冪級數(shù)應(yīng)用于物理競賽中的近似計算

石長盛

(南京外國語學校,江蘇南京 210008)

物理模型通常是在實際問題的基礎(chǔ)上,突出主要矛盾,忽略次要因素建立起來的.在物理競賽中常常用到以下函數(shù)的冪級數(shù)展開式.

下面舉例說明.

圖1

例2.在 x軸的x=a和x=-a兩位置上各有一個電荷量均為Q的固定電荷,在 x=0處有一電荷量為q、質(zhì)量為m的自由小球,且 Q和q同號.今使小球沿著軸方向稍稍偏移δ釋放,試證明小球?qū)⒃?x軸上圍繞O點做簡諧振動.

解析:如圖2所示,小球向右偏移 δ,則受合力指向 O點,大小為

圖2

即F合大小與位移成正比,方向與位移方向相反,故做簡諧運動.

例3.一熱氣球的體積 V=1.2 m3,不可膨脹,氣球外殼的質(zhì)量為0.2 kg,其體積忽略不計.將氣球內(nèi)氣體加熱至110℃后,試問:

(1)氣球可在離地多高處懸浮?

地面處大氣密度為

熱氣球內(nèi)、外壓強相等,氣球內(nèi)空氣密度為

在h1高處氣球外空氣密度為

氣球懸浮,氣球總重力與浮力平衡,有

將(1)～(3)代入(4)式可得

(2)在 h平衡處,再升高 Δh,氣球浮力減小,合力向下,大小為

由于Δh?h,利用冪級數(shù)展開式(6)有

所以

由此式可看出,合力方向指向平衡位置,大小與Δh成正比.氣球做簡諧運動,角頻率為

振動方程為