胡燦陽，陳清軍，徐慶陽，熊琴琴

(1.南京審計學(xué)院 江蘇省公共工程審計重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210029;2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

埋置塊式基礎(chǔ)地基阻抗函數(shù)的簡化計算方法研究

胡燦陽1，2，陳清軍2，徐慶陽1，熊琴琴1

(1.南京審計學(xué)院 江蘇省公共工程審計重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210029;2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

目前關(guān)于地基阻抗的分析和計算方法都比較繁瑣，不易為工程設(shè)計人員所掌握?；诖?，提出了埋置基礎(chǔ)地基阻抗函數(shù)的簡化計算方法。首先，采用錐體模型分析均質(zhì)半空間內(nèi)埋置圓盤一維振動波的傳播過程，得到了平動和轉(zhuǎn)動時的地基阻抗。在此基礎(chǔ)上，利用埋置圓盤組來模擬埋置基礎(chǔ)，分析得到了埋置基礎(chǔ)地基阻抗函數(shù)。最后，通過算例表明此方法計算效率高，誤差小，適用于工程計算。

錐體模型;塊式基礎(chǔ);阻抗函數(shù);埋置基礎(chǔ);土－結(jié)構(gòu)相互作用

土－結(jié)構(gòu)動力相互作用是新近發(fā)展起來的與多學(xué)科相互交叉和滲透的學(xué)科，描述其動力學(xué)行為的數(shù)學(xué)模型(通常為一組控制方程)十分復(fù)雜。由于實(shí)際問題的復(fù)雜性和計算過程的繁瑣性，使得這些模型不便用于實(shí)際工程中。近年來，一種采用錐體模型求解土－結(jié)構(gòu)相互作用中地基阻抗函數(shù)的方法，因其簡便性和實(shí)用性，受到了重視，但這一方法目前尚處于起步階段，需要做進(jìn)一步的研究。

錐體模型最早是由Ehlers［1］在1942年提出，最初用它來分析明置圓盤的平動，繼而也用它分析轉(zhuǎn)動。Gazetas［2］和 Gazetas 和 Dobry［3］使用楔形體和錐體來闡述二維和三維情況下的輻射阻尼。Meek和Wolf使用錐體模型得到了均質(zhì)半空間表面基礎(chǔ)動力響應(yīng)的簡便計算方法。他們又分別計算了剛性基巖覆蓋層表面基礎(chǔ)的動力響應(yīng)，分析了柔性基巖覆蓋層表面基礎(chǔ)的動力響應(yīng)。1993 年，Meek 和 wolf［4］利用 Boussinesq 等理論詳細(xì)說明了錐體模型的物理意義，討論了利用錐體模型代替彈性半空間的可行性，從而消除了眾多學(xué)者對錐體模型的疑慮。此外，2002年，Jaya和 Prasad［5］使用了同樣的截頭錐段研究了層狀土內(nèi)埋置基礎(chǔ)的動力剛度。然而，這種截頭錐段法也存在缺陷，它的主要問題是:當(dāng)?shù)皖l時，阻尼系數(shù)會變成負(fù)值，這在物理上是不可能的。文獻(xiàn)［6］對于錐體模型的初步應(yīng)用有詳細(xì)地總結(jié)。2003年，Pradhan等［7］利用波在錐中的傳播，計算了層狀土表面圓形基礎(chǔ)的動力阻抗，這就克服了利用上面截頭錐段分析時的缺陷。2008年，Pradhan等［8］利用錐模型對于層狀土表面機(jī)器基礎(chǔ)振動進(jìn)行了分析，并同時進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，通過對比，驗(yàn)證了錐體模型對于機(jī)器基礎(chǔ)振動分析的有效性。目前，國內(nèi)對錐體模型的研究較少，張劍寒等［9，10］基于錐體模型概念，得到了層狀半空間地基上明置基礎(chǔ)阻抗函數(shù)的計算方法，并與薄層法進(jìn)行對比來研究它的精度。

1 埋置圓盤

可以把地基－基礎(chǔ)接觸面看作一個無質(zhì)量剛性板，下面的均質(zhì)半空間地基近似看作具有不同頂點(diǎn)高度z0的截頭半無限彈性錐體，分為平動和轉(zhuǎn)動錐體，表面圓盤相對應(yīng)的錐體模型頂高半徑比等參數(shù)以及平動錐模型與轉(zhuǎn)動錐模型中波反射系數(shù)和相應(yīng)的阻抗函數(shù)見文獻(xiàn)［6］。

對于埋置在均質(zhì)半空間里的半徑為r0，埋深為e的圓盤，利用錐模型可以得到阻抗函數(shù)S(ω)的閉合解。先分析如圖1所示豎向自由度的情況。使用雙邊錐模型，每個初始錐的動力剛度都相同。圓盤的初始位移幅值(ω)與圓盤上的作用力幅值 P0(ω)的關(guān)系為［11］:

式中:K是半空間表面圓盤的靜剛度系數(shù);c是圓盤振動波傳播速度，對于水平振動和扭轉(zhuǎn)振動用剪切波速，對于豎向振動和扭轉(zhuǎn)振動用脹縮波速;ω為頻率。

圖1 埋置在均質(zhì)半空間里圓盤波傳播過程Fig.1 Wave propagation from disk embedded in homogeneous half-space

波在圓盤下面的初始錐內(nèi)(頂點(diǎn)為1)向下傳播，沒有反射波產(chǎn)生，錐的張角也即頂點(diǎn)高半徑比z0/r0，可以通過均質(zhì)半空間表面圓盤的錐模型靜力剛度系數(shù)與相應(yīng)的用三維彈性理論求得的半空間上圓盤的靜剛度精確解相等求出［6］，不同的平截錐具有不同的張角。波在圓盤上面的初始錐內(nèi)(頂點(diǎn)為2)向上傳播時，在自由表面產(chǎn)生反射，自由表面處入射波幅值為:

在自由表面處，反射系數(shù) －α(ω)=1，反射波幅值為:

反射波在頂點(diǎn)為3的新錐內(nèi)傳播。當(dāng)它傳播到圓盤所在深度時，幅值衰減為:

因?yàn)榘肟臻g是均質(zhì)的，這個波會繼續(xù)在截頭錐內(nèi)向無限遠(yuǎn)處傳播，而不再產(chǎn)生反射。圓盤處的總位移u0(ω)是由這個反射波［式(4)］和原始激勵波［式(1)］疊加而成的。于是有幅值:

引入幾何參數(shù)k=2e/z0和傳播的時間參數(shù)T=2e/c，后得到:

式(7)也即為平動錐的阻抗函數(shù)，對于水平振動和豎向振動，分別取相應(yīng)的K、T和k進(jìn)行計算。

對于轉(zhuǎn)動自由度，分析過程是類似的。埋置在均質(zhì)半空間里的圓盤地基阻抗函數(shù):

同樣，對于搖擺振動和扭轉(zhuǎn)振動，取相應(yīng)的K?、T和k進(jìn)行計算。

2 埋置圓盤組

如圖2所示，為了表示在半空間里半徑為r0，深度為e的圓柱形基礎(chǔ)，可以在基礎(chǔ)位置處放置m個圓盤。也就是說，在以后將要開挖的地方可以看作是m個圓盤和其中的 m－1個分層。第一個圓盤在層狀半空間的表面，第 m個圓盤在埋置基礎(chǔ)的剛性基底處。文獻(xiàn)［5］建議兩個相鄰圓盤的最大豎向間距Δe應(yīng)該滿足以下要求:每個波長度內(nèi)至少要分為6層。

圖2 半空間內(nèi)埋置圓盤組Fig.2 Stack of disks to represent cylindrical foundation embedded in half-space

為了精確，本文采用每個波長度內(nèi)要分為10層，波長為λ=c/(ω/2π):

式中ω代表了動力模型的最高頻率，c是波速(通常是剪切波速cs)。當(dāng)使用無量綱頻率a0=ωr0/cs時，有:

對于豎向自由度(圖3)，有:

式(10)給出了埋置在未開挖的層狀半空間內(nèi)圓盤的力－位移關(guān)系，這里［Sf(ω)］是指與自由場圓盤組有關(guān)的阻抗矩陣。在自由場中，幅值為{u(ω)}的豎向位移分量之間是相互獨(dú)立的。在剛性基礎(chǔ)中，各點(diǎn)的豎向位移和基底的豎向位移相同，幅值都為u0(ω)。這種剛體位移表示為:

運(yùn)動約束矢量{A}={111…1}T。力Q0(ω)等于各個荷載Pi(ω)之和:

則，由式(10)、式(11)、式(12)得:

扭轉(zhuǎn)自由度的分析過程類似，埋置基礎(chǔ)地基阻抗是:

這里m?是開挖區(qū)域的質(zhì)量極慣性矩，{A}和上面定義相同。

圖3 豎向自由度時剛體位移和相互作用力Fig.3 Enforcement of rigid-body displacement for verticaldegree of freedom

分析耦合水平和搖擺自由度(圖4)。埋置圓盤的水平位移幅值{u(ω)}和轉(zhuǎn)動幅值{?(ω)}都和基底的剛體運(yùn)動相關(guān)，基底的水平位移幅值為{u0(ω)}，轉(zhuǎn)動幅值為{?0(ω)}，則有:

于是有埋置基礎(chǔ)的阻抗函數(shù)矩陣:

對上面的過程很容易進(jìn)行一定的擴(kuò)展。比如，當(dāng)基礎(chǔ)墻沒有剛度和剛體約束時，矩陣［A］不再需要了。在這種情況下，位移和轉(zhuǎn)動幅值［u(ω)］和［?(ω)］都是未知的，由這些自由度來確定埋置基礎(chǔ)的地基阻抗函數(shù)。圓盤中間的區(qū)域仍然通過對內(nèi)部域的動力剛度矩陣進(jìn)行抽取進(jìn)行分析。后者是(上標(biāo)e表示開挖):

其中，［K］和［M］分別為開挖部分相應(yīng)于{u(ω)}和{?(ω)}的靜力剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，可以通過將內(nèi)部域模型化為具有豎軸的桿或者梁得到。修改后的相互作用力－位移關(guān)系為:

埋置基礎(chǔ)的地基阻抗函數(shù)矩陣等于自由場阻抗矩陣與開挖部分剛度矩陣的差:

3 算例

如圖5所示，在泊松比為υ=0.25的均質(zhì)半空間里，有半徑為r0埋置深度為e的剛性圓柱基礎(chǔ)，計算它的所有自由度的阻抗函數(shù)。埋深率e/r0分別為0.5、1和2(這個范圍包含了大多數(shù)實(shí)際工程的情況)。結(jié)果根據(jù)無量綱頻率a0=ωr0/cs范圍從0到4來確定。

由式(9b)可知兩個相鄰圓盤的最大豎向距離為Δe=(π/20)r0，這時a0=4。對于最大埋深率e/r0=2時，至少要分為13層，也就是要14個圓盤。本文使用16層，因此 Δe==0.125r0。同理，當(dāng) e/r0=1 時，模型分為8層，當(dāng)e/r0=0.5時，模型分為4層。

使用錐模型時，埋置基礎(chǔ)靜力剛度系數(shù)的計算也可以用同樣的過程，這時ω=0。它們除以相同運(yùn)動下明置基礎(chǔ)的相應(yīng)靜力剛度系數(shù)，得到無量綱的靜力剛度因子，并且在圖6中和文獻(xiàn)［12］的數(shù)值解進(jìn)行對比。圖6中的曲線相應(yīng)于文獻(xiàn)［13］中的經(jīng)驗(yàn)公式，它適用于e/r0≤2，由圖上可見錐模型的精度對于所有自由度都是很好的。

圖7到圖10給出了水平、豎向、搖擺和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動阻抗函數(shù)對應(yīng)于無量綱頻率a2的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)。由圖上可見，水平運(yùn)動時，動力彈性系數(shù)的錐模型結(jié)果與文獻(xiàn)［12］的數(shù)值解在低頻部分吻合很好，在高頻部分存在很小的偏差，動阻尼系數(shù)的錐模型結(jié)果與文獻(xiàn)［12］的偏差不超過10%，在豎向、搖擺和扭轉(zhuǎn)的情況下，錐模型的結(jié)果與文獻(xiàn)［12］的值吻合的很好(這里是埋深率e/r0=1的情況，也可以在其它情況下進(jìn)行比較)。由此可見，使用錐模型分析均質(zhì)半空間里的埋置基礎(chǔ)阻抗函數(shù)具有很高的精度。

圖10 扭轉(zhuǎn)阻抗函數(shù)(e/r0=1，υ=0.25)Fig.10 Torsional impedance function(e/r0=1，υ =0.25)

4 結(jié)論

本文首先基于錐體模型，對振動波在錐段內(nèi)的傳播進(jìn)行分析，得到了埋置無質(zhì)量剛性圓盤的地基阻抗函數(shù)。進(jìn)而用一組埋置圓盤來模擬埋置基礎(chǔ)，可以得到地基阻抗函數(shù)。最后，通過算例表明，此方法物理意義明確、分析和計算過程簡單，結(jié)果具有很高的精度，適于工程人員掌握和應(yīng)用。

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Simplified calculation method for impedance function of embedded block foundation

HU Can-yang1，2，CHEN Qing-jun2，XU Qing-yang1，XIONG Qin-qin1

(1.Nanjing Audit University，Jiangsu Key Laboratory of Public Project Audit，Nanjing 210029，China;2.State Key laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China)

Analysis and calculation methods for impedance function of a foundation are complicated，and it is difficult for engineering designers to grasp and use them.A simplified method was proposed here to calculate impedance function of a foundaton embedded in a half-space.Firstly，based on a cone model，one-dimensional vibration wave propagating of a rigid massless circular disk embedded in a homogeneous half-space was analysed.Impedance functions of translational and rotational cone models were derived.Then，the embedded foundation was modeled with a stack of disks and its impedance function was calculated.The model was validated by comparing the results with the rigorous analysis ones. The numerical results indicated that this method has higher precision and efficiency，it is applicable for engineering calculation.

cone model;block foundation;impedance function;embedded foundation;soil-structural interaction

TU470+.3

A

科技部國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基礎(chǔ)研究資助項(xiàng)目(SLDRCE08－B－03);江蘇省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(10KJB560003);江蘇省高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PADD)

2009－12－21 修改稿收到日期:2010－04－06

胡燦陽 男，博士，講師，1974年1月生