張 帥，張愛平

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 信息工程學(xué)院，北京 100083

“數(shù)學(xué)物理方程”課程教學(xué)方法初探

張 帥，張愛平

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 信息工程學(xué)院，北京 100083

結(jié)合筆者教學(xué)經(jīng)驗，針對“數(shù)學(xué)物理方程”這門課程內(nèi)容多、難度大的特點，對該課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法進行一系列探索，提出新的教學(xué)方法。

數(shù)學(xué)物理方程；教學(xué)方法；多媒體

眾多物理學(xué)、工程、地質(zhì)等學(xué)科的本質(zhì)問題均歸于數(shù)學(xué)物理方程的研究。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計算機科學(xué)技術(shù)為數(shù)學(xué)物理方程的研究提供了強有力的實現(xiàn)手段，數(shù)學(xué)物理方程不只是描述物理學(xué)等工程過程的數(shù)學(xué)形式，在生物學(xué)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、化學(xué)、環(huán)保等領(lǐng)域，均能提出一些非常重要的方程，這門課程已不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，而且成為工科專業(yè)本科生和研究生必修的專業(yè)基礎(chǔ)課。然而，該課程涉及“高等數(shù)學(xué)”、“復(fù)變函數(shù)”、“常微分方程”、“物理”等多門課程內(nèi)容，是一門公認(rèn)的較難課程。如何改進課程教學(xué)方法，進行創(chuàng)造性的課堂教學(xué)，提高學(xué)生對課程學(xué)習(xí)的興趣，已成為必須研究的課題。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等多方面上進行了一些探索。

一、精選課程內(nèi)容

“數(shù)學(xué)物理方程”課程是面向中國地質(zhì)大學(xué)（北京）地質(zhì)學(xué)、地球物理學(xué)、石油工程等專業(yè)二年級下學(xué)期的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。該課程具有內(nèi)容多、課時少、難度大的特點，這就要求在教學(xué)過程中，教師對課程的內(nèi)容、教學(xué)重點等方面做出適當(dāng)調(diào)整，對教材涉及知識點進行合理的取舍及適當(dāng)?shù)难a充。

數(shù)學(xué)物理方程研究的主要內(nèi)容是二階線性偏微分方程定解問題解的適定性。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)篩選經(jīng)典內(nèi)容，重點突出分離變量法、固有函數(shù)法、行波法、格林函數(shù)法及積分變換法，對以上方法進行歸納、總結(jié)，通過對比，讓學(xué)生掌握每種方法解決的不同類型的定解問題。

對于一些較為復(fù)雜的定理，可以采取述而不證的方法，著重講述定理闡述的思想及應(yīng)用，避免大量、冗長的推導(dǎo)過程，例如：在講解Sturm-Liouville定理求解球函數(shù)及柱函數(shù)的過程當(dāng)中，常通過形象描述，讓學(xué)生了解函數(shù)空間中完備正交系的作用即可。

此外，該課程涉及其他數(shù)學(xué)、物理課程的一些基本知識，如：二階常系數(shù)常微分方程的基本解法、高斯公式、方向?qū)?shù)、梯度、fourier級數(shù)的展開、留數(shù)的基本定理以及物理學(xué)中的傅里葉實驗定律、基爾霍夫定律等等。針對上述知識點，要幫助學(xué)生不斷地回憶、鞏固，引導(dǎo)學(xué)生把這些知識點應(yīng)用到新的教學(xué)內(nèi)容中，做到溫故知新。

二、探索教學(xué)方法

“數(shù)學(xué)物理方程”課程常常涉及冗長的公式推導(dǎo)及繁瑣的習(xí)題計算，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，難免產(chǎn)生畏懼、厭學(xué)心理。這就需要教師在教學(xué)過程中不斷把新的教學(xué)思想和理念融入到課堂中，通過有效途徑使學(xué)生參與到教學(xué)中，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

1.借助物理背景，加深學(xué)生對方程的理解

數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容均源于較強的物理背景，它反映了未知函數(shù)關(guān)于時間變量的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解方程所刻畫的物理現(xiàn)象以及方程中各參數(shù)的物理意義。例如，講授熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過程時，我們要對熱傳導(dǎo)這一物理現(xiàn)象進行描述：熱傳導(dǎo)是熱量從系統(tǒng)的一部分傳到另一部分或由一個系統(tǒng)傳到另一個系統(tǒng)的一種現(xiàn)象，其實質(zhì)是大量物質(zhì)的分子熱運動互相撞擊，使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程。學(xué)生對熱傳導(dǎo)的本質(zhì)有了清楚地認(rèn)識之后，再來分析制約該物理現(xiàn)象的物理規(guī)律。與熱傳導(dǎo)相關(guān)的物理規(guī)律主要有兩個，一是傅里葉實驗定律：物體在無窮小時間段dt內(nèi)，通過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt、曲面的面積dS及物體溫度u沿曲面dS的法線方向的導(dǎo)數(shù)三者成正比，即：，k為熱導(dǎo)率。二是熱力學(xué)基本定律：Q=cm△u，其中c為物體的比熱、m為質(zhì)量、△u為溫度變化。分析物理規(guī)律之后，最后研究物理量之間的相互關(guān)系，并把它轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。根據(jù)熱量守恒定律，在時間(t1,t2)內(nèi)，區(qū)域吸收的熱量使其內(nèi)部溫度由u(x,y,z,t1)變化為u(x,y,z,t2)等于流入該區(qū)域的熱量，即：

其中，ρ為密度，運用高斯公式，可推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程：

經(jīng)過上述環(huán)節(jié)，學(xué)生自然清楚地了解以實際物理問題為背景建立數(shù)學(xué)物理方程的基本方法和具體步驟，更加理解數(shù)學(xué)物理方程就是用數(shù)學(xué)語言來描述和表達有關(guān)物理現(xiàn)象和實際問題。

在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)緊密聯(lián)系物理背景，一方面使學(xué)生掌握從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)物理方程的方法，另一方面使學(xué)生理解方程本身及邊界條件、初始條件所描述的物理背景。這樣可以增強數(shù)學(xué)模型的直觀性，既易于理解，又便于記憶，也有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)上的直覺和想象力。

2.利用多媒體手段，增強物理過程和解的可視化

本課程涉及大量的數(shù)學(xué)運算、公式以及表達物理背景的圖形和圖像，在教學(xué)過程中，如果只是在黑板上寫出推導(dǎo)過程，畫出靜態(tài)圖形，可能導(dǎo)致學(xué)生對整個物理過程缺乏感性認(rèn)識。授課教師應(yīng)該通過借助多媒體計算機輔助教學(xué)方式，結(jié)合數(shù)學(xué)理論、解題方法、物理過程和解的性質(zhì)，增強課程的生動性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。例如，研究下列Poisson問題的解：

運用固有函數(shù)法很容易找到上述問題的解，在對解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)進行研究時，我們卻很難想象出其解在空間中的分布。利用Matlab軟件pdetool工具箱可以繪制出原定解問題的解。圖形如圖1：

圖1 Poisson方程解的結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)圖1，可以清楚地看到上述定解問題的解在空間中的分布。在教學(xué)過程中，結(jié)合解的數(shù)學(xué)表達式，通過對圖像的分析，可進一步加深學(xué)生對Poisson方程解的認(rèn)識。又如，在講解Bessel方程及其應(yīng)用時,運用Matlab軟件可以實現(xiàn)第一類Bessel函數(shù)的可視化，學(xué)生可從計算機上詳細(xì)地觀察到各階Bessel 函數(shù)的圖形，借助圖形來加深對Bessel函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識。圖2為第一類Bessel函數(shù)J20(x)的圖形：

圖2 第一類Bessel函數(shù)J20(x)的圖形

在講解弦的震動時，運用CAI課件可以形象地模擬演示出弦振動的物理過程。多媒體計算機輔助教學(xué)方式的使用，活化了課本上的函數(shù)、平面圖形，不但可以加深學(xué)生對所研究問題的物理意義和解題方法的感性認(rèn)識,而且還能提高學(xué)生對計算結(jié)果、抽象函數(shù)的直觀認(rèn)識。

3.加強習(xí)題訓(xùn)練，啟發(fā)學(xué)生舉一反三、一題多解

加強習(xí)題訓(xùn)練是整個課程教學(xué)過程中一項非常重要的內(nèi)容，通過這個環(huán)節(jié)，一方面我們要突出訓(xùn)練學(xué)生求解各類定解問題的基本方法,另一方面培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、融會貫通的能力。例如，在求解兩端固定的弦的振動方程的定解問題時，利用分離變量法可以找到它的解，對于邊界固定的二維薄膜的振動問題是否仍然可以用這種辦法呢？可引導(dǎo)學(xué)生，套用一維波動方程的求解過程來推導(dǎo)二維的情況。經(jīng)過計算，可以驗證這種方法是可行的。此外，在加強習(xí)題訓(xùn)練的同時，還要啟發(fā)學(xué)生一題多解。例如，求解下列定解問題：

此方程既可以用分離變量法，又可用Laplace變化法。如果用分離變量法求解，首先需要把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程；然后結(jié)合兩個齊次邊界條件來解特征值問題；解得特征值、特征函數(shù)后，將單元函數(shù)相乘，得到一系列含有任意常數(shù)的分離解；最后運用疊加原理，代入初始條件，把初始條件中的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的形式來確定系數(shù)。此方法原理比較簡單，但過程比較繁瑣。若用Laplace變化法，直接對方程、邊界條件兩端的變量t取變換，便可把原來的定解問題轉(zhuǎn)化為一個邊值問題，找到邊值問題的解后，再取逆變換就可以求得原問題的解，顯然比第一種方法簡單。再如，對于非齊次邊界條件的非齊次方程的定解問題求解，一般的做法是把邊界條件齊次化，然后分別利用特征函數(shù)法和變量分離法來求解相應(yīng)的方程。如果這樣求解，步驟繁瑣，計算量很大。如果考慮到非齊次項的特殊性，只用一次函數(shù)代換，就可以將方程和邊界條件都齊次化，而后便可直接利用分離變量法求解，這是一個非常簡便的求法。通過引導(dǎo)學(xué)生用多種方法求解同一道習(xí)題，不但可以加深學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解，而且還培養(yǎng)了學(xué)生歸納概括的能力和自我學(xué)習(xí)的能力。

4.結(jié)合應(yīng)用領(lǐng)域及前沿發(fā)展，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

“數(shù)學(xué)物理方程”是一門知識點多、學(xué)習(xí)難度大的課程。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合它在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用及科學(xué)前沿的發(fā)展?fàn)顩r，讓學(xué)生充分了解這門課程在各領(lǐng)域發(fā)揮的重要作用，提高學(xué)生對這門課程的學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)學(xué)物理方程在很多學(xué)科領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。例如，用偏微分方程來解決期權(quán)定價問題是隨機微分方程在金融中的一個成功應(yīng)用。Fischer Black和Myron Scholes利用無風(fēng)險投資理論，得到著名的Black-Scholes隨機偏微分方程，開拓了金融工程從定性分析進入定量分析的時代。又如，偏微分方程在人口發(fā)展模型中研究人的出生、死亡和遷移隨時間變化的情況時，如果模型精度滿足所研究問題的要求時，經(jīng)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)校驗，所得結(jié)果的精度是很高的。另外，偏微分方程在水文預(yù)報中也也有著重要的應(yīng)用，針對水流運動規(guī)律和水文特點，通過采集大量地形、地貌的數(shù)據(jù)建立以水動力學(xué)方程為基礎(chǔ)的分布式水文數(shù)學(xué)物理模型，可以推導(dǎo)出坡面流、壤中流、地下水、河道匯流耦合的情況。衛(wèi)星上天過程中太陽帆板振動對星體姿態(tài)定位的影響、空間飛行器的設(shè)計、機器人彈性臂的制造等現(xiàn)代科技所面臨的問題，最終均歸結(jié)為求解偏微分方程上。學(xué)生了解課程的應(yīng)用領(lǐng)域后，自然能結(jié)合自己的興趣，有針對性地進行學(xué)習(xí)、研究，提高學(xué)習(xí)的主動性與積極性。

三、提高教師自身專業(yè)修養(yǎng)

數(shù)學(xué)物理方程是一門理論性、應(yīng)用性很強的發(fā)展學(xué)科，它具有研究內(nèi)容多，應(yīng)用范圍廣等特點，這就要求教師不僅要加強基礎(chǔ)研究，還要了解本學(xué)科的前沿理論和發(fā)展動態(tài)，運用各學(xué)科的知識和成果不斷武裝自己。在掌握知識的同時，還要堅持理論聯(lián)系實際的原則，努力增強自己的教學(xué)能力，在板書、多媒體、教態(tài)、語言等方面多下工夫，多和教研室的同事交流、討論，向有經(jīng)驗的老教師請教，學(xué)習(xí)他人的優(yōu)點，取長補短，積極探索教育規(guī)律，積累教學(xué)經(jīng)驗，不斷提高自己的教學(xué)水平。

總之，在數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)實踐中，授課教師要以學(xué)生為主體，適當(dāng)融入現(xiàn)代的觀點和方法，分出層次，以適應(yīng)學(xué)生的需求，根據(jù)物理背景，靈活使用教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生提出問題和解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而達到課堂教學(xué)目的。

[1]王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)(第3 版)[M].北京：高等出版社，2004：9-15.

[2]彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：98-105.

[3]劉國光，盧民強.數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)內(nèi)容改革的探索[J].大學(xué)物理，2004，(6)：59-62.

Researching Teaching of Equations of Mathematical Physics

ZHANG Shuai, ZHANG Ai-Ping
China Geosciences University, Beijing 100083,China

Based on the author's teaching experience, this article discussed some attempts of reforming the teaching methods, and proposed some advice, according to the content and difficulty of equations of mathematical physics.

equations of mathematical physics; teaching methods; multimedia

G642

A

1006-9372 （2011）03-0023-04

2011-05-30。

張 帥，男，助教，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作。