非保守簡(jiǎn)支梁的非線性振動(dòng)與混沌現(xiàn)象

李 娜， 趙鳳群， 王苗苗

(西安理工大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

0 引 言

工程實(shí)際中存在大量受非保守力作用的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件.例如,在有阻尼介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的物體表面所受摩擦力的方向隨物體變形而改變,因此變形體的表面摩擦力為非保守力.再如,儲(chǔ)油罐內(nèi)液體的壓力、輸送管道中介質(zhì)的粘滯阻力等都屬于非保守力.

有關(guān)非保守力作用結(jié)構(gòu)變形的較早研究可見(jiàn)Bolotin的專著[1]和Herrmann的綜述文章[2].Leipholz 在文獻(xiàn)[3]中采用Liapunov方法分別分析了梁和矩形板結(jié)構(gòu)在切向隨動(dòng)載荷作用下的彈性穩(wěn)定性問(wèn)題，并給出了結(jié)構(gòu)小振幅振動(dòng)的固有頻率與載荷參數(shù)的特征關(guān)系曲線.武際可[4]、Vitaliani[5]、 Detinko[6]等采用有限元法分別計(jì)算了端部集中非保守力作用懸臂梁和半圓拱的靜態(tài)大變形問(wèn)題.本文考慮了梁自身轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響，對(duì)受沿軸線分布隨動(dòng)切向力作用非保守簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.

1 系統(tǒng)方程

本文研究如圖1所示的切向均布隨從力作用下的屈曲簡(jiǎn)支梁.當(dāng)考慮軸向力作用時(shí)，其非線性動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(1)

圖1 切向均布隨從力作用下的屈曲簡(jiǎn)支梁

w|x=0=w|x=l=0

(2)

(3)

設(shè)撓度函數(shù)具有形式

(4)

(5)

(5)式變形為：

(6)

各個(gè)量的單位分別是：α-N/kg·m,β-1/m2·s2,γ-1/s,q-N/kg·m,f-m/s2.

2 擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)與混沌現(xiàn)象分析

擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的非線性方程為

(7)

將(7)式化為一階的微分方程組，即：

取α=1,β=10,γ=0.5,f=20,ω=π.當(dāng)0

圖2 系統(tǒng)(7)的分岔圖及局部放大圖

當(dāng)0

圖3 q=5時(shí)的時(shí)程曲線、相圖、龐加萊圖

隨著q的增大，系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動(dòng)，如取q=10，此時(shí)相應(yīng)的時(shí)程曲線、相圖和龐加萊圖見(jiàn)圖4(a)、圖4(b)、圖4(c),從圖中可以看出系統(tǒng)此時(shí)為2周期運(yùn)動(dòng).

圖4 q=10時(shí)的時(shí)程曲線、相圖、龐加萊圖

當(dāng)q=14.25時(shí)相應(yīng)的時(shí)程曲線、相圖和龐加萊圖見(jiàn)圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)，從圖中可以看出系統(tǒng)此時(shí)為4周期運(yùn)動(dòng).

圖5 q=14.25時(shí)的時(shí)程曲線、相圖、龐加萊圖

q繼續(xù)增大直到q>15.7，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列的倍周期分岔進(jìn)入了混沌狀態(tài)，如取q=16.5，此時(shí)相應(yīng)的相圖和龐加萊圖見(jiàn)圖6(a)、圖6(b).

圖6 q=16.5時(shí)的相圖、龐加萊圖

圖7 q=17.7時(shí)的時(shí)程曲線、相圖、龐加萊圖

當(dāng)17.4

q繼續(xù)增大直到q>18，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)周期窗口進(jìn)入了混沌狀態(tài)，如取q=25，其相圖和龐加萊圖見(jiàn)圖8(a)、圖8(b)，在龐加萊圖上形成了一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài).

圖8 q=25時(shí)的相圖、龐加萊圖

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)切向均布隨從力作用下屈曲簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，分析了均布隨從力的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，均布隨從力在不同的取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)特性.分別用時(shí)程曲線、相圖和龐加萊圖方法發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及混沌運(yùn)動(dòng)，并分析了系統(tǒng)隨均布隨從力變化的分岔行為.

參考文獻(xiàn)

[1] V V Bolotin. Non-conservative Problems of the Theory of Elastic Stability[M]. Oxford: Pergamon Press, 1963.

[2] G Herrmann. Stability of equilibrium of elastic systems subjected to nonconservative forces[J]. Applied Mechanics Review, 1967, 20(1): 103-108.

[3] H Leipholz. Stability of elastic systems[M]. Alphen aan den Rijin: Sijthoff & Noordhoff, 1980.

[4] 武際可, 蘇先樾. 彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1994.

[5] R V Vitaliani, A M Gasparini and A V Seatta. Finite element solution of the stability problem for nonlinear undamped and damped system under nonconservative loading[J]. International Journal of Solids and Structures,1997, 34: 2 497-2 516.

[6] F M Detinko. On the elastic stability of uniform beams and circular arches under non-conservative loading[J].International Journal of Solids and Structures, 2000, 37: 5 505-5 515.