林曉瓏，張佳全，馮 毅

（吉林大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130022）

杠桿式回轉(zhuǎn)儀定量演示方法研究

林曉瓏，張佳全，馮 毅

（吉林大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130022）

在對(duì)杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行理論分析的基礎(chǔ)上，通過測(cè)量出圓輪自轉(zhuǎn)角速度，旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)動(dòng)角速度、進(jìn)動(dòng)角度的參數(shù)，定量研究了力矩與進(jìn)動(dòng)速度間關(guān)系、角速度與進(jìn)動(dòng)速度間關(guān)系、角動(dòng)量定理的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，最后將測(cè)量值與理論計(jì)算值進(jìn)行了比較。將杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的定量分析引入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，加深了學(xué)生對(duì)角動(dòng)量定理，力矩和角動(dòng)量間關(guān)系的理解。

杠桿式回轉(zhuǎn)儀；力矩；角動(dòng)量；定量分析

繞旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸以很大的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，如果沒有外力矩的作用，由于慣性，物體轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向保持不變。迅速轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺受外力矩（如重力力矩）作用時(shí)，它并不是立即傾倒，而是轉(zhuǎn)動(dòng)軸繞著某固定軸緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)自轉(zhuǎn)的物體受外力矩作用導(dǎo)致其自轉(zhuǎn)軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。

杠桿式回轉(zhuǎn)儀是一種最常見的進(jìn)動(dòng)演示儀器，該儀器可以直觀地演示出剛體的進(jìn)動(dòng)和陀螺的定軸性這一物理現(xiàn)象，幾乎所有學(xué)校用它來演示進(jìn)動(dòng)，以加深學(xué)生對(duì)剛體角動(dòng)量與力矩的關(guān)系的理解。也有人提出了一些改進(jìn)的回轉(zhuǎn)儀來更清楚的演示這一現(xiàn)象［1－2］，但是這些基本上都停留在定性的演示。如果能夠?qū)@一現(xiàn)象進(jìn)行定量分析，學(xué)生通過測(cè)量各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量，并經(jīng)過自己動(dòng)手計(jì)算各運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系，將會(huì)對(duì)這一現(xiàn)象有更加深刻的認(rèn)識(shí)，也培養(yǎng)了他們的動(dòng)手能力與科學(xué)計(jì)算的素養(yǎng)。

1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象分析

1.1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)情況

杠桿式回轉(zhuǎn)儀的結(jié)構(gòu)見圖1，裝有圓輪的鐵桿既能夠繞著水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，又能和水平軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn)。配重塊能沿著鐵桿移動(dòng)。如果對(duì)杠桿式回轉(zhuǎn)儀進(jìn)行仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)有如下主要現(xiàn)象：

圖1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀結(jié)構(gòu)圖

（1）調(diào)節(jié)配重塊的位置，使系統(tǒng)的重心通過支點(diǎn)，圓輪的自轉(zhuǎn)軸處于水平方位，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。使圓輪快速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看到無論怎樣旋轉(zhuǎn)鐵桿，圓輪的轉(zhuǎn)軸方位始終保持不變，即角動(dòng)量不變。

（2）調(diào)節(jié)配重物的位置，使系統(tǒng)的重心不過支點(diǎn)，即整個(gè)系統(tǒng)對(duì)支點(diǎn)軸受有重力矩作用。如果讓圓輪繞鐵桿旋轉(zhuǎn)起來時(shí)，杠桿式回轉(zhuǎn)儀就會(huì)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象。增大圓輪自轉(zhuǎn)速度，進(jìn)動(dòng)速度將會(huì)減慢。改變圓輪的自轉(zhuǎn)方向，鐵桿的水平擺動(dòng)角速度方向也隨之改變。

（3）圓輪自轉(zhuǎn)速度一定，如果移動(dòng)配重塊位置，進(jìn)動(dòng)速度也將發(fā)生變化。配重塊越靠近旋轉(zhuǎn)軸，進(jìn)動(dòng)速度也越大。

1.2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)的理論分析

下面對(duì)以上各現(xiàn)象進(jìn)行理論解釋，并推導(dǎo)出各運(yùn)動(dòng)量之間的計(jì)算關(guān)系。為了使得計(jì)算符號(hào)統(tǒng)一，這里我們規(guī)定，圓輪的自轉(zhuǎn)速度為ω，φ為水平轉(zhuǎn)動(dòng)角度（即為進(jìn)動(dòng)角度），ωp為進(jìn)動(dòng)角速度，L為角動(dòng)量，M為系統(tǒng)受到對(duì)支點(diǎn)O的外力距。

圖2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)及符號(hào)規(guī)定

其中：M1，M2分別為圓輪和配重塊重力所產(chǎn)生的力矩；m1，m2分別為圓輪和配重塊質(zhì)量；l1，l2分別為圓輪和配重塊到支點(diǎn)O的距離。

對(duì)于圓輪的角動(dòng)量增量可以表示為：

當(dāng)系統(tǒng)不平衡時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)受到對(duì)支點(diǎn)O的外力矩M的作用，則角動(dòng)量不守恒。由角動(dòng)量定律知，在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)輪對(duì)支點(diǎn)的自旋角動(dòng)量L的增量為dL＝Mdt。在系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸水平情況下，轉(zhuǎn)輪受到外力矩方向?yàn)樗较騼?nèi)，dt時(shí)間后，圓輪的角動(dòng)量變成L＋dL＝L＋Mdt由于M，L和L＋dL的方向均在水平面內(nèi)，所以自旋軸的方向不會(huì)向下傾斜，而僅是水平向內(nèi)偏轉(zhuǎn)。連續(xù)不斷的偏轉(zhuǎn)，就形成了進(jìn)動(dòng)。

對(duì)于杠桿式回轉(zhuǎn)儀所受力矩可以視為配重塊和圓輪重力產(chǎn)生力矩之和，表示為：

則進(jìn)動(dòng)角速度為

由角動(dòng)量定理有

由上式可見，當(dāng)力矩M一定時(shí)，圓輪自轉(zhuǎn)速度越大，進(jìn)動(dòng)角速度越小；同時(shí)當(dāng)圓輪自轉(zhuǎn)速度一定，力矩M越大，進(jìn)動(dòng)角速度也將越大。

以上理論的推導(dǎo)是建立在角動(dòng)量定理的基礎(chǔ)之上，為了加深對(duì)角動(dòng)量和力矩關(guān)系的理解，根據(jù)角動(dòng)量定理，角動(dòng)量的增量是力矩對(duì)時(shí)間的積累，則有：

其中：φ2，φ1分別為t1和t2時(shí)刻鐵桿旋轉(zhuǎn)時(shí)所處角度。變換式（5），則有：

用式（4）、（6）就能夠?qū)剞D(zhuǎn)儀各參數(shù)之間的關(guān)系以及角動(dòng)量定理進(jìn)行定量的討論。

2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀各運(yùn)動(dòng)量的測(cè)量

杠桿式回轉(zhuǎn)儀的運(yùn)動(dòng)量主要為圓輪的自轉(zhuǎn)速度，圓輪繞豎直旋轉(zhuǎn)軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)的進(jìn)動(dòng)角速度和圓輪進(jìn)動(dòng)的角度，我們分別使用霍爾傳感器、光電傳感器和電位器型角度傳感器來完成這些量的測(cè)定［3］。

2.1 自轉(zhuǎn)角速度的測(cè)定

自轉(zhuǎn)角速度的測(cè)定可以采用霍爾式傳感器，測(cè)量方法如圖3所示。在圓輪上按一定角度固定若干小磁鐵，霍爾傳感器固定在鐵桿上，圓輪旋轉(zhuǎn)時(shí)帶動(dòng)磁鐵旋轉(zhuǎn)。當(dāng)磁鐵經(jīng)過霍爾傳感器時(shí)，霍爾傳感器產(chǎn)生電脈沖，通過記錄各電脈沖之間的間隔時(shí)間可以間接測(cè)量出圓輪旋轉(zhuǎn)角速度。即：其中：n1＝4為小磁鐵的數(shù)量，小磁鐵的數(shù)量不宜太多，太多會(huì)使傳感器無法分辨，而導(dǎo)致檢測(cè)失效。Δt1為檢測(cè)到相鄰電磁鐵的時(shí)間間隔。

圖3 定理測(cè)量的電路框圖

2.2 進(jìn)動(dòng)角速度的測(cè)定

進(jìn)動(dòng)角速度的測(cè)量采用光電式傳感器，在豎直軸軸套上固定一個(gè)光電傳感器，在豎直旋轉(zhuǎn)軸上固定擋片，擋片間隔為90°，豎直旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)擋片旋轉(zhuǎn)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。擋片依次通過光電傳感器，光電傳感器產(chǎn)生一個(gè)脈沖。通過計(jì)算相鄰脈沖間隔時(shí)間就能準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)進(jìn)動(dòng)角速度的測(cè)量，即：

其中：n2＝4為均勻分布固定擋片數(shù)目，Δt2為相鄰傳感器擋光時(shí)間間隔，如果判斷擋片擋光的順序還能判斷出進(jìn)動(dòng)的方向。

2.3 進(jìn)動(dòng)角度的測(cè)量

對(duì)于進(jìn)動(dòng)角度的測(cè)量可以選用電位器型角度傳感器，傳感器固定部分連接到豎直軸軸套上，滑動(dòng)端接在豎直旋轉(zhuǎn)軸上，如果在固定端兩端加上固定電壓U，則進(jìn)動(dòng)角度可以表示為：其中：U1為角度傳感器輸出電壓，經(jīng)放大、V/F變換后為數(shù)字量，由單片機(jī)計(jì)數(shù)。

3 定量實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)理論分析進(jìn)行驗(yàn)證。第一組依據(jù)式（6）來驗(yàn)證角動(dòng)量定理，實(shí)驗(yàn)方法是：固定配重塊，在不同自轉(zhuǎn)角速度下，選取1s的時(shí)間驗(yàn)證進(jìn)動(dòng)角度的變化；在圓輪自轉(zhuǎn)速度一定的條件下，移動(dòng)配重塊，驗(yàn)證1s時(shí)間進(jìn)動(dòng)角度的變化。第二組依據(jù)式（4）來驗(yàn)證力矩與進(jìn)動(dòng)速度之間的關(guān)系、自轉(zhuǎn)速度和進(jìn)動(dòng)速度之間的關(guān)系，其中：車輪質(zhì)量m1＝3.2kg，車輪半徑R＝600mm，配重塊質(zhì)量為m2＝4kg，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果見表1～表2。

表1 第一組驗(yàn)證角動(dòng)量定理實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 第二組驗(yàn)證各運(yùn)動(dòng)量關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過杠桿式回轉(zhuǎn)儀的定量演示，使學(xué)生們對(duì)力矩和角動(dòng)量等有了初步的認(rèn)識(shí)，再通過計(jì)算各運(yùn)動(dòng)量的關(guān)系，對(duì)角動(dòng)量定理，力矩與進(jìn)動(dòng)速度間關(guān)系、角速度與進(jìn)動(dòng)速度間的關(guān)系能有更進(jìn)一步的理解。文中也對(duì)角速度和角度的測(cè)量方法進(jìn)行了介紹，通過動(dòng)手測(cè)量，計(jì)算激發(fā)學(xué)生探索理論聯(lián)系實(shí)際的能力，拓展了知識(shí)面，對(duì)杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的定量分析有著重要的意義。

［1］梁法庫，路峻嶺.力矩突變時(shí)角動(dòng)量變化規(guī)律的實(shí)驗(yàn)演示與分析［J］.大學(xué)物理，2004，23（2）：42-43.

［2］梁法庫，閆公敬.一種可自動(dòng)改變力矩方向的課堂角動(dòng)量定理演示實(shí)驗(yàn)［J］.大學(xué)物理，2005，24（12）：38-39.

［3］張佳全，馮毅.傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)速物理演示裝置的制作與研究［A］.2008年全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程教育學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集［C］.2008.

Research of Lever Gyrostat Quantitative Demonstration

LIN Xiao-long，ZHANG Jia-quan，F(xiàn)ENG Yi

（Jilin University，Jilin Changchun 130022）

This paper is based on the theoretical analysis of lever gyrostat movement，conducts a quantitative research on the relationship between the moment and procession speed，angular velocity speed and procession speed，and tests the angular momentum theorem through the measurement of the angular velocity speed of wheel rotation and revolving spindle procession，and the procession angle.It makes comparison between the measured value and theoretical calculation eventually.Applying the quantitative analysis of lever gyrostat movement tOthe university physics experiment，it improves students practical skills，and enhances their understanding of the angular momentum theorem，relationship between the moment and angular momentum.

lever gyrostat；moment；angular momentum；quantitative analysis

O313.3

A

1007-2934（2011）06-0046-03

2011-07-02