別作用于各列向量相應(yīng)元素所得 n個行列式之和與 pij分別作用于行列式各行向量相應(yīng)元素所得 n個行列式之和相等.

引理 4 設(shè) A是與 x無關(guān)的 2N×2N階矩陣函數(shù),且滿足式 (9),則在條件 (8)下,類似于文獻 [14]中的推導(dǎo),有:

定理 1 若 A是與 x無關(guān)的 2N ×2N階矩陣,且滿足 At=λA,則方程 (14)和方程 (15)在條件 (8)下有雙W ronskian行列式解:

證明 先證雙 W ronskian行列式 (26)滿足式 (14).記Δ=2ie-λt,則易得 F,G對 x的導(dǎo)數(shù)分別為:

其次,在條件 (8)下又可算得:

將式 (27)～式 (32)代入到方程 (14)的左端,得

注意到式 (24),方程 (14)的左端可化為

利用引理 1,不難推知:

因此,式 (33)恒為零,從而式 (14)成立.同樣地可證得式 (26)亦滿足式 (15).定理 1證畢.

因此,方程 (1)的解可表示為

2 類有理解

一般地,矩陣方程組 (8)的通解可表示為

求解矩陣方程 (9)得 A=eλtA0(A0為任意常數(shù)矩陣),將其代入到式 (37)并展開為級數(shù)形式,得

斷為有限項

此時,相應(yīng)的分量可寫為:

因此,可求得方程W ronskian形式的類有理解,其對應(yīng)的前 3個類有理解分別為:

當然,上述關(guān)于類有理解的結(jié)果亦可直接代入方程進行檢驗.

3 結(jié) 語

對于廣義非線性 Schr?dinger方程 (1),在 Lax對基礎(chǔ)上給出構(gòu)成解的雙W ronskian行列式的列向量φ與ψ所滿足的矩陣方程,并結(jié)合 Hirota方法與W ronskian技巧討論了方程 (1)的雙W ronskian形式的解.在矩陣函數(shù) A要求滿足 Al=λA的條件下,取 A=eλlA0(這里 A0為任意常數(shù)矩陣),求得含任意常數(shù)矩陣 A0的 φ與ψ的通解,并將其展開為 A0的冪級數(shù).于是,當 A0取相應(yīng)的特殊矩陣時即可算得方程(1)的類有理解.本文給出的求雙W ronskian解方法還可以應(yīng)用到其他的可積方程中.此外,對于方程(1),當 A0取其他特殊矩陣時,還可以求得如 positon解、negaton解、complexiton解等其他形式的精確解,關(guān)于此方面的結(jié)果將另文給出.

[1]AblowitzM J,Clarkson P A.Solitons,nonlinear evolution equations and inverse scattering[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[2]谷超豪,胡和生,周子翔.孤子理論中的達布變換及其幾何應(yīng)用[M].上海:上海科學技術(shù)出版社,1999:53-58.

[3]Hirota R.Exact solution to the KdV equation formultiple collisions of solitons[J].Phys RevLett,1971,27:1192-1194.

[4]Hu X B.A B?cklund transformation and nonlinear superposition formula of a modified KdV-type bilinear equation[J].J Math Phys,1994,35:4379-4745.

[5]FreemanN C,Nimmo J J C.Soliton solutionsof the Korteweg deVries and Kadomtsev-Petviashvili equations:theW ronskian technique[J].Phys LettA,1983,95(1):1-3.

[6]MatveevV B.GeneralizedW ronskian formula for solutions of the KdV equation[J].PhysLettA,1992,166(3/4):205-208.

[7]Yao Yuqing,Ji Jie,Liu Yuqin,et al.Soliton solutions,rational solutions,Matveev solutions,complexions and mixed solutions for three(2+1)-dimension equations[J].PhysLettA,2008,372(6):786-797.

[8]Li Chunxia,MaWenxiu,Liu Xiaojun,et al.W ronskian solutions of the Boussinesq equation:solitons,negatons,positons and complexitons[J].Inverse Problems,2007,23(1):279-296.

[9]張翼,顏姣姣,褚儷瑾.KdV方程矩陣形式的精確解[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2009,32(2):126-132.

[10]Sun Yunpen,Bi Jinbo,Chen Dengyuan.N-soliton solutions and doubleW ronskian solution of the non-isospectralAKNS equation[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,26(3):905-912.

[11]Ji Jie.The doubleW ronskian solutions of a non isospectral Kadomtsev-petviashvili equation[J].PhysLettA,2008,372(39):6074-6081.

[12]LüXin,Zhu Hongwei,Yao Zhenzhi,et al.Multisoliton solutions in ter msof doubleW ronskian deter minant for a generalized variable-coefficient nonlinear Schr?dinger equation from plas ma physics,arterial mechanics,fluid dynamics and optical communications[J].Annals of Physics,2008,323(8):1947-1955.

[13]Zhang Yi,Xu Hongxian,Yao Caizeng,et al.A classof exact solutionsof the generalized nonlinear Schr?dinger equation[J].ReportsonMathematical Physics,2009,63(3):427-439.

[14]Nimmo J J C.A bilinearB?cklund transfor mation for the nonlinear Schr?dinger equation[J].PhysLettA,1983,99(6/7):279-280.

[15]陳登遠.孤子引論[M].北京:科學出版社,2006.

[16]陳登遠,張大軍,畢金缽.AKNS方程的新雙W ronskian解[J].中國科學:A輯 數(shù)學,2007,37(11):1335-1348.