向少華, 鄧曉鵬, 施振剛, 文 偉

(懷化學(xué)院物理與信息工程系,湖南懷化 418008)

具有在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動色散關(guān)系

向少華, 鄧曉鵬, 施振剛, 文 偉

(懷化學(xué)院物理與信息工程系,湖南懷化 418008)

在簡諧近似下,求解了具有在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動的運(yùn)動學(xué)方程.分析了在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)對晶格振動鏈聲學(xué)支和光學(xué)支的影響.發(fā)現(xiàn)了在位勢的存在使晶格鏈產(chǎn)生能隙,并且隨在位勢的增大,晶格振動頻譜發(fā)生移動;當(dāng)在一定的條件下,可使該晶格不存在聲學(xué)模;交錯(cuò)力常數(shù)之比也能提升晶格振動頻譜,尤其是對光學(xué)支的影響更為顯著.

一維雙原子鏈; 在位勢; 力常數(shù)

0 引 言

晶體由大量的原子(或離子)組成的,并且它們按照一定的方式排列,其主要表現(xiàn)是周期性,即長程有序和對稱性1我們所說的晶格是晶體中原子排列的具體形式,因此,原子占據(jù)晶格的格點(diǎn),且在格點(diǎn)附近作微小的振動1晶格振動理論不僅可以用來解釋固體的熱學(xué)性質(zhì),而且也是固體宏觀性質(zhì)和微觀性質(zhì)的重要理論基礎(chǔ),對晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì),超導(dǎo)電性、磁性和相變等許多物理性質(zhì)都有著重要的作用.

晶格振動是晶體中諸原子實(shí)在作集體振動,振動的傳播表現(xiàn)為晶格中的格波;一般而言,格波不是簡諧的,但可以展成為正交歸一的簡諧平面波的線性迭加.當(dāng)振動微弱時(shí),格波可近似為簡諧波.這時(shí),各格波之間的相互作用可以忽略,這就是格波所具有的獨(dú)立模式.晶格的周期性及平移對稱性使得其獨(dú)立的運(yùn)動模式是分立的.因此,我們可以用獨(dú)立簡諧振子的振動來表述其格波對應(yīng)集合振動的獨(dú)立模式,這就是聲子.它是一種集體激發(fā)的振動形式,服從玻色統(tǒng)計(jì)分布.它既可以產(chǎn)生,也可以消滅.

在實(shí)際晶格中,原子之間不僅存在相互作用勢能,而且還存在與近鄰原子無關(guān)的在位勢[1,2].近年來,在位勢對晶格振動色散關(guān)系的影響引起了人們濃厚的興趣和熱情.例如:2006年田強(qiáng)等人[2]研究了在位勢對于一維雙原子鏈晶格振動長聲學(xué)波的影響,表明:在位勢使色散關(guān)系聲頻支在布里淵區(qū)中心的振動頻率不再為零,并且隨在位勢的增大而增大1對于原子之間相互作用勢不隨在位勢大小變化的情況下,晶格振動的色散關(guān)系的頻隙隨在位勢的增大而變寬.2009年潘雪琴等人[3]研究了具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動的低頻支長波模振動圖像,得到原胞中兩種原子運(yùn)動的振幅不再一致,低頻支長波模不再是原胞質(zhì)心的運(yùn)動,且兩種原子運(yùn)動的振幅比隨在位勢的增大而單調(diào)增大.然而,同時(shí)具有在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈振動的色散關(guān)系問題目前被研究較少.為此,本文將對這一問題展開研究,推導(dǎo)其動力學(xué)方程和分析在位勢和力常數(shù)等參數(shù)對晶格振動色散關(guān)系的影響.

1 晶格振動的動力學(xué)理論

式中,α,α′=x,y,z;v,v′=1,2,…,nb;n=1,2,…,N1在式(1)中不包含位移矢量的線性項(xiàng),這是因?yàn)樵谄轿恢酶浇?靜態(tài)晶格能對位移矢量的一階偏導(dǎo)為零,即5E0/ 5unvα=01相鄰原子相互作用力常數(shù)定義為平衡位置處靜態(tài)晶格能對位移矢量的二階偏導(dǎo),即

由力常數(shù)Dnvα,n′v′α′組成的矩陣D應(yīng)為實(shí)數(shù)和具有對稱性,即

進(jìn)而可得求和規(guī)則

2 一維雙原子鏈晶格振動模型和色散關(guān)系

質(zhì)量分別為m和M,相鄰原子之間的平衡距離為a的一維雙原子鏈中,假設(shè)最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)等于κ1和κ21以u2n表示第2n個(gè)原子離開平衡位置2na的位移,以u2n+1表示第2n+1個(gè)原子離開平衡位置= 2(n+1)a的位移,如圖1所示.

圖1 一維雙原子鏈模型

在簡諧近似下,具有在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動哈密頓量為

其中η是在位勢能的力常數(shù)1相應(yīng)的晶格振動方程為:

根據(jù)第一節(jié)的相關(guān)知識,線性齊次方程組(12)有行波解:

代入運(yùn)動學(xué)方程(12),得到:這是關(guān)于A和B的線性齊次方程組1A與B有非零解的條件是系數(shù)行列式(9)為零,進(jìn)而可得晶格振動的色散關(guān)系是

式中h=κ1+κ2+η.由此可以看出,當(dāng)κ1=κ2,則式(15)回歸到文獻(xiàn)[3]的色散關(guān)系;若兩個(gè)原子完全等同,則式(15)就是一維單原子鏈晶格振動的色散關(guān)系.另外,根據(jù)式(15),不難看出,色散關(guān)系有兩支,分別稱為高頻支和低頻支;若無在位勢,這兩支就是固體物理學(xué)中提到的光學(xué)波和聲學(xué)波1因此,在位勢的存在影響著晶格振動的色散關(guān)系,進(jìn)而影響著晶格的物理特性.下面分多種情況討論具有在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動的色散關(guān)系.

3 一維雙原子晶格振動色散關(guān)系

在晶格振動色散關(guān)系的研究中,通常選取波矢在簡約布里淵區(qū),因此下面僅考慮在簡約布里淵區(qū)的色散關(guān)系圖,其它布里淵區(qū)的情況可通過對稱平移而得到1此外,我們在作圖的過程中選取兩個(gè)原子的質(zhì)量之比是M/m=4和圖注的簡潔,已假定,這一處理對所獲得的結(jié)果沒有影響1圖2中我們考慮不同力常數(shù)和在位勢對一維雙原子鏈晶格振動色散關(guān)系中聲學(xué)支的影響,并選取參數(shù)η / κ1=015,而圖3考慮一維雙原子鏈晶格振動色散關(guān)系光學(xué)支在不同強(qiáng)度力常數(shù)和在位勢下的變化規(guī)律,這里我們已假定κ2/ κ1=21

圖2 力常數(shù)和在位勢對一維雙原子鏈聲學(xué)支的影響

圖3 力常數(shù)和在位勢對一維雙原子鏈光學(xué)支的影響

從圖2和圖3可以看出,兩個(gè)力常數(shù)之比和在位勢顯著地影響著晶格振動的色散關(guān)系,使色散關(guān)系ω(q)各處均有不同程度的升高1現(xiàn)在著重考察布里淵區(qū)底部和頂部的色散關(guān)系,即q=0和q=' /2a的情況1根據(jù)式(15),不難得到晶格振動聲頻支底為

由此可以看出,若晶格中無在位勢,無論兩個(gè)原子的質(zhì)量和力常數(shù)之比如何變化,聲學(xué)波的長波極限為ω2-(q→0)→0;但當(dāng)晶格中有在位勢時(shí),則ω-(0)≠0,在此出現(xiàn)了頻隙,這是有在位勢時(shí)色散關(guān)系的一個(gè)顯著標(biāo)志,并且隨著在位勢和力常數(shù)之比的增大而ω-(0)呈非線性增加1對于晶格振動聲頻支頂有

由此可以看出,它不僅與兩個(gè)原子的質(zhì)量和力常數(shù)之比有關(guān),而且也與在位勢有關(guān).當(dāng)力常數(shù)之比(κ2/ κ1)增大時(shí),聲頻支頂?shù)淖畲笾党史蔷€性增加,而當(dāng)κ2=0,κ1→∞,此時(shí)晶格振動的色散關(guān)系為一條平坦的直線1也即原子鏈可視為一系列孤立的原子對組成,只有當(dāng)這些孤立的原子對之間有相互作用時(shí),它們就有可能形成力常數(shù)交錯(cuò)的原子鏈,互相耦合在一起的原子振動便形成了格波.當(dāng)在位勢變化時(shí),聲頻支頂?shù)淖畲笾惦S它的增加而呈線性的增加.

對于晶格振動的光學(xué)支,我們考察它的布里淵區(qū)底和頂.在它的長波極限下,有

由此可以看出,光頻支頂ω+(0)因在位勢的存在而顯著地升高;而力常數(shù)之比對它變化規(guī)律影響是:當(dāng)κ2/ κ1增大時(shí),光頻支頂ω+(0)增大,反之,κ2/ κ1趨近于零,ω+(0)將趨近于一常數(shù).在布里淵區(qū)的邊界(q=2' /a),格波頻率為

這表明在位勢的存在使晶格振動頻隙變寬,同時(shí),由圖3也不難看出,對于光學(xué)支,其最大值與最小值隨力常數(shù)之比和在位勢的增加而呈線性的變化.

最后,我們考察整個(gè)簡約布里淵區(qū)的色散關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn),在位勢的存在時(shí),晶格振動的色散關(guān)系跟布里淵區(qū)底與頂?shù)淖兓?guī)律相同,即,力常數(shù)之比使聲學(xué)模頻率呈非線性地增加,而在位勢使聲學(xué)支最小值呈線性增加,最大值呈線性變化;而對于光學(xué)支,它們使光學(xué)支頻率的最值呈線性變化.

4 結(jié) 論

在《固體物理學(xué)》原子晶格振動的教學(xué)中,我們一般不考慮在位勢對晶格振動色散關(guān)系的影響,然而當(dāng)原子鏈處于一定的介質(zhì)環(huán)境中,原子鏈不僅存在原子之間的相互作用勢能,還具有與鄰近原子無關(guān)的在位勢1另外,由于原子點(diǎn)陣的不同,原子之間耦合強(qiáng)度也不同1本文研究了簡諧近似下,力常數(shù)交錯(cuò)和具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動運(yùn)動方程,得到并分析了在位勢和力常數(shù)交錯(cuò)等因素對晶格振動色散關(guān)系的影響1發(fā)現(xiàn):(1)具有在位勢的一維雙原子鏈的晶格振動色散關(guān)系,在q→0時(shí)出現(xiàn)了能隙,這個(gè)能隙隨著在位勢強(qiáng)度的增大而增大; (2)原子之間相互作用勢的變化,不會對q→0處的能隙產(chǎn)生影響,但當(dāng)存在在位勢時(shí),卻能顯著地影響晶格振動的色散關(guān)系.

[1]G orbach A V,Johansson M.Discrete gap breathers in a diatomic K lein-G ordon chain:stability and mocility[J].Phys Rev E,2003, 67:066 608.

[2]田強(qiáng),洪馥男.具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動的色散關(guān)系[J].大學(xué)物理,2006,25(4):17-19.

[3]潘學(xué)琴,劉炳燦,田強(qiáng).在位勢對于一維雙原子鏈晶格振動長聲學(xué)波的影響[J].大學(xué)物理,2009,28(5):11-13.

Abstract:Using the harmonic approximation method,the motion equation of one-dimension diatomic chain with on-site potential and force constant cross is solved and the influences of on-site potential andforce constant cross on its dispersion relation are discussed.It has showed that the on-site potential induces the energy gap of one-dimension diatomic chain.When on-site potential increases,the lattice vibration spectra are shifted.No acoustic branches are allowed in the one-dimension diatomic chain under given conditions.The force constant cross is contributed to the shift of the lattice vibration spectra,especially for optical branches.

Key words:one-dimension diatomic chain; on-site potential; force constant crosses

Dispersion Relations of One-dimension Diatomic Chain with On-site Potential and Force Constant Crosses

XIANG Shao-hua, DENG Xiao-peng, SHI Zhen-gang, WEN Wei
(Department of Physics and Information Engineering,Huaihua University,Huaihua,Hunan 418008)

O472

A

1671-9743(2011)02-0033-04

2011-01-11

向少華(1972-),男,湖南麻陽人,懷化學(xué)院副教授,博士,主要研究量子信息和物理教學(xué)1