數(shù)學(xué)教材是通用的、共性的，同時(shí)又具有簡約化的特點(diǎn)。有的課時(shí)內(nèi)容由于篇幅限制，不可能提供詳盡的學(xué)習(xí)材料，也不可能呈現(xiàn)完整的學(xué)習(xí)過程，它存在許多學(xué)生“看不見”的空洞和留白，當(dāng)然也就很難反映知識(shí)形成的全過程。同時(shí)，現(xiàn)行的人教版數(shù)學(xué)教材的知識(shí)編排呈塊狀螺旋上升，具體表現(xiàn)為跨度大、跳躍性強(qiáng)，并且在很多地方都有簡略處理、省略處理和概括處理等，這就為師生的教學(xué)活動(dòng)留下了特殊的空白。因此，教師應(yīng)反復(fù)研究教材，挖掘數(shù)學(xué)教材中的空白之處并合理補(bǔ)充，使其變得更加系統(tǒng)，更加切合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，從而使他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)更趨合理。
　　一、 補(bǔ)充學(xué)習(xí)內(nèi)容——讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整
　　【教材編排】人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第81頁，怎樣求18和27的最大公因數(shù)。教材呈現(xiàn)出求最大公因數(shù)的方法主要有兩種。一種是羅列法，即讓學(xué)生先分別找出18和27的因數(shù)，然后從中找出公因數(shù)，再看哪個(gè)最大。另一種是挑選法，即先讓學(xué)生寫出27的因數(shù)，然后從中挑選出18的因數(shù)，再看哪個(gè)最大。最后，教材利用小精靈的問題促使學(xué)生展開進(jìn)一步思考，從而表達(dá)了編寫者關(guān)注算法多樣化、個(gè)性化的教學(xué)意圖。
　　【我的思考】用羅列法和挑選法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)比較直觀，學(xué)生容易掌握，但存在兩個(gè)缺陷。缺陷之一，如果學(xué)生在寫兩個(gè)數(shù)或一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)出錯(cuò)，那么下面的結(jié)論就可能不正確；缺陷之二，羅列法和挑選法思維含量不高。同時(shí)，由于學(xué)生首次接觸求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，缺乏相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，因此利用小精靈的追問來拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思路這一目的很難達(dá)到。而傳統(tǒng)的短除法和分解質(zhì)因數(shù)的方法具有較高的思維含量，雖然難度較大，但學(xué)生認(rèn)識(shí)這兩種方法后，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)會(huì)更加方便。
　　【我的處理】在學(xué)生學(xué)會(huì)用羅列法和挑選法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)后，筆者適時(shí)補(bǔ)充短除法和分解質(zhì)因數(shù)法。雖然教學(xué)時(shí)教師的講授味比較濃，但我想還是必要的。畢竟當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了這兩種方法后，對(duì)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就有了一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，使得他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整。具體教學(xué)片斷如下：
　　師：剛才，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)用羅列法和挑選法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。其實(shí)，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)還有一種更加簡便的方法，那就是短除法。你們想知道短除法是怎么回事嗎？請(qǐng)看板書。
　　18和27的最大公因數(shù)是3×3＝9。
　　師：為什么2和3沒有乘進(jìn)去？
　　生：因?yàn)?和3不是它們公有的因數(shù)。
　　師：你們會(huì)用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囍笠磺?2和18的最大公因數(shù)？（在此情此景下，學(xué)生很快用短除法求出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，但卻出現(xiàn)兩種不一樣的過程。）
　　12和18的最大公因數(shù)是6。
　　師：這兩種方法有什么不同？都可用嗎？
　　生：第一種方法是分兩次除的，而第二種方法是一次除完。我認(rèn)為兩種方法都可以用，但第二種方法更簡便些。
　　師：對(duì)，這兩種方法都可以。求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)還有另外一種方法，請(qǐng)你們先把12和18寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。
　　生：12＝2×2×3；
　　 18＝2×3×3。（師板書）
　　師：看了這兩道算式，你們有什么發(fā)現(xiàn)？
　　生：2和3都是質(zhì)數(shù)，同時(shí)又是12和18公有的因數(shù)。
　　師：對(duì)，2和3就是12和18公有的質(zhì)因數(shù)。因此，12和18的最大公因數(shù)是2×3＝6。（板書在兩個(gè)分解質(zhì)因數(shù)的式子下面）
　　師：這種方法就叫做分解質(zhì)因數(shù)法，它也是求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的簡便方法。
　　……
　　師：剛才，我們學(xué)習(xí)了求最大公因數(shù)的幾種方法？分別是什么？
　　生：我們學(xué)習(xí)了求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的四種方法，分別是羅列法、挑選法、短除法和分解質(zhì)因數(shù)法。
　　師：對(duì)，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法比較多，同學(xué)們喜歡哪種方法就用哪種方法。
　　【我的收獲】因?yàn)榻滩氖敲嫦虼蟊姷?，再加上教材編寫者所持的立場可能與一線教師的立場并不一致，所以，教材總是存在一定的局限。因此，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)前應(yīng)該反復(fù)研究教材，根據(jù)實(shí)際適當(dāng)補(bǔ)充相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生獲得更加完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
　　二、 補(bǔ)充訓(xùn)練內(nèi)容——讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更牢固
　　【教材編排】人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第101頁。第1題，整理和復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的概念，主要是分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)單位的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；第2題，整理和復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的分類，即真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)的概念；第3題，整理和復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及其運(yùn)用，包括約分、通分和分?jǐn)?shù)大小的比較；第4題，整理和復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化。
　　【我的思考】我認(rèn)為教材中呈現(xiàn)的整理和復(fù)習(xí)的內(nèi)容是不全面的。第1題涉及了分?jǐn)?shù)意義及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但沒有涉及線段圖，而且有關(guān)分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的實(shí)際問題沒有加強(qiáng)。第3題只是把約分和通分當(dāng)做比較大小的方法，沒有呈現(xiàn)純粹的約分和通分習(xí)題，而這又是這一單元的重要內(nèi)容。因此，我認(rèn)為在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充相應(yīng)習(xí)題，讓學(xué)生對(duì)一些重、難點(diǎn)知識(shí)有一個(gè)更全面的掌握，使得他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加牢固。
　　【我的處理】在整理與復(fù)習(xí)時(shí)，我適時(shí)補(bǔ)充了以下四個(gè)練習(xí)：
　?、蓖瓿删€段圖。
　　下面哪些分?jǐn)?shù)在直線上能用同一個(gè)點(diǎn)表示？把這些分?jǐn)?shù)在直線上表示出來。
　　2.約分
　　3.通分
　　4.解決問題
　　400千克花生可榨油140千克。每千克花生可榨油多少千克？榨1千克油需要多少千克花生？
　　第1題融合了分?jǐn)?shù)的意義和約分知識(shí)，具有一定的挑戰(zhàn)性；第2題呈現(xiàn)了四個(gè)典型分?jǐn)?shù)，使學(xué)生對(duì)約分的方法有一個(gè)全面的把握；第3題呈現(xiàn)了四組典型分?jǐn)?shù)，使學(xué)生對(duì)純粹的通分方法有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。第4題重在解決實(shí)際問題，使學(xué)生通過比較可以較好地理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。
　　【我的收獲】習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體。而新教材由于篇幅的限制，呈現(xiàn)的習(xí)題數(shù)量非常有限。如果單單完成書本配套習(xí)題，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)肯定不牢固。因此，教師應(yīng)在充分把握教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生實(shí)際及自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)教學(xué)重、難點(diǎn)適當(dāng)補(bǔ)充一些必要的練習(xí)，使學(xué)生獲得更加牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
　　三、 補(bǔ)充閱讀材料——讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更寬廣
　　【教材編排】人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第26頁第5題，這道題目是用游戲的形式引出“哥德巴赫猜想”，使學(xué)生通過舉例的方式看到：大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加。但舉例只能舉出有限幾個(gè)，是不是所有大于2的偶數(shù)都能滿足這一結(jié)論呢？這就引起學(xué)生繼續(xù)探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。
　　【我的思考】閱讀材料中介紹的“哥德巴赫猜想”是不完整的。而“哥德巴赫猜想”又是“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”，因此有必要向?qū)W生補(bǔ)充相對(duì)完整的“哥德巴赫猜想”，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)猜想有一個(gè)較為全面的認(rèn)識(shí)，從而拓寬學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
　　【我的處理】在學(xué)完書本的閱讀材料后，我補(bǔ)充了如下這道練習(xí)：
　　把下面的數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相加的形式：
　　7 ＝（）+（）+（）
　　9 ＝（）+（）+（）
　　11＝（）+（）+（）
　　13＝（）+（）+（）
　　15＝（）+（）+（）
　　17＝（）+（）+（）
　　通過練習(xí)，教師及時(shí)追問：你們有什么新的發(fā)現(xiàn)？
　　生1：大于或等于7的奇數(shù)可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)相加。
　　生2：大于5的奇數(shù)可以寫三個(gè)質(zhì)數(shù)相加。
　　師：對(duì)，這也是“哥德巴赫猜想”的重要內(nèi)容?！案绲掳秃詹孪搿庇袃蓚€(gè)內(nèi)容，一個(gè)是任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加；另一個(gè)是任何大于5的奇數(shù)都可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)相加。第一個(gè)猜想已取得重大發(fā)現(xiàn)，主要是由我國數(shù)學(xué)家陳景潤完成的，但還沒有完全得到證明。第二個(gè)猜想還沒有取得重大突破。希望同學(xué)們好好學(xué)習(xí)，爭取成為解決“哥德巴赫猜想”的數(shù)學(xué)大師。
　　【我的收獲】人教版數(shù)學(xué)新教材注意采用閱讀材料的形式，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容編排一些有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的整體認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與欲望。五年級(jí)下冊(cè)教材就安排了14個(gè)“你知道嗎”和6個(gè)“生活中的數(shù)學(xué)”。通過這些閱讀材料介紹了現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)家的故事等等。這些內(nèi)容不僅可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生濃厚的興趣，激勵(lì)他們擴(kuò)大知識(shí)面和進(jìn)一步探索研究的欲望，而且對(duì)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀的形成與發(fā)展也能起到潛移默化的作用。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際有針對(duì)性地補(bǔ)充一些閱讀材料，使學(xué)生對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加寬廣。
　　四、 補(bǔ)充思維訓(xùn)練——讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更深刻
　　【教材編排】人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第101頁，教材中比較分?jǐn)?shù)大小的方法主要有四種。一是比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大小；二是比較兩個(gè)同分子分?jǐn)?shù)的大小；三是先把兩個(gè)分?jǐn)?shù)通分，再比較它們的大??；四是先把兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，再比較它們的大小。這四種方法，學(xué)生都應(yīng)該掌握。
　　【我的思考】教材中展示的這四種方法只是比較分?jǐn)?shù)大小的一般方法，缺少思維含量。而比較分?jǐn)?shù)的大小歷來是奧數(shù)訓(xùn)練（思維訓(xùn)練）的主要內(nèi)容。因此，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候應(yīng)該補(bǔ)充一些用特殊方法比較分?jǐn)?shù)大小的例子，以拓寬學(xué)生的思維。
　　【我的處理】在教完本單元后，我抽取時(shí)間補(bǔ)充了如下三道練習(xí)：
　　第1題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子變相同，同樣可以比較它們的大小；第2題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到把兩個(gè)分?jǐn)?shù)與比一比，就能知道它們的大?。坏?題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)與1的差，就能知道它們的大小。
　　【我的收獲】思維訓(xùn)練歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。但數(shù)學(xué)教材是通用的，具有普遍性，因此數(shù)學(xué)教材中的思維訓(xùn)練存在一定的局限。為此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際靈活補(bǔ)充一些能夠拓展學(xué)生思維的習(xí)題，使他們形成更加深刻的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
　　總之，數(shù)學(xué)教材只是一個(gè)例子，是教學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，而不是教學(xué)的終極目標(biāo)。因此，教師在使用教材時(shí)要憑借自己的智慧、靈感、經(jīng)驗(yàn)，在尊重教材的基礎(chǔ)上對(duì)教材進(jìn)行完善或加工，必要時(shí)還需作適度補(bǔ)充。只有這樣，才能使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加合理，從而使學(xué)生獲得全面、持續(xù)、和諧、穩(wěn)定的發(fā)展。