黃江銘

(浙江省新昌澄潭中學(xué),浙江新昌 312500)

天體的追及問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢?實(shí)踐表明,應(yīng)用學(xué)生容易理解的“時(shí)鐘轉(zhuǎn)動模型”能順利解決這類問題.

1 時(shí)鐘轉(zhuǎn)動模型

例1.12點(diǎn)整時(shí),鐘面上的時(shí)針、分針剛好重合,如圖1所示.請你計(jì)算一下,再過多長時(shí)間,鐘面上的時(shí)針與分針再次重合?

圖1

圖2

解析:由于分針比時(shí)針轉(zhuǎn)得快,當(dāng)分針轉(zhuǎn)動1周時(shí),時(shí)針才轉(zhuǎn)動1格,接下去是分針去追趕時(shí)針,最后在某個(gè)位置又再次重合,如圖2所示.

不難發(fā)現(xiàn),分針與時(shí)針再次重合,分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)動1周,并且運(yùn)動的時(shí)間又相同,因此,我們可得出以下式子

其中φ表示時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度,ω1表示分針轉(zhuǎn)動的角速度,ω2表示時(shí)針轉(zhuǎn)動的角速度.

其中分針轉(zhuǎn)1周的時(shí)間T1=12 h,時(shí)針轉(zhuǎn)1周的時(shí)間T2=1 h.

聯(lián)立(1)、(2)式,化簡為

總之,代入數(shù)據(jù),可得

時(shí)針和分針(或者分針和秒針)再次重合時(shí),存在著以下關(guān)系式

2 應(yīng)用時(shí)鐘轉(zhuǎn)動模型,解決天體追及問題

例2.如圖3所示,火星和地球繞太陽的運(yùn)動可以近似看作在同一平面內(nèi)同方向的勻速圓周運(yùn)動,已知火星的軌道 r1=2.3×1011m,地球的軌道半徑 r2=1.5×1011m,從圖示的火星與地球相距最近的時(shí)刻開始,試估算火星再次與地球相距最近需多長時(shí)間.(以年為單位計(jì)算)

圖3

解析:行星繞太陽做近似勻速圓周運(yùn)動,有

可得

所以

火星轉(zhuǎn)得慢,地球轉(zhuǎn)得快,要再次相遇,地球比火星多轉(zhuǎn)1周,運(yùn)動情況與“時(shí)鐘轉(zhuǎn)動模型”相同.

根據(jù)“時(shí)鐘轉(zhuǎn)動模型”的導(dǎo)出式(Ⅰ),

其中 T1表示火星繞太陽轉(zhuǎn)動的周期,T2表示地球繞太陽轉(zhuǎn)動的周期.可得t=2.1年.

例3.假設(shè)有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運(yùn)動,地球半徑約為6 400km,地球同步衛(wèi)星距地面高度為36 000 km,宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運(yùn)動,每當(dāng)二者相距最近時(shí),宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號,然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站,某時(shí)刻二者相距最遠(yuǎn),從此刻開始,在一晝夜的時(shí)間內(nèi),接收站共接收到信號的次數(shù)為

(A)4次. (B)6次. (C)7次. (D)8次.

其中R1、R2分別是同步衛(wèi)星和宇宙飛船的軌道半徑;T1、T2分別是同步衛(wèi)星和宇宙飛船的運(yùn)動周期.代入數(shù)據(jù),可得

開始時(shí)刻,宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖4所示,第1次接收到信號時(shí),宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖5所示,宇宙飛船比同步衛(wèi)星多轉(zhuǎn)動0.5圈.

圖4

圖5

第2次接收到信號時(shí),宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖6所示,宇宙飛船比同步衛(wèi)星多轉(zhuǎn)動1圈.

圖6