彭朝暉,甘 柳,晏小兵
在風(fēng)險(xiǎn)理論中,古典風(fēng)險(xiǎn)模型經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的完善和補(bǔ)充,已經(jīng)成為最完美的風(fēng)險(xiǎn)理論。而古典風(fēng)險(xiǎn)模型中,索賠來到過程是一個(gè)Poisson過程,Poisson過程的一個(gè)重要性質(zhì)是均值等于方差,但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)作中是難以具備這樣的性質(zhì)的。為了使模型更加符合實(shí)際,不少人對(duì)索賠來到過程進(jìn)行了推廣,其中文獻(xiàn)[1]提出了一類稱為復(fù)合Poisson-Geometric過程的計(jì)數(shù)過程,建立了如下模型:
其中,U(t)為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余量,c為單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi),u≥0為公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是參數(shù)為λ、ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過程,Xi表示第i次索賠額。針對(duì)模型(1),文獻(xiàn)[1]給出了其破產(chǎn)概率所滿足的更新方程,并在索賠額Xi服從指數(shù)分布時(shí),得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式;文獻(xiàn)[2]在索賠分布Xi為相位分布的情況下,得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式,并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;文獻(xiàn)[3]得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。
隨著保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大,險(xiǎn)種日益呈現(xiàn)多元化,近年來也有不少研究了多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型,例如:文獻(xiàn)[4]對(duì)兩個(gè)險(xiǎn)種的索賠到達(dá)過程均為齊次Poisson過程的風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究,得到了破產(chǎn)概率的近似表達(dá);文獻(xiàn)[5]和[6]在此基礎(chǔ)上對(duì)將各個(gè)險(xiǎn)種的保費(fèi)收入過程{ct;t≥0}推廣為Poisson過程或復(fù)合Poisson過程;在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[7]將保費(fèi)收入過程推廣為兩個(gè)獨(dú)立復(fù)合Poisson過程之和;文獻(xiàn)[8]則將文獻(xiàn)[5]~[7]納入一個(gè)框架之下,即它們都可以表示成為兩個(gè)獨(dú)立的譜正Lévy過程的差,并研究了這一類模型的首達(dá)時(shí)的性質(zhì)和生存概率的Pollaczek-Khinchin公式。
本文擬建立一類雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型,一個(gè)險(xiǎn)種的索賠來到過為復(fù)合Poisson-Geometric過程,另一個(gè)險(xiǎn)種的索賠來到過程的時(shí)間間隔服從廣義的Erlang(n)分布。然后得到Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程,利用鞅方法得到了該模型的Lundberg方程,并且利用Laplace變換給出初始資本為0時(shí)的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函的精確解。
我們考慮如下模型:
其中,{X(1)i,i=1,2,…}和{X(2)j,j=1,2,…}分別為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,其分布函數(shù)分別為F(x)和G(x),密度函數(shù)分別為 f(x)和g(x),均值為 μ1和 μ2。{N1(t);t≥0}是參數(shù)為λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過程,{N2(t);t≥0}獨(dú)立于{N1(t);t≥0},是一個(gè)更新過程,其來到的時(shí)間間隔{Vi}i≥1,這里假設(shè){}Vii≥1服 從 廣 義 的 Erlang(n)分 布,參 數(shù) 為λ1,λ2,…,λn,即Vi可以分解為Vi=Vi1+Vi2+…+Vin。其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布。
為了保證保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定,單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入應(yīng)大于其單位時(shí)間內(nèi)的理賠,即:
本文恒設(shè)式(3)成立。
定義1 設(shè) λ>0,0≤ρ<1,稱 {N(t);t≥0}是參數(shù)為 λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過程,如果
(1)N(0)=0;
(2){N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量;
(3)對(duì) t≥0有 N(t)~PG(λt,ρ)
設(shè)保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金為u,破產(chǎn)時(shí)刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)<0}。相應(yīng)的最終破產(chǎn)概率定義為ψ(u)=P(Tu<∞|U(0)=u)。
我們定義一個(gè)隨機(jī)變量M,M=m如果破產(chǎn)是由第m(m=1,2)個(gè)險(xiǎn)種的索賠導(dǎo)致的。這樣破產(chǎn)概率ψ(u)就可以分解為ψ(u)=ψ1(u)+ψ2(u),這里
ψm(u)=P(Tu<∞,M=m|U(0)=u)(u≥0,m=1,2)
設(shè)ω(x),x>0為一非負(fù)函數(shù),定義如下折現(xiàn)罰金函數(shù)
φm(u)=E[e-δTω( ||U(T)I(T<∞,M=m)|U(0)=u],(u≥0 ;m=1,2)
因?yàn)閂i=Vi1+Vi2+…+Vin,其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布,對(duì)于時(shí)間段Vi。假設(shè)0時(shí)刻開始時(shí),處于時(shí)間段V1中的第 j個(gè)小時(shí)間段V1j(j=1,2,…,n),稱這個(gè)小時(shí)間段為狀態(tài),這樣由指數(shù)分布,從狀態(tài) j轉(zhuǎn)移到 j+1的強(qiáng)度為λj;從狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1的強(qiáng)度為λn。
假設(shè)φm,j(u)表示處于狀態(tài) j時(shí),最終由第m(m=1,2)個(gè)險(xiǎn)種的索賠導(dǎo)致破產(chǎn)的模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)。下面推導(dǎo)φm,j(u)所滿足的積分微分方程。假設(shè)開始處于狀態(tài)j,j=1,2,…,n-1,對(duì)于充分小的時(shí)間Δt,我們考慮(0,Δt]內(nèi)的情況,分成四種:①第二個(gè)險(xiǎn)種無狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種無索賠;②第二個(gè)險(xiǎn)種無狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生索賠;③第二個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種無索賠;④第二個(gè)險(xiǎn)種狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生索賠。于是有:
化簡(jiǎn)并利用文獻(xiàn)[1]引理6,我們得到:
其中:ωf(u)=∫0uω(x-u)f(x)dx
當(dāng)處于狀態(tài)n時(shí),我們有:
化簡(jiǎn)得到
利用同樣的方法,我們可以得到:
記 τ0=0,τk=∑ki=1Vi為第二個(gè)險(xiǎn)種第k次索賠來到的時(shí)刻 ,令 U0=u ,對(duì)于 k=1,2,…,Uk=U(τk)=u+cτk-為第二個(gè)險(xiǎn)種第k次索賠后的盈余過程。下面我們找一個(gè) s使得 {e-δτk+sUk;k=0,1,2…}是一個(gè)鞅,容易得到:
又因?yàn)?/p>
所以鞅條件為:
我們把式(8)稱為模型(2)的Lundberg方程。容易看出當(dāng)λ=0,ρ=0 時(shí),式(8)退化為文獻(xiàn)[9]中的情況。
定理1 δ>0時(shí)式(8)有n個(gè)根s1,s2,…,sn,且Re(si)>0。
令 Aδ(s)=Λδ(s)+B(s),這樣 ||Aδ(s)=0 就等價(jià)于式(8)。利用文獻(xiàn)[10]、[11]中的方法,令 Aδ(s,u)=Λδ(s)+uB(s),δ>0時(shí),用?表示半徑為R的區(qū)域(包括邊緣),其中.下面證明,當(dāng)0≤u≤1時(shí), | Aδ(s,u)|≠0,當(dāng)s∈?。因?yàn)閕=1,2,…,n-1時(shí)有:
同理i=n時(shí):
上述不等式表明 | Aδ(s,u)| ≠0,當(dāng) s∈?ˉ。具體證明過程參見文獻(xiàn)[12]。
下面定義函數(shù) f(u)為 | Aδ(s,u)|=0在區(qū)域 ?+(?的內(nèi)部)根的個(gè)數(shù),這樣就有
因此,f(u)是[0,1]上的取整連續(xù)函數(shù),且為常數(shù)。因?yàn)閨Λδ(s)|=0 有n個(gè)根,為。故 f(0)=n。這樣就有 f(1)=n。
先定義如下的Laplace變換:
對(duì)等式(4)和(5)利用Laplace變換得到:
我們記
其中I1的n個(gè)元素都為1,I2最后一個(gè)元素為1,其余為0。又因?yàn)?/p>
由文獻(xiàn)[1]引理6,知上式后一個(gè)等式的∫和∑ 交換順序是可以的。于是
這樣上述等式就可以寫成如下矩陣形式:
解式(9)得到:
其中,A*δ(s)為 Aδ(s)的伴隨矩陣。
同樣的,對(duì)等式(6)和(7)利用Laplace變換,寫成矩陣形式后得到:
解式(11)得到:
定理2如果(8)式有n個(gè)不同的根,則φ1(0),φ2(0)的精確表達(dá)式為:
證明:因?yàn)?||Aδ(si)=0(i=1,2,…,n)所以存在非0向量,使得 ATδ(si)=0→ ,將左乘式(9)得到:
其中, ξδ(si)=ξi1+ξi2+…+ξin(i=1,2,…,n)。利用克萊姆法則有:
其中,Dm1是矩陣D去掉第一列和第m行后剩下元素組成的矩陣。
將上面兩個(gè)展開式代入到式(15)就有:
同理可以得到φ2(0)的精確表達(dá)式。
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