宮金武 查曉明 陳佰鋒

（武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430072）

1 引言

當(dāng)今電力系統(tǒng)中，非線性負(fù)載日益增多，有源電力濾波器（APF）已經(jīng)被證明是一種有效的補(bǔ)償諧波電流的裝置[1-2]。如何實(shí)現(xiàn)既快速又準(zhǔn)確的電流控制器是APF需要解決的一個(gè)大問(wèn)題。目前常用的控制器有如下幾種：

簡(jiǎn)單的比例-積分（PI）控制器具有比較快的跟蹤速度，也易于實(shí)現(xiàn)，但是它存在很嚴(yán)重的弱點(diǎn)：在三相交流系統(tǒng)中，它在靜止坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)誤差較大，而且需要解耦[3]。理論上，任意次諧波均可以經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后轉(zhuǎn)換為直流分量，從而使用PI控制器達(dá)到無(wú)差控制。但是每次諧波均需要一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換和一個(gè)PI控制器，數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)起來(lái)很復(fù)雜。

諧振控制（PR）易于數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)，而且可以在靜止坐標(biāo)系下達(dá)到類似于 PI控制在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的頻率響應(yīng)特性[4-5]。諧振控制的傳遞函數(shù)通常表示為

PR控制器的框圖和伯德圖如圖1所示。

圖1 PR控制的框圖和伯德圖Fig.1 Block diagram and Bode plots of PR controller

由圖1b可見(jiàn)，PR控制對(duì)特定頻率的交流信號(hào)可以實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤，這是因?yàn)橹C振環(huán)節(jié)可以看作一個(gè)交流積分器[6]。但是每個(gè)頻率的交流信號(hào)均需要單獨(dú)的 PR控制器，用現(xiàn)有的數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)一系列的PR控制器是比較復(fù)雜的工作[7-8]。

為了克服PI控制和PR控制的不足，基于內(nèi)模原理的重復(fù)控制（RE）在風(fēng)力發(fā)電、太陽(yáng)能發(fā)電、不間斷電源（UPS）、動(dòng)態(tài)電壓恢復(fù)器（DVR）、有源電力濾波器（APF）等場(chǎng)合取得廣泛的應(yīng)用[9]。重復(fù)控制的傳遞函數(shù)一般表述為

式中，Kr表示直接反饋控制的增益系數(shù)；Ks表示重復(fù)控制的增益系數(shù)。在APF控制器中應(yīng)用重復(fù)控制可以加入前饋環(huán)節(jié)或反饋環(huán)節(jié)，這樣具有良好的魯棒性和自穩(wěn)定性[10]。

圖2a和圖2b分別表示重復(fù)控制的框圖和伯德圖，圖 2b表示重復(fù)控制對(duì)各次諧波都有無(wú)窮大增益，這表明重復(fù)控制可以消除各次諧波。但是重復(fù)控制具有一個(gè)工頻周期的延時(shí)，因而影響到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

圖2 重復(fù)控制器的的框圖和伯德圖Fig.2 Block diagram and Bode plots of repetitive controller

在APF系統(tǒng)中，為了解決PI控制、PR控制、傳統(tǒng)的重復(fù)控制的缺點(diǎn)，本文提出了一種新的控制策略，它易于數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)，可以消除所有奇次諧波，不僅具有諧振控制的特性，相比傳統(tǒng)重復(fù)控制，也具有更快的響應(yīng)速度和更小的靜態(tài)誤差。

2 控制策略分析

2.1 本文提出的控制策略

本文提出的控制策略的傳遞函數(shù)如下。

圖3 本文提出的快速重復(fù)控制的框圖和伯德圖Fig.3 Block diagram and Bode plots of proposed controller

顯然，式（3）類似于一系列奇次諧波諧振控制器的和。本文所提出的控制策略的框圖和伯德圖如圖 3所示，在 (2 k±1)×50Hz,k=1,2,3…處，它具有無(wú)窮大增益，這就可以用來(lái)消除電力系統(tǒng)中所有的奇次諧波，符合多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)的要求。對(duì)偶次諧波，本文所提出的控制策略沒(méi)有補(bǔ)償效果，但是不會(huì)引起偶次諧波放大。如圖3a所示，這種控制策略只需要一個(gè)延時(shí)環(huán)節(jié)，很容易由DSP+FPGA構(gòu)成的數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)[11-12]。

2.2 收斂性分析

為了分析本文提出的控制策略的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)誤差，本文將典型的APF系統(tǒng)表述成圖4所示的形式[13]。諧波電流信號(hào)ish取自電網(wǎng)側(cè)，重復(fù)控制器據(jù)此產(chǎn)生參考信號(hào)，用來(lái)控制逆變器輸出合適的諧波電流iAF，以完全補(bǔ)償負(fù)荷產(chǎn)生的諧波電流。圖5是本文所提出的控制策略的閉環(huán)控制框圖。

圖4 APF的系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of APF configuration system

圖5 本文提出的APF閉環(huán)控制框圖Fig.5 Block diagram of the APF closed-loop control system

圖5中，Id(s) 和 e(s) 分別表示負(fù)荷側(cè)諧波電流和系統(tǒng)側(cè)諧波電流，GAF(s) 表示PWM逆變器和諧波檢測(cè)環(huán)節(jié)的二階低通濾波器的傳遞函數(shù)，GSP(s)表示逆變器輸出濾波器的傳遞函數(shù)，Kr和Ks分別代表直接反饋環(huán)節(jié)的增益和重復(fù)環(huán)節(jié)的增益。

重復(fù)控制可以消除所有由周期性擾動(dòng) e(t) 引起的周期性誤差。當(dāng)周期性誤差產(chǎn)生時(shí)，重復(fù)控制會(huì)跟蹤實(shí)時(shí)誤差，并且在下一個(gè)重復(fù)周期里將其補(bǔ)償?shù)?。所以?duì)重復(fù)環(huán)節(jié)而言，動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間是基于重復(fù)周期 T/2，（T為基波周期，T=0.02s）。本文的收斂性分析將在離散域進(jìn)行，基于重復(fù)周期T/2。k代表重復(fù)周期數(shù)，k=1,2,3… 分別代表 0.5 T,T,1.5 T…。對(duì)重復(fù)控制的收斂性分析如式（4）～式（6）所示。

定義 GconF(s) 為收斂表達(dá)式，它表示控制量在兩個(gè)連續(xù)重復(fù)周期的誤差，即

在動(dòng)態(tài)過(guò)程中，也可以用式（9）來(lái)分析誤差的收斂性。只有滿足

條件時(shí)，控制系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，當(dāng)收斂表達(dá)式的值小于 1時(shí)，誤差將會(huì)收斂到零，并且GconF(s) 越小，誤差收斂的速度越快。

由式（7）可見(jiàn)，誤差函數(shù)的的第二部分是由Id(s) 決定的。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，由 Id(s) 引起的誤差的傳遞函數(shù)可以表述為

式（12）表明，穩(wěn)態(tài)誤差是由GAF(s)、GSP(s) 和Ks+Kr的值決定的。

3 本文提出的控制策略和傳統(tǒng)重復(fù)控制的對(duì)比

為了對(duì)比本文所提出的快速重復(fù)控制和傳統(tǒng)重復(fù)控制，特將傳統(tǒng)重復(fù)控制的框圖表述為圖6的形式。

圖6 傳統(tǒng)的重復(fù)控制系統(tǒng)框圖Fig.6 Block diagram of traditional repetitive control system

圖6中各個(gè)部分的含義和圖5類似，也是在離散域內(nèi)進(jìn)行分析，基于重復(fù)周期T（基波周期0.02s），k代表重復(fù)周期數(shù)，k=1,2,3 … 分別代表 T，2 T,3 T…。與前面不同的是：重復(fù)周期不再是0.5 T而是T。重復(fù)控制的過(guò)程可以描述如式（13）～式（15）所示。

當(dāng)控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差是一個(gè)不變的量，它可以表示為。綜合式（13）和式（16），可以推導(dǎo)出

同樣，在傳統(tǒng)重復(fù)控制中，也可以定義GconT(s)作為收斂表達(dá)式。該式表現(xiàn)了控制量在兩個(gè)連續(xù)重復(fù)周期間的誤差關(guān)系：

由式（17）可見(jiàn)，誤差函數(shù)的的第二部分是由Id(s) 決定的。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，由 Id(s) 引起的誤差的傳遞函數(shù)可以表述為

式（19）表明，穩(wěn)態(tài)誤差僅由Kr的值決定。對(duì)比誤差傳遞函數(shù)式（12）和式（19）可見(jiàn)：本文提出的快速重復(fù)控制比傳統(tǒng)重復(fù)控制具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

重復(fù)控制的收斂速度取決于兩個(gè)條件：重復(fù)周期和收斂性函數(shù)。

從重復(fù)周期上看，本文提出的快速重復(fù)控制的重復(fù)周期只有0.5 T，是傳統(tǒng)重復(fù)控制的一半。所以它具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間。

對(duì)比本文提出的快速重復(fù)控制和傳統(tǒng)重復(fù)控制的收斂性函數(shù)GconF(s)和GconT(s)可得

式（20）表明：本文提出的快速重復(fù)控制不僅具有更小的重復(fù)周期，還具有更小的收斂性函數(shù)，所以具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。

4 重復(fù)控制的實(shí)現(xiàn)過(guò)程

傳統(tǒng)重復(fù)環(huán)節(jié)的框圖如圖7a所示，傳遞函數(shù)為

式中，ω0=2πf0=2π/T,f0=50Hz,T=0.02s。當(dāng) esT=1（ω=±kω0,k=0,1,2…）時(shí)可以求出重復(fù)環(huán)節(jié)的極點(diǎn)，極點(diǎn)的位置如圖7c所示。

本文提出的快速重復(fù)控制的框圖如圖7b所示，對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

根據(jù)式（22），當(dāng)e?sT/2=?1(ω=±(2k+1)ω,0k=0,1,2…)時(shí)可以求出極點(diǎn)，當(dāng)e?sT/2=1(ω=±2kω0,k=0,1,2…) 時(shí)可以求出零點(diǎn)。零極點(diǎn)的分布如圖7d所示。

圖7 傳統(tǒng)重復(fù)環(huán)節(jié)和本文提出的重復(fù)環(huán)節(jié)的框圖、零極點(diǎn)圖和伯德圖Fig.7 Block diagram,poles-zeros location and Bode plots

眾所周知，由于對(duì)偶發(fā)性的干擾也存在無(wú)窮大增益，重復(fù)環(huán)節(jié)可能導(dǎo)致控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定。本文在重復(fù)控制的延時(shí)環(huán)節(jié)之后引入了遺忘因子Kf，這樣可以帶來(lái)阻尼，提高了控制器的魯棒性。Kf導(dǎo)致所有的極點(diǎn)向虛軸的左邊移動(dòng)一個(gè)距離σ，σ＜0。對(duì)傳統(tǒng)重復(fù)控制環(huán)節(jié)，極點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程如圖 7c所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

對(duì)本文所提出的快速重復(fù)控制而言，Kf導(dǎo)致的極點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程如圖7d所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

在引入Kf之后，傳統(tǒng)重復(fù)控制的框圖和極點(diǎn)分布如圖 7a、圖 7c所示；Kf將系統(tǒng)的極點(diǎn)向虛軸的左半軸移動(dòng)，因而增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。相對(duì)于傳統(tǒng)的重復(fù)控制，本文所提出的快速重復(fù)控制具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）如圖7f所示，不論Kf是否變化，本文提出的快速重復(fù)環(huán)節(jié)在相鄰的兩個(gè)奇次諧波對(duì)應(yīng)的幅值增益尖峰之間，對(duì)偶次諧波有一個(gè)增益下陷，這就說(shuō)明，它對(duì)奇次諧波有無(wú)窮大增益，對(duì)偶次諧波增益基本為零；相比之下，傳統(tǒng)重復(fù)控制沒(méi)有這個(gè)增益下陷的過(guò)程，最小幅值增益也大于 1/2 (?6.0 dB)，表明它對(duì)任意次諧波的增益均為無(wú)窮大。所以，本文提出的控制策略增強(qiáng)了系統(tǒng)的選擇性和抑制性，使之具有更大的增益和更好的表現(xiàn)。

（2）圖7e和7f表明，在Kf從1減小到0.9的過(guò)程中，受Kf的影響，幅值增益尖峰的幅值減小，帶寬增加。在傳統(tǒng)重復(fù)環(huán)節(jié)中，幅值增益尖峰從無(wú)窮大變化為：最大值1/(1?Kf)，最小值 1/(1+Kf)；在本文提出的快速重復(fù)環(huán)節(jié)中，幅值增益尖峰從無(wú)窮大變化為：最大(1+Kf)/(1?Kf)，最小(1?Kf)/(1+Kf)。由此可見(jiàn)，為了改善系統(tǒng)的魯棒性而引入Kf后，本文提出的快速重復(fù)控制比傳統(tǒng)重復(fù)控制具有更大的增益和更好的適應(yīng)性。

為了消除開(kāi)關(guān)次紋波對(duì)控制系統(tǒng)的影響，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，另一種有效的方法是在重復(fù)控制的延時(shí)環(huán)節(jié)之后加一個(gè)簡(jiǎn)單的一階濾波器，例如LPF=1/(τs+1)。在一般的APF控制系統(tǒng)中，電流檢測(cè)環(huán)節(jié)的低通濾波器可以有效地去除高頻開(kāi)關(guān)次諧波，所以 Kf取 0.95即可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不需要在重復(fù)環(huán)節(jié)中增加LPF[14]。

5 仿真和試驗(yàn)

5.1 仿真

為了證明本文提出的快速重復(fù)控制的有效性和正確性，采用Matlab/Simulink建立了基于傳統(tǒng)重復(fù)控制和本文提出的快速重復(fù)控制的APF仿真模型。APF的系統(tǒng)構(gòu)成如圖8所示，各元件參數(shù)見(jiàn)下表，仿真結(jié)果如圖9所示。

圖8 APF的系統(tǒng)構(gòu)成Fig.8 Configuration the APF system

表 仿真參數(shù)Tab.Simulation parameters

圖9 Matlab仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results

在基于傳統(tǒng)重復(fù)控制器策略的仿真中，APF在0.06s開(kāi)始工作。在控制器開(kāi)始工作之后的第一個(gè)工頻周期（0.06～0.08s）內(nèi)，重復(fù)環(huán)節(jié)還沒(méi)有起作用，系統(tǒng)側(cè)電流有四個(gè)明顯的畸變尖峰。在第二個(gè)工頻周期（0.08～0.1s），重復(fù)環(huán)節(jié)開(kāi)始起作用，系統(tǒng)電流上的四個(gè)畸變尖峰開(kāi)始變小。當(dāng)控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，總諧波畸變率減小到2.20%。

在基于本文提出的快速重復(fù)控制策略的仿真中，APF在 0.06s開(kāi)始工作，在頭半個(gè)工頻周期（0.06～0.07s）中，重復(fù)環(huán)節(jié)也沒(méi)有起作用，系統(tǒng)電流有兩個(gè)明顯的畸變尖峰，在第二半個(gè)工頻周期（0.07～0.08s）重復(fù)環(huán)節(jié)開(kāi)始起作用，系統(tǒng)電流上的兩個(gè)畸變尖峰開(kāi)始變小。當(dāng)控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，總諧波畸變率減小到1.96%。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的控制策略的有效性，對(duì)比它相對(duì)傳統(tǒng)重復(fù)控制的優(yōu)越性，特在一臺(tái) 100kVA并聯(lián)APF上分別試驗(yàn)了這兩種控制方法。APF的控制系統(tǒng)是由DSP+FPGA構(gòu)成，F(xiàn)PGA主要完成A-D采樣控制、諧波電流檢測(cè)、重復(fù)控制的實(shí)現(xiàn)、直流側(cè)電壓控制、PWM脈沖的生成等功能；DSP主要完成裝置的各種保護(hù)、數(shù)據(jù)分析、人機(jī)交互。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experiment results

在沒(méi)有補(bǔ)償之前，系統(tǒng)諧波電流有45A，THD為34.5%；采用傳統(tǒng)重復(fù)控制，THD降低到5.24%，采用本文所提出的快速重復(fù)控制，THD降低到5.06%。

6 結(jié)論

本文提出了一種快速重復(fù)控制策略，建立了其控制框圖和傳遞函數(shù)，推導(dǎo)出其收斂表達(dá)式，通過(guò)收斂性分析證明了本文提出的快速重復(fù)控制策略是穩(wěn)定的，并在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差等方面和傳統(tǒng)重復(fù)控制進(jìn)行了對(duì)比。為提高重復(fù)控制在偶發(fā)性干擾存在下的魯棒性，控制系統(tǒng)需要引入遺忘因子Kf，本文從伯德圖和幅值增益等方面分析對(duì)比證明了這種控制策略比傳統(tǒng)重復(fù)控制具有更好的適應(yīng)性。

理論分析和仿真、實(shí)驗(yàn)都表明：這種控制策略可以消除所有奇次諧波；相比傳統(tǒng)重復(fù)控制，這種控制策略具有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

在實(shí)際應(yīng)用中，這種控制策略很容易由DSP或者FPGA實(shí)現(xiàn)。本文提出的快速重復(fù)控制策略已經(jīng)成功地應(yīng)用在三相并聯(lián)APF系統(tǒng)中，通過(guò)進(jìn)一步的設(shè)計(jì)、分析，它也可以應(yīng)用在DVR、UPS、PV、SVG等其他并網(wǎng)逆變器當(dāng)中。

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