莊科俊(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030;2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所)

時(shí)滯Holling－III型捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性

莊科俊1，2
(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030;2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所)

文中研究了一類具有時(shí)滯的捕食者－食餌系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，給出了產(chǎn)生Hopf分支的充分條件.關(guān)鍵詞:捕食者－食餌系統(tǒng);Hopf分支;穩(wěn)定性;時(shí)滯

1 引言

近年來，對(duì)具有時(shí)滯和功能響應(yīng)的捕食者－食餌系統(tǒng)周期解的研究，引起了極大的關(guān)注，并且得到了一些很好的結(jié)果，參見文獻(xiàn)［1－3］.本文主要考慮基于比率的Holling－III型捕食系統(tǒng):

這里N1(t)與N2(t)分別表示食餌種群與捕食種群的密度，系統(tǒng)中各系數(shù)均為正常數(shù)，b1表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，b2表示捕食者種群的死亡率，α1與α2分別表示相應(yīng)的轉(zhuǎn)化率，m表示半捕獲飽和度.并且τ非負(fù)，表示捕食種群的成熟時(shí)滯.在沒有捕食者的情況下，食餌種群遵循Logistic增長規(guī)律.

對(duì)于系統(tǒng)(1)，文獻(xiàn)［1－2］主要研究了周期解的全局存在性及穩(wěn)定性，而文獻(xiàn)［3］則考慮其對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)的周期解.受文獻(xiàn)［1，4］的啟發(fā)，我們主要以時(shí)滯τ為參數(shù)，討論系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性，進(jìn)而得到系統(tǒng)存在小振幅周期解的充分條件.

2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與周期解的存在性

為了簡便，首先作如下假設(shè):

(H3)a11+a22＜0且a11a22－a12a21＞0.

定理1若(H1)與(H2)成立，則系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡點(diǎn).

證明系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)(N1，N2)滿足方程組

考慮到生態(tài)模型的實(shí)際意義，下面主要考慮正平衡點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì).系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(N*1，N*2)處的線性近似系統(tǒng)為:

則系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的特征方程為:

引理1當(dāng)τ=0時(shí)，如果(H3)成立，則方程(3)的根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部.

引理2如果(H3)成立，則方程(3)當(dāng)τ=τj時(shí)，有且僅有一對(duì)純虛根±iω0，其中

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中的推論2.4，指數(shù)多項(xiàng)式的零根隨參數(shù)的變化而出現(xiàn)在或穿過虛軸時(shí)，具有正實(shí)部的零根總數(shù)才會(huì)發(fā)生改變，從而可以得到特征根的分布情況.

引理4如果(H1)－(H3)成立，則當(dāng)t∈［0，τ0)時(shí)，方程(3)的所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部;當(dāng)τ =τ0時(shí)，方程(3)除有一對(duì)純虛根±iω0外，其它根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部;當(dāng)τ∈(τj，tj+1］時(shí)，方程(3)有2(j+1)個(gè)具嚴(yán)格正實(shí)部的根.

綜合引理1－4及Hopf分支定理［6］，我們有如下關(guān)于系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性和分支周期解的存在性定理.

定理2對(duì)系統(tǒng)(1)，如果(H1)－(H3)成立，則當(dāng)t∈［0，τ0)時(shí)，系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞τ0時(shí)，系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;τ= τ0是系統(tǒng)(1)的Hopf分支值，即在τ0的右側(cè)小鄰域內(nèi)，系統(tǒng)(1)從正平衡點(diǎn)附近分支出小振幅的周期解.

3 結(jié)論

由主要定理可以知道，時(shí)滯τ的改變可以導(dǎo)致系統(tǒng)(1)的不穩(wěn)定性，在一定條件下，若捕食種群的成熟時(shí)滯較小，種群數(shù)量達(dá)到靜態(tài)的平衡;當(dāng)該時(shí)滯較大時(shí)，兩種群的數(shù)量將呈周期變化，達(dá)到動(dòng)態(tài)的平衡.此外，由于系統(tǒng)(1)的形式比較復(fù)雜，對(duì)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及局部Hopf分支存在性的研究已經(jīng)比較困難，關(guān)于Hopf分支的全局延拓，還有待于進(jìn)一步的討論.

［1］Wang Linlin，LiWantong.Existence of periodic solutions of a delayed predator－prey system with functional response［J］.Int JMath Sci，2002，1 (1－2):55－63.

［2］Wang Linlin，LiWantong.Existence and global stability of positive periodic solutionsofa predator－prey system with delays［J］.ApplMath Comput，2003，146(1):167－185.

［3］Wang Linlin，LiWantong.Periodic solutions and stability for a delayed discrete ratio－dependent predator－prey system with Holling－type functional response［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2004(2):325－343.

［4］Zhuang Kejun，LiXiangao，Li Zunxian.Local and global Hopf bifurcations for a predator－prey system with two delays［J］.Ann Diff Eqs，2006，22 (3):483－486.

［5］Ruan Shigui，Wei Junjie.On the zeros of transcendental functionswith applications to stability of delay differential equationswith two delays［J］.Dyn Cont Disc Impuls Syst，2003(10):863－874.

［6］Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1981.

(責(zé)任編輯:王宏志)

Q141

A

1008－7974(2011)02－0017－02

安徽省青年科學(xué)基金項(xiàng)目(10040606Q01).

2010－10－10

莊科俊(1982－)，江蘇金壇人，碩士，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師.