武中華，李文堯

(昆明理工大學(xué)國(guó)土資源工程學(xué)院，云南昆明 650093)

矩形線圈自感的精確表達(dá)式

武中華，李文堯

(昆明理工大學(xué)國(guó)土資源工程學(xué)院，云南昆明 650093)

矩形線圈的自感公式在電氣工程、電工電子技術(shù)，以及應(yīng)用地球物理學(xué)等領(lǐng)域均有普遍的應(yīng)用。由于自感計(jì)算的復(fù)雜性，目前使用的矩形線圈自感公式均為近似計(jì)算公式。這里推導(dǎo)了圓截面單匝矩形線圈自感的精確表達(dá)式，以及正方形單匝線圈自感的近似公式。目前使用的單匝矩形線圈自感近似公式與這里推導(dǎo)的精確公式相比，均存在很大誤差:當(dāng)正方形線圈邊長(zhǎng)從1m到5m時(shí)，電氣工程工具書(shū)和電工電子工具書(shū)中的自感公式誤差為3.06%到2.38%。使用瞬變電磁法勘探中常用的自感公式，當(dāng)正方形回線邊長(zhǎng)為5m時(shí)，誤差最小為－41.17%，最大為228.25%;當(dāng)回線邊長(zhǎng)為200m時(shí)，誤差最小為－59.75%，最大為212.49%。

矩形線圈;自感;精確表達(dá)式

0 前言

矩形線圈的自感公式在電氣工程、電工電子技術(shù)以及應(yīng)用地球物理學(xué)中均有普遍的應(yīng)用。在目前的物理學(xué)教科書(shū)［1、2］中以及物理工具書(shū)［3］中，均沒(méi)有涉及到矩形線圈自感的精確計(jì)算公式;在蘇聯(lián)科學(xué)家編寫(xiě)的電感計(jì)算手冊(cè)［4］、國(guó)內(nèi)出版的電氣工程工具書(shū)［5～7］，以及電工電子技術(shù)工具書(shū)［8］中，矩形線圈的自感計(jì)算均為近似公式。在目前的瞬變電磁法教科書(shū)［9、10］以及論文［11］中，矩形回線的自感計(jì)算均使用近似公式。在國(guó)內(nèi)、外相關(guān)專(zhuān)業(yè)電磁學(xué)領(lǐng)域中，工作者多使用有限元法［12～18］計(jì)算復(fù)雜電磁場(chǎng)，不存在矩形線圈自感的精確表達(dá)式。雖然李文堯等［19］于2010年推導(dǎo)了矩形回線自感計(jì)算公式，但該公式的推導(dǎo)過(guò)程沒(méi)有涉及導(dǎo)線的內(nèi)自感。

作者在本文中，為進(jìn)一步完善該公式，精確驗(yàn)證現(xiàn)有公式的精度以及誤差情況，推導(dǎo)出了在低頻條件下，使用的圓截面矩形線圈自感的精確表達(dá)式。

1 矩形單匝線圈自感精確表達(dá)式

在低頻條件下，可以不考慮電流的趨膚效應(yīng)，認(rèn)為導(dǎo)線中的電流在截面上成均勻分布，此時(shí)由圓截面導(dǎo)線繞制成的矩形線圈的自感應(yīng)，包括外自感和導(dǎo)線內(nèi)自感，在本文中作者將分別推導(dǎo)外自感L0和內(nèi)自感Li的表達(dá)式。

1.1 矩形線圈外自感的表達(dá)式

設(shè)矩形線圈的邊長(zhǎng)分別為a和b，o— a邊位于x軸上，o— b邊位于y軸上，如圖1所示。根據(jù)文獻(xiàn)［20］，矩形線圈平面內(nèi)任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B表達(dá)式為式(1)。

圖1 矩形單匝線圈示意圖Fig． 1 The schematic diagram of rectangular coilin single-turn

矩形線圈自感的表達(dá)式為式(2)。

式中 L為自感系數(shù);Φ為磁通量;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;I為電流強(qiáng)度;μ0為真空中的磁導(dǎo)率(4π×10－7H/m);a、b為回線邊長(zhǎng);r為回線半徑。

并且a1、b1、a2、b2為積分區(qū)域邊界點(diǎn):

令:

對(duì)以上四個(gè)二重積分式進(jìn)行解析推導(dǎo)［19］后，可以得到相應(yīng)的表達(dá)式:

單匝矩形線圈的外自感解析表達(dá)式L0為:

若矩形線圈的平面布置為正方形，即 D=［(x，y)|0 ＜a1≤x，y≤a2＜a］，則可以得到單匝正方形線圈外自感的解析表達(dá)式:

當(dāng)邊長(zhǎng)a遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于導(dǎo)線半徑r時(shí)，式(12)分子中的微小變量a1、a2趨近于零，a2趨近于a，得到正方形單匝線圈外自感的近似公式:

式中 a為正方形線圈邊長(zhǎng);r為導(dǎo)線半徑。

1.2 圓截面直導(dǎo)線內(nèi)自感的表達(dá)式

根據(jù)安培環(huán)路定律［3］:

式中 μ為導(dǎo)線的磁導(dǎo)率;I’為通過(guò)以r為半徑的圓平面的電流，取

圖2 圓截面直導(dǎo)線示意圖Fig． 2 The schematic diagram of circular section wire

見(jiàn)圖2，與圓截面導(dǎo)線同軸的圓柱面上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:

根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系:B=μH，可以得到:

磁能公式為:

式中 l為導(dǎo)線長(zhǎng)度。

根據(jù)自感與磁能關(guān)系式:

得到內(nèi)自感表達(dá)式［21］為式(14)。

1.3 圓截面矩形線圈自感的表達(dá)式

由圓截面導(dǎo)線繞制成的矩形線圈自感精確表達(dá)式為:

當(dāng)線圈為正方形時(shí)，自感公式變?yōu)?

同時(shí)，可以得圓截面正方形線圈自感近似公式(17)。

式中 μr為相對(duì)磁導(dǎo)率。

2 將推導(dǎo)的自感精確表達(dá)式與目前使用的公式比較

當(dāng)導(dǎo)線的材料［20］不同時(shí)，μr不同，產(chǎn)生的自感也不同。導(dǎo)線材料為抗磁質(zhì)和順磁質(zhì)時(shí)，μr≈1，只用當(dāng)導(dǎo)線材料為鐵磁質(zhì)(包括鐵、鈷、鎳、某些稀土元素以及鐵氧體等)時(shí)，才會(huì)有 μr?1。以下的對(duì)比試驗(yàn)，作者均采用銅導(dǎo)線，此時(shí)可認(rèn)為μr=1。

2.1 與電氣工程和電工電子技術(shù)中使用的公式比較

電氣工程［5～7］和電工電子技術(shù)［8］使用的單匝矩形線圈自感公式為式(18)。

其中 r0為導(dǎo)線半徑;a、b為線圈邊長(zhǎng);d為矩形線圈的對(duì)角線長(zhǎng)。

當(dāng)線圈為正方形時(shí)，式(18)可化簡(jiǎn)為式(19)。

設(shè)半徑r0=0.001m的銅質(zhì)導(dǎo)線，繞制成邊長(zhǎng)a分別為1m、2m、3m、4m、5m的正方形單匝線圈，使用式(18)，作者推導(dǎo)精確公式(15)以及使用作者推導(dǎo)近似公式(17)，計(jì)算自感值及誤差。結(jié)果見(jiàn)表1。

計(jì)算結(jié)果表明:

(1)當(dāng)正方形單匝線圈邊長(zhǎng)從1m到5m時(shí)，使用公式(18)計(jì)算的自感值誤差為3.06%到2.38%，并且誤差隨線圈邊長(zhǎng)減小而增加。

(2)當(dāng)正方形單匝線圈邊長(zhǎng)從1m到5m時(shí)，使用作者推導(dǎo)的自感近似計(jì)算公式(17)計(jì)算的自感值誤差為－0.41%到－0.39%。

表1 電氣工程中使用的自感公式與本文推導(dǎo)公式對(duì)比Tab． 1 Comparison calculation with self － inductance formula in electrical engineering

2.2 瞬變電磁法中使用的自感計(jì)算公式

根據(jù)文獻(xiàn)［9］及［11］，正方形單匝線圈自感的近似計(jì)算公式為:

其中 L為自感;b為回線邊長(zhǎng);r為導(dǎo)線半徑。

若以回線中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度代表回線的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，正方形回線自感的近似表達(dá)式為:

式中 L為自感;b為回線邊長(zhǎng)。

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，長(zhǎng)方形回線自感的近似計(jì)算公式為式(22)。

其中 L為自感;a、b分別為長(zhǎng)方形回線的邊長(zhǎng)。

設(shè)半徑r0=0.001m的導(dǎo)線，繞制成瞬變電磁法勘探中常用規(guī)格的正方形單匝線圈，邊長(zhǎng)a分別為5m、10m、25m、50m、100m、200m。使用本文推導(dǎo)精確公式(15)，近似公式(17)，以及文獻(xiàn)中的近似公式(20)，式(21)以及式(22)，計(jì)算自感值及誤差，結(jié)果見(jiàn)表2。

計(jì)算結(jié)果表明:

(1)目前，在瞬變電磁法中使用的矩形線圈自感近似公式誤差很大:當(dāng)回線邊長(zhǎng)為5m時(shí)，誤差最小為－41.17%，最大為228.25%;當(dāng)回線邊長(zhǎng)為200m時(shí)，誤差最小為 －597.75%，最大為212.49%。

表2 野外常用正方形線圈的自感計(jì)算結(jié)果Tab． 2 Calculation of self-inductance coefficient of square coil of sizes in common use in outdoors

(2)作者在本文中導(dǎo)出的單匝正方形線圈自感近似公式誤差很小:當(dāng)回線邊長(zhǎng)大于5m時(shí)，誤差小于0.39%;隨回線邊長(zhǎng)增大，誤差遞減。

3 結(jié)論

(1)作者在本文推導(dǎo)了的長(zhǎng)方形及正方形圓截面單匝線圈自感精確表達(dá)式，分別為公式(15)和公式(16)，并導(dǎo)出了正方形圓截面單匝線圈自感近似公式(17)式。

(2)與作者在本文中所推導(dǎo)的自感精確表達(dá)式相比，目前在電氣工程和電工電子技術(shù)中，使用的圓截面矩形線圈自感近似公式存在誤差，建議使用作者在本文推導(dǎo)的精確公式(15)和式(16)以及近似公式(17)。

(3)與作者推導(dǎo)的自感精確計(jì)算公式相比，目前在瞬變電磁法中使用的矩形線圈自感近似公式誤差很大，在瞬變電磁法勘探工作中建議少用或者不用。作者推導(dǎo)的近似公式誤差很小，在瞬變電磁法中建議使用。

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1001—1749(2011)05—0511—06

2011－04－11

武中華(1985－)，男，遼寧朝陽(yáng)人，碩士，地球探測(cè)與信息技術(shù)專(zhuān)業(yè)。