周興平

（杭州師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，浙江杭州 310018）

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中舉例的適切性探析

周興平

（杭州師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，浙江杭州 310018）

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，舉例是一個(gè)很常見的教學(xué)行為，但并不是每一個(gè)舉例都能很好實(shí)現(xiàn)教師的教學(xué)目的。這主要取決于教師舉例的適切性程度，而教師所舉例子本身的變化維度、呈現(xiàn)方式以及教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容是影響案例適切性的三個(gè)重要方面。

小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)過程；舉例；適切性

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過使用舉例來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念、原理自古就有，在我國(guó)的小學(xué)教學(xué)中，舉例早已被認(rèn)為是廣大教師不學(xué)而能的教學(xué)技巧。但是，有研究發(fā)現(xiàn)，舉例是否恰當(dāng)對(duì)教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生的學(xué)習(xí)有重要影響[1]。這一看似不學(xué)而能的技巧也并不是人們想象的那般簡(jiǎn)單，用得好，則有積極的作用，相反，則會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解及教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

一、“教學(xué)舉例”與“案例教學(xué)”的概念辨析

小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中通過舉例來解釋和闡述數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)則的行為或過程，筆者稱之為“教學(xué)舉例”，這一概念與近些年一直為人們熱議的“案例教學(xué)”有本質(zhì)上的區(qū)別，“案例教學(xué)”又稱“案例教學(xué)法”，是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)法(case-based teaching)，起源于19世紀(jì)20年代，由美國(guó)哈佛商學(xué)院(Harvard Business School)所倡導(dǎo)，當(dāng)時(shí)是采取一種很獨(dú)特的案例型式的教學(xué)，這些案例都是來自于商業(yè)管理的真實(shí)情境或事件，透過此種方式，有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生主動(dòng)參與課堂討論，案例本身就是教材。

二者的區(qū)別是明顯的，根本的，前者是教學(xué)過程中的一種教學(xué)技巧、技藝，任何科目或教學(xué)方法中都可能使用到的這一種技巧。后者本質(zhì)上是教育的一種教學(xué)法，獨(dú)立于其他的教學(xué)方法。因此，明確區(qū)別二者的不同是必需的，本文只是針對(duì)前者——“教學(xué)舉例”。

二、影響“教學(xué)舉例”適切性的三大要素

（一）案例的“變化維度”對(duì)舉例適切性的影響

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師舉例應(yīng)當(dāng)注重案例的差異性、變化性，關(guān)注案例的“變化維度”，按實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的術(shù)語而言，（數(shù)學(xué)）每一個(gè)概念、原理、規(guī)則都是由若干個(gè)變量組成，構(gòu)成的變量相互轉(zhuǎn)換的可能性就是“變化維度”，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師經(jīng)常要面臨如何有效向?qū)W生闡述一個(gè)數(shù)學(xué)概念的情況，比如減法、加法概念等等。對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生而言，我們不會(huì)認(rèn)為這有什么難理解，但是對(duì)于小學(xué)生，數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性與小學(xué)生思維的具體形象性是一個(gè)不得不注意的矛盾，所以，講解數(shù)學(xué)的概念必須盡可能的通俗、具體，因此，教師常常就會(huì)告訴學(xué)生：

“減法就是……，如：10-5=5”

“被減數(shù)-減數(shù)=余數(shù)”

然后告訴學(xué)生，等式中，被減數(shù)是10，減數(shù)是5，余數(shù)是5?？傮w看，這一教學(xué)過程，教師所舉的案例并無錯(cuò)誤，但這看似沒有錯(cuò)誤的地方，卻隱藏可能出現(xiàn)制約學(xué)生對(duì)減法概念認(rèn)識(shí)和理解的問題。第一次學(xué)習(xí)減法時(shí)，學(xué)生最容易的就是將概念一一對(duì)應(yīng)的識(shí)記，在教師所舉的這個(gè)例子中，減數(shù)是5，余數(shù)也是5，就會(huì)出現(xiàn)部分學(xué)生誤以為減法中減數(shù)與余數(shù)是相同的，這就影響了學(xué)生正確理解減法概念，原因就在于教師所舉的這個(gè)案例的特殊性，這種情況并不是沒有可能，美國(guó)學(xué)者Naomi（1983）通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)“在教授基礎(chǔ)數(shù)學(xué)減法時(shí)，當(dāng)被減數(shù)、減數(shù)、余數(shù)三個(gè)變量中有兩個(gè)被賦予了相同的值時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的理解就會(huì)變得很模糊，而三個(gè)變量都賦予不同值時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)這種情形”[2]。Chloe(2001)通過教授低年級(jí)小學(xué)生加法過程中，也發(fā)現(xiàn)這種情形，a+b=c三個(gè)值有兩個(gè)變量相同就會(huì)制約學(xué)生對(duì)加法的理解。筆者在教學(xué)過程中，也時(shí)常會(huì)發(fā)現(xiàn)這種情形，不僅是數(shù)學(xué)科目，其他科目也是一樣，比如科學(xué)，教授溶液時(shí)，區(qū)分溶液、溶劑、溶質(zhì)概念，教師往往會(huì)隨便舉一個(gè)例子，常常是鹽水、酒水等等，一般都涉及水，恰好水在這些例子中都是溶劑，學(xué)生不自覺的就形成了溶液中“水=溶劑，溶劑=水”的概念，在遇到以碘酒為溶劑的題目，學(xué)生往往就會(huì)出現(xiàn)理解困難，這其實(shí)就是教師舉例不當(dāng)造成的。

（二）案例的“呈現(xiàn)方式”對(duì)舉例適切性的影響

講解抽象的數(shù)學(xué)概念，為使概念更易于理解，一個(gè)重要的策略就是將概念以具體的形式呈現(xiàn)給學(xué)生[3]。所以，教師舉例時(shí)，還應(yīng)注意的一個(gè)問題就是如何呈現(xiàn)案例，同樣一個(gè)例子，對(duì)于學(xué)生，不同的呈現(xiàn)方式會(huì)具有不同的效果。

Chloe（2001）在使兒童學(xué)會(huì)利用9、11、19和21進(jìn)行加減法運(yùn)算后，給實(shí)驗(yàn)學(xué)生呈現(xiàn)了一組兩位數(shù)的加減運(yùn)算題目：58+21=79，70-11=59；實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“實(shí)驗(yàn)學(xué)生沒能有效的解題”，研究分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生計(jì)算普遍有一種化數(shù)為整如10、100的趨向，原題目呈現(xiàn)的方式基本上不具備這一特性，當(dāng)研究者將題目改成：58+20+1=？和70-10-1=？后，實(shí)驗(yàn)學(xué)生解題效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于之前的呈現(xiàn)的方式[4]。

這一實(shí)驗(yàn)充分說明教師在舉例時(shí)必須考慮如何去呈現(xiàn)例子，因?yàn)榻處熕捎玫姆绞綄?huì)影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解?，F(xiàn)實(shí)中，許多教師還沒有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，假使由于教師舉例呈現(xiàn)的方式不夠恰當(dāng)而引起學(xué)生的困惑，但教師沒有意識(shí)到這一問題，這無疑會(huì)阻礙整個(gè)教學(xué)過程，甚至?xí)：龑W(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。如小學(xué)階段教授分?jǐn)?shù)時(shí)，約分是相對(duì)比較難講解的內(nèi)容，在教師舉約分的案例時(shí)，如分?jǐn)?shù)：2/2與(5×2)/2，通過2/2這一分?jǐn)?shù)講解分?jǐn)?shù)的約分是比較合適的，而后者(5×2)/2這一分?jǐn)?shù)，由于這一分?jǐn)?shù)的呈現(xiàn)方式與(5+2)/2分?jǐn)?shù)相似，極易使學(xué)生認(rèn)為后者也同樣可以像前者一樣正常約分。

（三）教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容對(duì)舉例適切性的影響

教師舉例通常是為了達(dá)到一定的教學(xué)目的或?qū)崿F(xiàn)教學(xué)意圖，不同的教師、不同的教學(xué)目標(biāo)條件下會(huì)選擇不同的教學(xué)案例，教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容必然影響案例的選擇與使用。

對(duì)于新教師，由于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的缺乏以及技巧的不熟悉，往往對(duì)教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容沒能很好掌握，所以常常會(huì)出現(xiàn)教學(xué)舉例不適切的現(xiàn)象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)由于教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容不明確而造成舉例不適切的多是新教師，如講授加法運(yùn)算時(shí)，教師舉例“2a+3a=5a”，這一舉例往往就容易引起學(xué)生的不理解和困惑，就不如舉例如“2+3=5”有效明了。原因在于“2a+3a=5a”例子中，包含了學(xué)生并未學(xué)習(xí)的內(nèi)容——“整式的運(yùn)算”，這已不是加法這一章節(jié)所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)了。所以，教師在選擇案例時(shí)必須對(duì)自己的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容要有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，還必須時(shí)刻明白自己教育的對(duì)象是一些具體形象思維占主要地位的小學(xué)生。

三、影響教師“教學(xué)舉例”的原因分析及建議

（一）教師的知識(shí)的培養(yǎng)

Shulman.Lee(1987)研究發(fā)現(xiàn)[5]：教師具備的知識(shí)的差異很大程度上影響教師教學(xué)舉例的適切性，研究還認(rèn)為，教師一般具有七類知識(shí)，而其中有三種關(guān)乎“內(nèi)容知識(shí)（學(xué)科知識(shí)（SMK）、教育學(xué)知識(shí)（PCK）、課程內(nèi)容知識(shí)）”，這三類知識(shí)直接與教學(xué)過程中正確使用案例教學(xué)有聯(lián)系，英國(guó)有一項(xiàng)關(guān)于教師這三類內(nèi)容知識(shí)的實(shí)驗(yàn)研究[6]，實(shí)驗(yàn)者研究了即將擔(dān)任小學(xué)教學(xué)的教師，發(fā)現(xiàn)其中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（SMK）掌握較好的教師，比那些數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)掌握差的教師更能在教學(xué)實(shí)踐中表現(xiàn)優(yōu)秀，而且，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)差的教師容易誤導(dǎo)學(xué)生，很少能抓住將學(xué)生教好的機(jī)會(huì)。我國(guó)師范生培養(yǎng)過程中，教育學(xué)知識(shí)以及課程學(xué)知識(shí)是比較充實(shí)的，但是，有的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)教育就顯得不足，通過調(diào)查我國(guó)師范生培養(yǎng)學(xué)校的培養(yǎng)課程就可以證實(shí)這一點(diǎn)，更多的是教育學(xué)生如何去教育，對(duì)教授科目的知識(shí)往往采取忽視的態(tài)度；筆者認(rèn)為，提高小學(xué)教師教學(xué)舉例的適切性，應(yīng)該在教師接受教育過程中就應(yīng)當(dāng)加以培養(yǎng)。

（二）教學(xué)舉例技巧的專門化訓(xùn)練

正如前文以及相關(guān)研究所表明的那樣，利用舉例來教學(xué)在古代就已經(jīng)很流行，然而研究顯示，甚至在歐美教育發(fā)達(dá)國(guó)家，教學(xué)舉例的研究也不多，筆者認(rèn)為，學(xué)界應(yīng)當(dāng)重視教師教學(xué)舉例這一教學(xué)行為的研究，抓住規(guī)律，指導(dǎo)小學(xué)教師正確使用“教學(xué)舉例”這一行為。假使研究形成了系統(tǒng)、體系，我們可以組織學(xué)校教師進(jìn)行專門的訓(xùn)練。

四、結(jié)語

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)舉例本身是一個(gè)很平常的教學(xué)行為，以致很少有人關(guān)注教師的這一教學(xué)行為，然而，歐美的一些教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明，我們不能忽視教師的這一行為，相反，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)其的研究和重視，正是因?yàn)檫@一行為在教學(xué)過程中的平常，所以，它的影響才會(huì)廣泛，研究方顯的重要。

[1]Tim Rowland.The purpose,design and use of ex amplesin the teaching of elementary mathematics[J] Educ Stud Math,2008(69):149-163.

[2]Rowland&Thwaites,A.‘Elementary teachers’mathematicssubject knowledge:the knowledge quartet and the case of Naomi'[J]Journal of MathematicsTeacher Education,2005(3),255-281.

[3]Janvier.C.Problemsof representation in the teaching and learning of mathematics[J]Hillsdale.New Jersey: Erlbaum,1987(1):14-21.

[4]Jansen,C.J.M.&Pollman,m.w.On round numbers :pragmatic aspectsof numerical expressions[J]Journal of Quantitative Linguistics,2001(3):187-201.

[5]Shulman,Lee.S..Knowledge and teaching:Foundationsof the new reform.[J]Harvard Education Review,1987(57):1-22.

[6]DFEE.Teaching:High Status,High Standards: Circular4/98.London:HerMajesty’sStationeryOffice

On AppropriatenessofExamplesin theProcessofTeaching BasicMathematics

ZHOU Xing-ping
（Primary Education College,Hangzhou Normal University,Hangzhou,zhejiang 310018）

In math teaching,providing examplesis a widely-used teaching method.However,not every example can illustrate its teaching objectives.It depends on the appropriateness of the example which involves the following three aspects:dimensionsof the example;the way of presentation;teaching objectivesand content.

basic mathematics;teaching process;example;appropriateness

G623.5

A

1674-831X（2011）05-0036-03

2011-5-13

周興平（1986— ），男，江西上饒人，杭州師范大學(xué)初等教育學(xué)院研究生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究。

[責(zé)任編輯：胡 偉]