頻率選擇性高斯干擾信道中的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案

景振海，白寶明，馬嘯

(1. 西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；

2. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第36研究所，浙江 嘉興314000；

3. 中山大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510275)

1 引言

多用戶信息論中干擾信道容量的研究由香農(nóng)提出[1]，但是迄今為止，即使是最簡(jiǎn)單的二用戶干擾信道，其最大可達(dá)容量邊界[2]仍是一個(gè)未解決的問(wèn)題。目前，干擾對(duì)齊(IA, interference alignment)作為一種有效提高干擾信道可達(dá)容量的傳輸方案，獲得了廣泛的研究[3～9]。

干擾對(duì)齊的工作機(jī)理是在干擾信道信號(hào)通過(guò)信道時(shí)，把干擾信號(hào)變成信道的一部分信息并且該部分信息和接收機(jī)期望的有用信號(hào)正交化。 也就是說(shuō)干擾對(duì)齊把接收信號(hào)空間分成了兩部分，一部分是干擾信號(hào)子空間，另一部分是信號(hào)子空間。通過(guò)干擾對(duì)齊，接收機(jī)能夠方便地從信號(hào)子空間中獲得渴望的信號(hào)，而不受干擾信號(hào)的影響。文獻(xiàn)[4]的研究表明，一個(gè)K用戶的干擾信道通過(guò)使用干擾對(duì)齊技術(shù)后最多可以達(dá)到K/2的自由度。為了在接收時(shí)能把干擾信號(hào)對(duì)齊到干擾信號(hào)子空間，發(fā)射機(jī)必須利用波束成形矩陣加權(quán)發(fā)送信號(hào)并把信號(hào)擴(kuò)展到多個(gè)時(shí)隙（或者頻率間隙）進(jìn)行發(fā)射（稱為時(shí)域/頻域信號(hào)擴(kuò)展），而接收機(jī)必須在接收到所有時(shí)隙（或者頻率間隙）上的信號(hào)后才能進(jìn)行譯碼。

上述傳統(tǒng)的干擾對(duì)齊方案只考慮在一維域上對(duì)齊（時(shí)域或頻域）造成了如下缺點(diǎn)：當(dāng)信號(hào)只在時(shí)域擴(kuò)展時(shí)，會(huì)造成大的譯碼延時(shí)，當(dāng)信號(hào)只在頻域擴(kuò)展時(shí)，勢(shì)必占用更多的頻帶資源。為了克服上述缺點(diǎn)，本文引入了時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣的概念，并提出了一種時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案，并給出了計(jì)算時(shí)頻對(duì)齊矩陣的算法。時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案同時(shí)利用時(shí)域和頻域資源，使信號(hào)在時(shí)域和頻域進(jìn)行同時(shí)擴(kuò)展。在確保干擾對(duì)齊性能的前提下，當(dāng)需要小的譯碼延時(shí)，可以適當(dāng)增加頻率域的擴(kuò)展；當(dāng)頻帶資源受限時(shí)，可以增加時(shí)域的擴(kuò)展。利用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案可以很容易地在時(shí)域擴(kuò)展和頻域擴(kuò)展上作出折中。計(jì)算機(jī)仿真表明，在和傳統(tǒng)干擾對(duì)齊方案獲得相同對(duì)齊性能的情況下，使用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案，能夠極大地縮短譯碼延時(shí)或者顯著減少頻帶資源使用。

2 方案模型

本文假設(shè)頻率選擇性高斯干擾信道中的總用戶數(shù)為N，并用集合進(jìn)行索引。每個(gè)用戶都采用單天線發(fā)射。通過(guò)離散多音技術(shù)，把頻率選擇性高斯干擾信道劃分成F個(gè)并行高斯干擾信道（頻隙），由集合 F = ｛ 1, 2 ,…,F｝表示。同時(shí)把總發(fā)射時(shí)間劃分成T個(gè)時(shí)隙，由集合 T = ｛ 1, 2 ,…,T｝表示。有了上述定義，那么在第 t(t∈T)個(gè)時(shí)隙和第f(f∈F)個(gè)頻隙下的N用戶高斯干擾信道（如圖1所示）可以由式(1)表示：

圖1 第t(t∈T)個(gè)時(shí)隙和第f(f∈F)個(gè)頻隙下的N用戶高斯干擾信道

為了方便討論時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案，引入時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣的概念。令 A（t,f）表示在第（t,f）個(gè)時(shí)頻間隙下的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣，它是一個(gè)N×N維的對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素記為那么所有用戶在 t(t∈T)個(gè)時(shí)隙和第個(gè)頻隙中發(fā)射的信號(hào) x（t,f）向量可以寫成

那么接收機(jī)收到的最終信號(hào)如下：

3 時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案介紹

本節(jié)主要通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案以及其工作原理。

考慮一個(gè)6用戶的頻率選擇性高斯干擾信道，設(shè)F=2，T=2，并且假設(shè)在第(t,f)(t=1 ,2; f= 1 ,2)個(gè)時(shí)頻間隙下有如下的信道矩陣：

定義時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣如下：

其中，diag()表示對(duì)角矩陣。

在不采用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的時(shí)候，顯然該信道只能提供的自由度[4]為1/4，也就是說(shuō)在同一時(shí)刻只能提供1個(gè)用戶通信而互不干擾。通過(guò)采用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案，很容易驗(yàn)證：，I表示n×n單位矩陣。n

也就是說(shuō)能同時(shí)提供 6個(gè)用戶通信而互不干擾，所以該信道在時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案下能提供的自由度為6/4=1.5。

通過(guò)上述例子可以知道，對(duì)于一個(gè)傳輸信道，如果能找到一個(gè)合適的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣A（t,f）， 使是一個(gè)對(duì)角矩陣（或者矩陣的非對(duì)角線元素值很?。Ｄ敲疵總€(gè)用戶的接收機(jī)就能在無(wú)干擾或干擾比較小的情況下進(jìn)行譯碼。因此，時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的主要目標(biāo)是尋找滿足條件的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣A（t,f）。

引入聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣會(huì)提高自由度的原因在于提高了頻率選擇性高斯干擾信道的復(fù)用度，即提高了信道矩陣的秩。通過(guò)引入聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣，使原來(lái)的信道H（t,f）轉(zhuǎn)變?yōu)榈葍r(jià)信道H（t,f）A（t,f），用戶通過(guò)調(diào)節(jié)A（t,f）使等價(jià)信道矩陣的秩最大化，也就提高了信道的復(fù)用度（自由度）。不引入干擾對(duì)齊矩陣 A（t,f）的情況下，如果在大量的時(shí)頻間隙上傳輸信號(hào)，信道也有可能滿秩（或秩很大），但是不能保證其秩一定是比較大的（也就是說(shuō)不能一定保證干擾會(huì)被對(duì)齊到干擾空間中）。而采用結(jié)構(gòu)化的干擾對(duì)齊矩陣 A（t,f）則保證其秩一定比較大。

4 時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的設(shè)計(jì)

本節(jié)主要討論時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的設(shè)計(jì)其核心便是求解時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣 A（t,f），為此，首先定義矩陣G（t,f）如式(5)所示：

定義 Hij, ? i,j∈N是一個(gè)T×F維的矩陣，其第(t,f)個(gè)元素記為。定義 A ,?j∈N是一個(gè)jjT×F維的矩陣，其第(t,f)個(gè)元素記為。顯然，矩陣G（t,f）中第(i,j)個(gè)元素可表示為

把式(5)代入式(4)中，得到（為了推導(dǎo)方便，忽略噪聲項(xiàng)）：

對(duì)于用戶 i而言，來(lái)自其他用戶的干擾信號(hào)必須對(duì)齊到同一個(gè)子空間中(即干擾子空間中)。也就是說(shuō)來(lái)自其他用戶的干擾信號(hào)的方向在到達(dá)用戶 i的接收機(jī)時(shí)必須是一致的，其數(shù)學(xué)描述由式(8)給出：

式(8)又可等價(jià)為式(9)的 N ×(N-2)個(gè)式子：

其中， v ec(P)表示一個(gè)由P矩陣所有列元素?cái)U(kuò)展成的列向量。

利用式(10)重寫式(9)如下：

把式(11)寫成矩陣形式：

其中，

H的定義由式(14)給出。

對(duì)方程(12)求解，就能獲得時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣。如果能夠確切得到方程(12)的解，那么獲得的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣就稱為全時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣，此時(shí)每個(gè)用戶的接收機(jī)收到的信號(hào)中信號(hào)分量和干擾分量是線性無(wú)關(guān)的。事實(shí)上，方程(12)的解不一定存在或者不能確切得到方程(12)的解，所以采用一種以最小化泄漏的干擾信號(hào)功率為代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，如式(15)所示：

由于式(15)是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，利用Lagrangian函數(shù)：

式(16)的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件為

式(17)等價(jià)為

式(18)表明a是矩陣 HTH的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，于是求解時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣的算法歸納如下：

給定 H(t,f),t∈T,f∈F。

步驟1 通過(guò)式(14)構(gòu)建矩陣H；

步驟2 計(jì)算矩陣 HTH的特征值；

步驟3 找到 HTH的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量a；

步驟4 通過(guò)式(13)，反演得到時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣。

本算法的復(fù)雜度分析如下：首先H是一個(gè)N(N-2 )× N TF 維的稀疏矩陣，并把看成一個(gè)整體，那么計(jì)算 HTH的第一行第一列元素的值時(shí)需要(N- 1 )(N- 2 )次乘法和加法，計(jì)算HTH的第一行其他列元素時(shí)，由于其元素是和零相乘，沒(méi)有計(jì)算復(fù)雜度，因此計(jì)算 HTH第一行所有列元素總共需要計(jì)算復(fù)雜度為 O (N2)（這是在把看成一個(gè)整體下獲得的計(jì)算復(fù)雜度），但是由于包含TF個(gè)元素，因此計(jì)算HTH的第一行所有列元素實(shí)際上需要 O (N2T2F2)的復(fù)雜度。以此類推，一共要計(jì)算N行，所以共需要O(NN2T2F2)的計(jì)算復(fù)雜度，也就是說(shuō)計(jì)算 HTH需要 O (N3T2F2)的計(jì)算復(fù)雜度。其次 HTH是NTF×NTF維的矩陣，求特征值需要O(N3T3F3)的計(jì)算復(fù)雜度，所以總的復(fù)雜度為 O (N3T3F3+N3T2F2)，忽略低次項(xiàng)，只關(guān)注重要項(xiàng)，得到整個(gè)算法的復(fù)雜度為 O (N3T3F3)。傳統(tǒng)的干擾對(duì)齊的算法表述如文獻(xiàn)[4]附錄3所述，它要計(jì)算每一個(gè)用戶干擾對(duì)齊向量（原文中稱為beamforming vectors），需要 O (N2L3)的計(jì)算復(fù)雜度（其中，L為每個(gè)發(fā)射信號(hào)在時(shí)間維或頻率維上的擴(kuò)展數(shù)目也就是時(shí)隙或頻隙數(shù)目）?？偣残枰?jì)算N個(gè)用戶的干擾對(duì)齊向量，則總的復(fù)雜度為 O (N3L3)。為了公平的比較2種算法的復(fù)雜度，令L =T F= P，也就是讓2種算法的可用時(shí)/頻間隙數(shù)目相等。本文的算法復(fù)雜度為O(N3P3)，而文獻(xiàn)[4]的復(fù)雜度為 O (N3P3)，2種算法的計(jì)算復(fù)雜度在數(shù)量級(jí)上是一致的。

5 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的性能。仿真使用頻率選擇性高斯干擾信道，其信道傳輸矩陣 H（t,f）的元素獨(dú)立同分布且都服從[-1,1]上的連續(xù)均勻分布。無(wú)論是時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案還是傳統(tǒng)干擾對(duì)齊方案[4]所有用戶采用相同的發(fā)射功率，設(shè)為1（方便仿真，單位略去）。

例1 考慮一個(gè)10用戶的頻率選擇性高斯干擾信道，把信道分成F=2個(gè)頻隙；采用第3節(jié)的算法求得時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊矩陣。通過(guò)泄漏到信號(hào)子空間的干擾信號(hào)功率和干擾信號(hào)總功率性的比值來(lái)評(píng)價(jià)干擾對(duì)齊的性能。經(jīng)過(guò) 30次仿真求取平均，獲得的性能圖如圖2所示。由圖可知，本文的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案在和文獻(xiàn)[4]的干擾對(duì)齊獲得相同性能的條件下，所需要的時(shí)隙數(shù)目更少，也就是縮短了譯碼延時(shí)。減少的時(shí)隙數(shù)目大概等于原時(shí)隙數(shù)目的一半。時(shí)隙數(shù)目減少的原因在于增加了頻率維的干擾對(duì)齊。所以在這個(gè)例子中，要獲得更高的對(duì)齊性能的條件下，傳統(tǒng)的干擾對(duì)齊[4]需要極大的時(shí)隙數(shù)目，而時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案則可以以幾乎一半的時(shí)隙數(shù)目獲得同樣的性能。同樣的結(jié)論也對(duì)頻率維上的對(duì)齊有效。

圖2 10用戶情況下聯(lián)合干擾對(duì)齊(F=2)和傳統(tǒng)干擾對(duì)齊性能比較曲線（例1）

例 2 本例考慮一個(gè) N(＞2)用戶頻率選擇性高斯干擾信道。在使用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案時(shí)，信道分成 F(＞2)個(gè)頻隙，總時(shí)間分成 T(＞2)個(gè)時(shí)隙。在使用傳統(tǒng)干擾對(duì)齊方案[4]時(shí)，總時(shí)間分成M個(gè)時(shí)隙。2種方案的干擾對(duì)齊的性能如圖3所示。

圖3 N用戶情況下聯(lián)合干擾對(duì)齊和傳統(tǒng)干擾對(duì)齊性能比較曲線（例2）

由圖3可知，T=10，F(xiàn)=2的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案和M=20的傳統(tǒng)干擾對(duì)齊方案[4]性能十分接近，說(shuō)明采用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案不會(huì)帶來(lái)性能的損失，其性能和文獻(xiàn)[4]是相當(dāng)?shù)?。同時(shí)在T=4，F(xiàn)=15的時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案顯著優(yōu)于M=40的傳統(tǒng)干擾對(duì)齊方案，說(shuō)明本算法和文獻(xiàn)[4]的算法一樣（文獻(xiàn)[4]算法隨著時(shí)隙數(shù)的增加而性能變好）隨著時(shí)頻乘積數(shù)的增大而性能逐漸變好。雖然2種算法的資源耗費(fèi)是一致的，但是采用時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案的優(yōu)越性在于當(dāng)時(shí)域（或頻域）資源比較緊張的時(shí)候，可以采用時(shí)頻聯(lián)合方式，節(jié)約時(shí)域（或頻域）資源，但是性能不會(huì)有損失。另外，節(jié)約時(shí)域資源就是減少了延時(shí)。所以本文所提方案是文獻(xiàn)[4]的一維域算法在二維域的擴(kuò)展，能夠提供更加靈活的資源分配手段。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文主要討論在頻率選擇性高斯干擾信道下一種時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案?；谧顑?yōu)化方法，提出了計(jì)算時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊的一種算法。計(jì)算機(jī)仿真表明在和傳統(tǒng)干擾對(duì)齊獲得同樣對(duì)齊性能的條件下，通過(guò)使用頻率域資源從而減少對(duì)齊時(shí)的譯碼延時(shí)（或者通過(guò)使用時(shí)間域資源從而減少頻率帶寬的使用）。時(shí)頻聯(lián)合干擾對(duì)齊方案提供了一種在時(shí)頻擴(kuò)展和域頻擴(kuò)展上折中選擇的方案而不影響干擾對(duì)齊的性能。

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