呂延軍，張永芳，于楊冰，虞 烈

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048;2.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;3.西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，西安 710048;4.西安交通大學(xué) 機(jī)械電子及信息系統(tǒng)研究所，西安 710049)

固定瓦－可傾瓦組合徑向軸承－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性運動分析

呂延軍1，2，張永芳3，于楊冰1，虞 烈4

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048;2.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;3.西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，西安 710048;4.西安交通大學(xué) 機(jī)械電子及信息系統(tǒng)研究所，西安 710049)

針對流體潤滑中具有Reynolds邊界條件的非定常Reynolds方程，運用Castelli法求解Reynolds方程，生成了單塊軸瓦坐標(biāo)系下的非線性油膜力數(shù)據(jù)庫。根據(jù)固定瓦－可傾瓦組合滑動軸承的結(jié)構(gòu)特點，對單瓦庫進(jìn)行檢索、插值和拼裝，獲得了固定瓦－可傾瓦組合徑向滑動軸承的非線性油膜力。針對柔性轉(zhuǎn)子－組合滑動軸承系統(tǒng)，運用自適應(yīng)步長Runge－Kutta法和Poincaré映射計算了不同支點比下的軸頸的非線性運動軌跡。數(shù)值結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表現(xiàn)出周期解，倍周期解和準(zhǔn)周期解等非線性現(xiàn)象，支點比為0.6時的系統(tǒng)性能略優(yōu)于支點比為0.5時的系統(tǒng)性能。

固定瓦－可傾瓦組合徑向軸承;非線性;動力學(xué);分岔

目前，圍繞軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為及穩(wěn)定性的研究，國內(nèi)外學(xué)者先后做了大量的工作［1－3］，但是大多數(shù)學(xué)者研究的軸承形式相對簡單。文獻(xiàn)［4－7］采用固定瓦軸承(如圓軸承、橢圓軸承、油葉型軸承)來進(jìn)行非線性油膜力的計算。文獻(xiàn)［8，9］在分析可傾瓦軸承的動力特性及其穩(wěn)定性時，只做了線性穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［10］提出了一種可傾瓦軸承的完整動力分析模型及其動力特性系數(shù)的組裝技術(shù)。文獻(xiàn)［3，11］在求解可傾瓦軸承的壓力分布時，沿軸瓦軸向方向?qū)τ湍毫Ψ植疾捎昧藪佄锞€假設(shè)，文獻(xiàn)［11］用近似解析的方法分析了可傾瓦軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的同步周期運動及其穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［12，13］進(jìn)行了固定瓦軸承非線性油膜力數(shù)據(jù)庫方法的研究，為高效地計算非線性油膜力開辟了新途徑。文獻(xiàn)［14］運用數(shù)據(jù)庫方法求解了三瓦可傾瓦軸承的非線性油膜力，并對可傾瓦軸承－Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)進(jìn)行了分析。

本文基于動態(tài)Reynolds方程和Reynolds破膜條件，建立了單塊軸瓦的非線性油膜力數(shù)據(jù)庫，根據(jù)固定瓦－可傾瓦組合滑動軸承的結(jié)構(gòu)特點，配以快速檢索和精確插值方法，通過組裝技術(shù)獲得了固定瓦－可傾瓦組合徑向滑動軸承的非線性油膜力。在很大程度上免除了系統(tǒng)非線性分析中的大量的繁瑣的重復(fù)計算工作，大大減少了計算工作量，提高了計算效率。此外，運用Poincaré映射和Runge-Kutta法分析了固定瓦－可傾瓦組合徑向滑動軸承支承的對稱柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。對比了組合軸承－Jeffcott柔性轉(zhuǎn)子非線性系統(tǒng)在不同支點比下的渦動軌跡，分析了支點比對系統(tǒng)性能的影響。數(shù)據(jù)結(jié)果展現(xiàn)了組合軸承－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期解，倍周期解和準(zhǔn)周期解等豐富的非線性現(xiàn)象。

1 系統(tǒng)方程

圖1所示的固定瓦－可傾瓦組合徑向軸承－對稱柔性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其動力學(xué)方程可寫為:

式中:M和K分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和剛度矩陣，f是固定瓦－可傾瓦組合軸承非線性油膜力向量，Q是施加在轉(zhuǎn)子上的周期激勵力向量，X是轉(zhuǎn)子的位移向量。其表達(dá)式分別為:

圖1 對稱柔性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of symmetrical flexible rotor system

其中2mj和mr分別為集總到2個軸頸及圓盤處的質(zhì)量，且2mj+mr=2m(轉(zhuǎn)子總質(zhì)量);E，I分別為轉(zhuǎn)子的彈性模量及轉(zhuǎn)子截面的赤道慣性矩，l是兩個軸承的中心距;2fx和2fy分別是2個軸承處在x和y負(fù)方向的非線性油膜力分量;g是重力加速度，emn(m=j，r;n=x，y)是軸承及圓盤處不平衡質(zhì)量偏心距在x和y方向的分量。

2 固定瓦－可傾瓦組合滑動軸承非線性油膜力

圖2所示為固定瓦－可傾瓦組合軸承結(jié)構(gòu)示意圖。圖中，XObY為軸承坐標(biāo)系; ξiOiηi為第 i塊軸瓦的單瓦坐標(biāo)系;下標(biāo)i為順轉(zhuǎn)動方向的瓦塊編號;Oj為軸頸中心;Ob為軸承中心;O*

i為第i塊軸瓦幾何中心的初始位置，Oi為第i塊軸瓦的瓦弧中心;R為瓦弧半徑(無量綱);αi為第i塊軸瓦繞支點的擺角(rad);φki為第i塊軸瓦的支點位置角(rad)，是從軸承下方垂線順轉(zhuǎn)動方向到瓦支點的角度;m為預(yù)負(fù)荷(無量綱);ε為軸頸中心在軸承坐標(biāo)系中的偏心距(無量綱);εi為軸頸中心在第i塊軸瓦坐標(biāo)系中的偏心距(無量綱);為軸頸的轉(zhuǎn)速(無量綱);θ為軸頸中心在軸承坐標(biāo)系中的偏位角(rad);φ為由軸承上方垂線開始計量的角度(rad);φi為從連心線OjOi開始計量的角度(rad);W為軸承的無量綱載荷。

圖2 固定瓦－可傾瓦組合軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of fixed-tilting pad combination journal bearing

對于組合軸承中的固定瓦塊，由于它不能動，油膜厚度僅由偏心率、偏位角、預(yù)負(fù)荷等固定瓦參數(shù)決定，因而可將其視為剖分式圓軸承的上瓦，固定瓦的非線性油膜力的獲得方法可參考文獻(xiàn)［12］，下面介紹可傾瓦非線性油膜力的獲得方法。

非線性油膜力數(shù)據(jù)庫方法的關(guān)鍵在于確定動態(tài)Reynolds方程中擾動項的數(shù)值范圍，第i塊瓦潤滑的無量綱動態(tài)Reynolds方程在第i塊瓦的坐標(biāo)系中可表示為:

式中:Hi為第i塊瓦坐標(biāo)系中的無量綱油膜厚度，Pi為第i塊瓦坐標(biāo)系中的無量綱油膜壓力函數(shù)，φi為第i塊瓦坐標(biāo)系中從OjOi的連線到油膜位置的角度(rad)(如圖2所示)，λi為第i塊瓦坐標(biāo)系中的無量綱軸向坐標(biāo)，d/B為軸承寬徑比的倒數(shù)，εiθ'i為轉(zhuǎn)子軸頸中心在切向方向上的無量綱擾動速度，ε'i為轉(zhuǎn)子軸頸中心在徑向方向上的無量綱擾動速度。

(3) 當(dāng) εi(1－2θ'i)=0，ε'i=0 時，無量綱切向和徑向油膜力 Fθ=0.0，F(xiàn)ε=0.0。

通過對動態(tài)Reynolds方程的處理，采用Castelli法求解動態(tài)Reynolds差分方程，設(shè)油流態(tài)為層流，邊界條件采用具有油膜破裂邊(油膜區(qū)域出現(xiàn)氣穴，油膜完備區(qū)和破裂區(qū)的交界線即是油膜破裂邊)的Reynolds邊界條件:

其中 φi1是油膜起始邊的角度;φip是油膜破裂邊的角度。

以單塊軸瓦為基礎(chǔ)，由三個變量:偏心率 εi=(0，0.95)，瓦起始角 φi1=(0°，360°)，擠壓比 Qi=( －1，1)(Qi包含和)，建立在各種長徑比和瓦張角下的單瓦非線性油膜力數(shù)據(jù)庫。

第i塊軸瓦坐標(biāo)系中的可傾瓦膜厚表達(dá)式為:

式中:c是軸承半徑間隙;ei為軸頸中心在第i塊軸瓦坐標(biāo)系中的偏心距。定義無量綱參數(shù):Hi=hi/c，εi=ei/c，則無量綱油膜厚度表達(dá)式為:

式中:φi是第i塊瓦坐標(biāo)系中從ηi軸負(fù)向開始計量的角度，θi是軸頸中心在第i塊瓦坐標(biāo)系中偏位角(如圖3所示)。

圖3 可傾瓦單瓦坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Schematic of single pad of tilting-pads coordinate system

在第i塊軸瓦坐標(biāo)系中，相對擺角αi/Ψ的迭代計算采用以下形式實現(xiàn):

通過編制計算機(jī)程序來計算固定瓦－可傾瓦組合徑向滑動軸承的非線性油膜力(見圖2)及其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。軸瓦擺動的計算是一個迭代過程，其相對擺角αi/Ψ具體迭代過程如下:

① 給定已知量如預(yù)負(fù)荷m，偏心率ε，偏位角θ，支點位置角φki，設(shè)定相對擺角的初值(αi/Ψ)0;

② 設(shè)定單塊瓦在第i塊軸瓦坐標(biāo)系中的起始位置角φi1;

③ 將m，ε，θ，φki，φki－θ，αi/Ψ 代入式(5)求出相對偏心率εi;

④ 由式(7)求解相對偏位角θi;⑤ 由式(9)求得相對擺角αi/Ψ;

⑥ 根據(jù)相對擺角的收斂準(zhǔn)則(見式10)，可以判別軸瓦是否平衡。若式(10)未滿足，則修正相對擺角，重復(fù)③－⑥步;若式(10)已滿足，則繼續(xù)下一塊軸瓦αi+1/Ψ 的計算。

利用相似關(guān)系，調(diào)用單塊瓦非線性油膜力數(shù)據(jù)庫，即可求得所有軸瓦在其自身坐標(biāo)系中的無量綱非線性油膜力Fξi和Fηi，將他們轉(zhuǎn)化為軸承坐標(biāo)系中的無量綱油膜力FXi和FYi:

最后組裝固定瓦－可傾瓦組合軸承的油膜力即可獲得軸承坐標(biāo)系中的總的非線性油膜力FX和FY:

3 數(shù)據(jù)庫方法的驗證

文獻(xiàn)［15］的附錄中給出了常用滑動軸承的特性數(shù)值表，計算時假設(shè)在層流工況下，未考慮粘度不均勻分布和進(jìn)油壓力的影響。運用數(shù)據(jù)庫方法求解得到的非線性油膜力與文獻(xiàn)［15］中的結(jié)果進(jìn)行對比，驗證數(shù)據(jù)庫方法及其計算程序的正確性。

以圖4中的兩軸向槽圓軸承為計算對象，取長徑比B/d=0.8，瓦張角 β =150°，計算該軸承的無量綱承載力，并和參考文獻(xiàn)［15］附錄中表B－5給出的計算結(jié)果進(jìn)行了對比，其計算結(jié)果如圖5所示。

圖5描述了兩種計算方法的吻合度。針對相同的計算對象，基于數(shù)據(jù)庫計算得到的結(jié)果和參考文獻(xiàn)［15］中給出的結(jié)果取得了很好的一致，表明數(shù)據(jù)庫方法及其計算程序的正確性。

圖4 兩軸向槽圓軸承結(jié)構(gòu)簡圖Fig.4 Schematic of cylindrical bearing with two axial grooves

4 數(shù)值算例與結(jié)果

圖1所示的對稱柔性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，選用圖2所示的固定瓦－可傾瓦組合滑動軸承支承。固定瓦塊取剖分式圓軸承的上半瓦，其幾何參數(shù)為:寬徑比B/d=0.8，瓦張角β1=180°。可傾瓦取兩塊左右對稱分布的可傾瓦，其幾何參數(shù)為:寬徑比B/d=0.8，瓦張角βi=80°，支點比為～βi/βi=0.5，支點位置角分別為φk2=315°，φk3=45°，預(yù)負(fù)荷 m=0.5，間隙比 Ψ =0.003，動力潤滑粘度μ=0.03 Pa·s。對稱柔性轉(zhuǎn)子的直徑d=0.558 m，轉(zhuǎn)子長度 l=1.6 m，圓盤直徑 dr=1.12 m，圓盤寬度0.2 m，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=2×1011N/m2。作用在圓盤處集中質(zhì)量的質(zhì)量偏心在y方向上取0.000 1 m(例如 erx=0.0，ery=0.000 1)。作用在軸頸處集中質(zhì)量的質(zhì)量偏心在x和y方向上均取0.0(例如 ejx=0.0，ejy=0.0)。

在中心支點(支點比為～βi/βi=0.5)的情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速低于4 000 r/min時，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是穩(wěn)定的周期運動。圖6所示為轉(zhuǎn)速為n=4 000 r/min時，軸頸中心和圓盤中心的周期運動軌跡。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增加，當(dāng)n=4 950 r/min時，周期2分岔發(fā)生，軸頸中心的運動軌跡如圖7所示，此時軸頸中心的運動是半頻渦動。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)了復(fù)雜的準(zhǔn)周期運動，圖8(a)中給出了轉(zhuǎn)速n=6 000 r/min時，軸頸中心的準(zhǔn)周期運動軌跡，圖8(b)示出了轉(zhuǎn)速n=6 000 r/min時，相應(yīng)的軸頸中心的環(huán)形吸引子，即 Poincaré映射在 X－Y坐標(biāo)平面上的投影，圖8(c)示出了相應(yīng)的Y方向頻譜圖。

圖8 n=6 000 r/min時，軸頸中心的準(zhǔn)周期分岔Fig.8 The quasi-periodic bifurcation of the center of the journal for n=6 000 r/min

在偏支點(支點比為～βi/βi=0.6)的情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速低于5 000 r/min時，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是穩(wěn)定的周期運動。圖9所示為轉(zhuǎn)速n=5 000 r/min時，軸頸中心和圓盤中心的周期運動軌跡。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增加，周期2分岔發(fā)生，此時軸頸中心的運動是半頻渦動，當(dāng)n=6 000 r/min時，軸頸中心的運動軌跡如圖10所示。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為準(zhǔn)周期運動，圖11(a)中給出了轉(zhuǎn)速n=9 000 r/min時，轉(zhuǎn)子中心的準(zhǔn)周期運動軌跡，圖11(b)示出了轉(zhuǎn)速n=9 000 r/min時，相應(yīng)的轉(zhuǎn)子中心的環(huán)形吸引子，即Poincaré映射在X－Y坐標(biāo)平面上的投影，圖11(c)示出了轉(zhuǎn)速n=9 000 r/min時，相應(yīng)于準(zhǔn)周期軌跡Y方向的頻譜圖。

圖12給出了n=4 000 r/min時，不同支點比下，軸承處和圓盤處的軸心運動軌跡。圖12(a)和圖12(b)分別示出了支點比為0.5和0.6時，軸承及圓盤處軸心的運動軌跡。

圖11 n=9 000 r/min時，軸頸中心的準(zhǔn)周期分岔Fig.11 The quasi－ periodic bifurcation of the center of the journal for n=9 000 r/min

圖12 n=4 000 r/min時，不同支點比下的軸承處和圓盤處的軸心運動軌跡Fig.12 The periodic orbit of the journal center and the disk center when the pivot ratios are 0.5 or 0.6 respectively as the rotor speed n=4 000 r/min

5 結(jié)論

基于數(shù)據(jù)庫方法，計算了固定瓦－可傾瓦組合軸承的非線性油膜力。運用自適應(yīng)步長Runge-Kutta法和Poincaré映射得到了軸頸中心的軌跡圖和Poincaré映射圖，研究了固定瓦－可傾瓦組合滑動軸承支承的對稱柔性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)表現(xiàn)為:周期運動、周期－2運動、準(zhǔn)周期運動等。同時考察了可傾瓦支點比的影響，通過數(shù)值算例可知，在相同參數(shù)的情況下，支點比為0.6時的運動軌跡振幅略小于支點比為0.5時的運動軌跡振幅，因而前者的系統(tǒng)性能略優(yōu)于后者。數(shù)值仿真的結(jié)果對實際的固定瓦－可傾瓦組合徑向滑動軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計提供了理論依據(jù)。

［1］Ha H C，Kim H J，Kim K W.Inlet Pressure Effects Thermohydrodynamic Performance of a Large Tilting Pad Journal Bearing［J］.ASME Journal of Tribology，1995，117(1):160－165.

［2］Ha H C，Yang S H.Excitation Frequency Effects on the Stiffness and Damping Coefficients of a Five-Pad Tilting Pad Journal Bearing［J］.Journal of Tribology，1999，121(3):517－522.

［3］ Abu-Mahfouz I，Adams M L.Numerical Study of Some Nonlinear Dynamic of a Rotor Supported on a Three-pad Tilting Pad Journal Bearing(TPJB)［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2005，127(3):262 －272.

［4］ Lu Y J，Zhang Y F，et al.Non-linear Analysis of a Flexible Rotor System with Multi-Span Bearing Supports［J］.Journal of Engineering Tribology，2008，222(3):87 －95.

［5］ Lu Y J，Liu H，Dai R，et al.A method for determining the periodic solution and its stability of nonlinear bearing-rotor system based on observed states of the system［J］.Journal of Engineering Tribology，2009，223(2):137－149.

［6］ Lu Y J，Dai R，Hei D，et al.Stability and bifurcation of a non-linear bearing-flexible rotor coupling dynamic system［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，2009，223(4):835－849.

［7］沈光琰，肖忠會，鄭鐵生，等.油葉型軸承—不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)分析［J］.航空動力學(xué)報，2004，19(5):604－609.

［8］李小江，朱 均.300 MW汽輪發(fā)電機(jī)組徑向可傾瓦軸承性能研究［J］.潤滑與密封，1996，113(1):29－32.

［9］喬 廣，王麗萍，鄭鐵生.可傾瓦滑動軸承系統(tǒng)線性穩(wěn)定性分析［J］.工程力學(xué)，2007，24(11):180－185.

［10］王麗萍，喬 廣，鄭鐵生.可傾瓦軸承的完整動力分析模型及計算方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2008，44(1):75－80.

［11］ Brancati R，Rocca E，Russo R.Non-linear stability analysis of a rigid rotor on tilting pad journal bearings［J］.Tribology International，1996，29(7):571 －578.

［12］王 文，張直明.油葉型軸承非線性油膜力數(shù)據(jù)庫［J］.上海工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1993，14(4):299－305.

［13］孟志強(qiáng)，徐 華，朱 均.基于Poincaré變換的滑動軸承非線性油膜力數(shù)據(jù)庫方法［J］.摩擦學(xué)學(xué)報，2001，21(5):223－227.

［14］焦映厚，陳照波，等.Jeffcott轉(zhuǎn)子－可傾瓦滑動軸承系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的非線性分析［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報，2004，24(12):227－232.

［15］張直明，張言羊，謝友柏，等.滑動軸承的流體動力潤滑理論［M］.北京:高等教育出版社，1986.

Nonlinear dynamic analysis of a flexible rotor system with combined fixed-tilting pad journal bearings

Lü Yan-jun1，2，ZHANG Yong-fang3，YU Yang-bing1，YU Lie4

(1.School of Mechanical and Instrumental Engineering，Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China;2.State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China;3.School of Printing and Packaging Engineering，Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China;4.Institute of Mechatronics and Information Systems，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China)

Based on Reynolds equation with Reynolds boundary conditions，Castelli method was employed to solve Reynolds equation for oil lubrication in bearings.By doing so，a profile of nonlinear oil film force of single pad journal bearing was established.According to the structure of a combined journal bearing，its nonlinear oil film force was obtained using retrieval，interpolation，and assembly techniques.For a symmetrical flexible Jeffcott rotor system supported by combined journal bearings，the nonlinear motions of the rotor center were calculated using self-adaptive Runge-Kutta method and Poincar mapping with different rotational speeds and different pivot ratios.Numerical results showed that the system performance is slightly better when the pivot ratio changes from 0.5 to 0.6，and reveals nonlinear phenomena of periodic，period-doubling，quasi-periodic motion，etc.

fixed-tilting pad journal bearing;nonlinear;dynamics;bifurcation

TH113.1

A

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃“973”(2007CB707706);國家自然科學(xué)基金(51075327);國家重點實驗室開放課題(SKLMT－KFKT－201011);陜西省自然科學(xué)基金 (2009JQ7006，2007E203);陜西省教育廳科學(xué)研究計劃(09JK680，075K340)

2009－12－17 修改稿收到日期:2010－03－31

呂延軍 男，博士，教授，1972年生