數(shù)碼相機(jī)定位系統(tǒng)中系統(tǒng)標(biāo)定模型*

張吉昕 甄 平

(黃石理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,湖北黃石 435003)

0 引言

數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片,確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位,即用 2部相機(jī)來定位。用 2部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像,分別獲得該物體上的特征點(diǎn)在 2部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道 2部相機(jī)精確的相對位置,就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo),即確定了特征點(diǎn)的位置。對于雙目定位,精確地確定 2部相機(jī)的相對位置是關(guān)鍵,這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定[1]。

1 靶標(biāo)上的點(diǎn)到像平面的映射模型

1.1 數(shù)碼相機(jī)的幾何模型

在建立模型之前假設(shè)相機(jī)拍照時(shí),不受周圍環(huán)境(如溫度、濕度等因素)的影響;假設(shè)該相機(jī)的成像原理符合針孔成像原理;假設(shè)該相機(jī)焦距等于 1倍相距(數(shù)碼相機(jī)中相距在 1～2倍焦距之間)[2]。

數(shù)碼相機(jī)的圖像拍攝實(shí)際上是一個(gè)光學(xué)成像過程。根據(jù)成像原理可以將此分為 3個(gè)步驟,隸屬于 4個(gè)坐標(biāo)系,這 4個(gè)坐標(biāo)系分別為:

1)世界坐標(biāo)系——根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標(biāo)系,因?yàn)榘袠?biāo)是在一個(gè)平面上,坐標(biāo)值用(Xw,Yw)表示。

2)圖像坐標(biāo)系——坐標(biāo)原點(diǎn)在 CCD圖像平面的中心,X軸、Y軸分別為平行于圖像平面的2條垂直線,坐標(biāo)值用(u,v)表示。

3)像素坐標(biāo)系——坐標(biāo)原點(diǎn)在 CCD圖像平面的左上角,X軸、Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸、Y軸,坐標(biāo)值用(u,v)來表示,且為離散的整數(shù)值。

4)光心坐標(biāo)系——以相機(jī)的光心為坐標(biāo)原點(diǎn),X軸、Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的 X軸、Y軸,相機(jī)的光軸為Z軸,坐標(biāo)值用(Xc, Yc,Zc)表示。由于靶標(biāo)是二維圖,所以光心坐標(biāo)系只取 X、Y軸坐標(biāo)建立與其他坐標(biāo)系的二維映射關(guān)系。

為了能夠確定光心坐標(biāo)系與靶標(biāo)(世界坐標(biāo)系)之間的映射關(guān)系,首先要建立圖像坐標(biāo)系與靶標(biāo)(世界坐標(biāo)系)之間的映射關(guān)系。為了能使模型更加精確,還要建立一個(gè)由圖像坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系,從而得到像素坐標(biāo)系與靶標(biāo)坐標(biāo)系之間的映射關(guān)系。最后得到光心坐標(biāo)系與靶標(biāo)坐標(biāo)系之間的映射關(guān)系。

1.2 數(shù)模相機(jī)的標(biāo)定過程

這一成像過程可分 3個(gè)步驟完成,3個(gè)步驟分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系,再由光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系,最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。

光學(xué)成像的理論模型是針孔模型。根據(jù)這個(gè)模型由光心坐標(biāo)系向圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過程符合中心影射或透視影射,可用齊次坐標(biāo)與矩陣表示:

其中,(Xc,Yc)是光心坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)P的坐標(biāo),(x,y)是對應(yīng)圖像坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo),f是拍攝相機(jī)的焦距。由世界坐標(biāo)系到光心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

其中,R是旋轉(zhuǎn)矩陣,t是位移向量。

為了能使模型更加精確,需要建立一個(gè)由圖像坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

其中,(u0,v0)是坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo),dx,dy分別是像素坐標(biāo)系在 X方向和Y方向相鄰像素間的距離。將式(1)、式(2)代入式(3)得:

可將式(4)簡化為:

N為式(4)右邊第 1項(xiàng),稱為內(nèi)部參數(shù)矩陣,顯然 N為滿秩矩陣,當(dāng)相機(jī)的參數(shù)已知時(shí),N是已知的。M為式(4)右邊第 2項(xiàng),稱為相機(jī)的外部參數(shù),Q稱為投影矩陣。式(5)即為模型。

由M=N-1Q可計(jì)算光心坐標(biāo)系與靶標(biāo)之間的映射關(guān)系:

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解模型

在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn),同時(shí)用2部相機(jī)照相,分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn),利用這 2組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這2部相機(jī)的相對位置。然而,無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓(稱為靶標(biāo)),它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了,而它們的像一般會變形,所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到,標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下:取 1個(gè)邊長為100mm的正方形,分別以4個(gè)頂點(diǎn)(對應(yīng)為A、C、D、E)為圓心,12 mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30 mm處的B為圓心,12 mm為半徑作圓,如圖 1所示。用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像,如圖 2所示。

圖1 靶標(biāo)示意圖

圖2 靶標(biāo)的像

通過計(jì)算機(jī)編程軟件 VB在圖像上以圖像的左上角為坐標(biāo)原點(diǎn)建立 u-v坐標(biāo)系,分別作出靶標(biāo)上 4個(gè)圓的 8條公切線,并得出切線兩兩相交的 16個(gè)交點(diǎn)(圖 3)在像上的坐標(biāo)(由于 2條相交切線的交點(diǎn)從靶標(biāo)映射到像上時(shí)還是該點(diǎn),因此取這些交點(diǎn)及其對應(yīng)點(diǎn)作為參考對象),再根據(jù)圖像的尺寸5 625mm× 3 690 mm和圖像的像素尺寸1 024×768,計(jì)算出它們在像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo),見表 1。

圖3 靶標(biāo)上點(diǎn)在像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

表1 切線兩兩相交的16個(gè)交點(diǎn)在像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo) (單位:像素)

以靶標(biāo)上第 1條橫向共切線與第 1條縱 向共切線的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),以 AC方向作為X軸方向,以AE方向作為Y軸方向建立世界坐標(biāo)系。分別作 4個(gè)圓的 8條公切線,并模擬出兩兩相交的切線的 16個(gè)交點(diǎn)在像上的坐標(biāo)如表 2所示。

表2 兩兩相交的切線的16個(gè)交點(diǎn)在像上的坐標(biāo)(Xw,Yw) (單位:mm)

現(xiàn)用相機(jī)參數(shù):像距是1 577個(gè)像素單位(1mm約為 3.78個(gè)像素單位),根據(jù)假設(shè),這里取焦距等于 1倍像距,相機(jī)分辨率為1 024× 768,可求得:

根據(jù)以上 16個(gè)點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo),擬合得到矩陣Q,再由M=N-1Q利用Matlab計(jì)算出M:

代入靶標(biāo)上圓的世界坐標(biāo):A(12,12)、B (42,12)、C(112,12)、D(112,112)、E(12, 112),通過計(jì)算模型計(jì)算出它們在像上的像素坐標(biāo),再根據(jù)式(3)計(jì)算出它們的圖像坐標(biāo)如表 3所示。

表3 圖像坐標(biāo)

2.2 對結(jié)果進(jìn)行誤差分析

針對模型分別取對角線交點(diǎn)、A圓的上切點(diǎn)、A圓的下切點(diǎn)、B圓的上切點(diǎn)、B圓的下切點(diǎn)。通過計(jì)算|ΔX|=|計(jì)算值 -測量值|, |ΔY|=|計(jì)算值-測量值得出計(jì)算值與測量值之間的絕對誤差如表 4所示。

表4 計(jì)算值與測量值之間的絕對誤差

靶標(biāo)上若干點(diǎn)a,b,c,d,e,……,可以找到在其像上的對應(yīng)點(diǎn),分別計(jì)算出 ΔX、ΔY,運(yùn)用Matlab分別進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到Xw、Yw與誤差的函數(shù)關(guān)系f(Xw)、f(Yw)。最終靶標(biāo)映射到像上的點(diǎn)坐標(biāo)為(u-f(Xw),v-f(Yw)),從而達(dá)到減小誤差的目的。

通過分析,產(chǎn)生誤差的原因如下:

1)由于像上圓的切點(diǎn)坐標(biāo)不容易精確標(biāo)定,故在求|ΔX|和|ΔY|時(shí)可能會出現(xiàn)誤差。

2)計(jì)算機(jī)在進(jìn)行圖像處理時(shí)是以像素為單位的,而在像空間坐標(biāo)系中通常采用標(biāo)準(zhǔn)長度(例如m,mm)。如式(1)所示,物方單位(x,y,z)和焦距f以標(biāo)準(zhǔn)單位表示,而像方幾何量(x,y;x0,y0;Δx,Δy)以像素為單位表示,比較簡單,這樣就在像素和標(biāo)準(zhǔn)單位的相互轉(zhuǎn)換中產(chǎn)生誤差。

3)模型是使像的所有量均以像素為單位,這樣對系統(tǒng)誤差改正數(shù),也要以像素表示。通常數(shù)碼相機(jī)在 X,Y方向上像素 dx和 dy的大小是一樣的,但也存在加工過程的誤差造成在X,Y方向上像素的 dx和dy大小不一致的現(xiàn)象。

3 結(jié)束語

本文利用數(shù)碼相機(jī)采集圖像的參數(shù)時(shí),根據(jù)相機(jī)成像原理建立模型,完成數(shù)碼相機(jī)的標(biāo)定。該模型確定參數(shù)時(shí)只用引入相片上的參數(shù),而不必引入具體的數(shù)碼相機(jī)本身參數(shù),所以簡單、容易操作,比較通用。實(shí)驗(yàn)表明了這種方案的可行性,且具有一定的標(biāo)定精度。

[1] 姜大志,孫閔,劉淼,等.數(shù)碼相機(jī)標(biāo)定方法研究[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2001(1):55-59

[2] 金剛,李德華,蔡濤,等.雙相機(jī)結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)中兩機(jī)定標(biāo)與映射計(jì)算[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,30(10):62-64