數(shù)學(xué)是關(guān)于“數(shù)”和“形”的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合緣于數(shù)學(xué)“數(shù)”和“形”的密不可分，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)兩個(gè)基本的元素，只有將兩者緊密結(jié)合起來(lái)才能有效地理解數(shù)學(xué)，只有具備數(shù)形結(jié)合的思想才能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)，才能更好地利用其思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)不斷積累的過(guò)程，信息技術(shù)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程具有了動(dòng)態(tài)可視化的效果。本文將探討信息環(huán)境下學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成過(guò)程。
　　一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵及特征
　　1．?dāng)?shù)形結(jié)合的內(nèi)涵
　　“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，反映數(shù)學(xué)兩個(gè)不同的側(cè)面，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每個(gè)幾何圖形都蘊(yùn)含著與它形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常通過(guò)幾何圖形直觀形象地反映和描述。所謂數(shù)形結(jié)合，就是將抽象的數(shù)量語(yǔ)言與直觀的圖像語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，圖文并茂、聲像并舉、化靜為動(dòng)、形象直觀，利用“數(shù)”的精確性、“圖形”的可視性、數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題過(guò)程的目的，提高學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，縮短了思維鏈，簡(jiǎn)化了思維過(guò)程。
　　2．?dāng)?shù)形結(jié)合的特征
　　數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。利用圖形的形象直觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，有利于溝通數(shù)形之間的聯(lián)系，并通過(guò)這種聯(lián)系產(chǎn)生感知或認(rèn)知，形成數(shù)學(xué)概念或?qū)ふ医鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！边@句話形象簡(jiǎn)練地指出了形和數(shù)的相互依賴、相互制約的辯證關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。數(shù)形結(jié)合思想滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)方面，它不再是一種數(shù)學(xué)方法，而是一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想。
　　“數(shù)”和“形”是從兩個(gè)不同角度來(lái)反映客觀世界的，在教學(xué)中直觀又細(xì)微地貫徹?cái)?shù)形結(jié)合這一基本數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，能使學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，開(kāi)拓思維視野，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的辯證邏輯思維、直覺(jué)思維、發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，以及培養(yǎng)學(xué)生的解題靈活性，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)有著重要的意義。
　　二、信息技術(shù)環(huán)境下數(shù)形結(jié)合的原則及類(lèi)型
　　1.數(shù)形結(jié)合應(yīng)遵循的基本原則
　?。?）等價(jià)一致性原則
　　等價(jià)一致性原則是指“數(shù)”和“形”都是數(shù)學(xué)的內(nèi)在部分，體現(xiàn)數(shù)學(xué)兩個(gè)基本特征，“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換是等價(jià)的，它們是數(shù)學(xué)不同側(cè)面的反映，對(duì)于所討論問(wèn)題的“形”與“數(shù)”所反映的數(shù)量關(guān)系和幾何特征具有一致性、統(tǒng)一性、相通性，密而相融。
　?。?）雙向互補(bǔ)性原則
　　雙向互補(bǔ)性原則是指“數(shù)”和“形”各有自身的特點(diǎn)，利用幾何直觀進(jìn)行形象觀察分析，又利用代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行抽象探索。代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算具有較強(qiáng)的邏輯推理、方便運(yùn)算和結(jié)果明了等優(yōu)越性，能克服幾何直觀方法的許多局限性；幾何又有其形象動(dòng)態(tài)操作可控的特性，在信息技術(shù)環(huán)境下，使得數(shù)中有圖，圖中有數(shù)，互補(bǔ)相聯(lián)。
　?。?）簡(jiǎn)單可視性原則
　　信息技術(shù)環(huán)境下，利用一些工具軟件，如《幾何畫(huà)板》和Mathematica數(shù)學(xué)軟件，能將基本圖形作出來(lái)，包括平面幾何、解析幾何、立體幾何等圖形，并遵循基本原則，構(gòu)圖簡(jiǎn)單，合理易看。幾何作圖優(yōu)美，數(shù)形結(jié)合并整合，圖形中融代數(shù)計(jì)算的簡(jiǎn)潔、明了，避免了繁瑣的運(yùn)算。幾何畫(huà)板就能很好地反映出這一特點(diǎn)。
　　2.數(shù)形結(jié)合思想的基本類(lèi)型
　　數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵比較豐富，可將其歸納為三種基本類(lèi)型：
　　（1）依“數(shù)”化“形”
　　由于“數(shù)”和“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，“數(shù)”比較抽象，學(xué)生難以把握，而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)出具體的直觀思維，起著解決問(wèn)題的啟示或決定作用。通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)尋求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決。依“數(shù)”化“形”是一種模式識(shí)別，也是圖形分析法，從所給問(wèn)題的情境中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)，也就是把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)圖形的觀察、分析、推理來(lái)解決數(shù)量問(wèn)題的方法。依“數(shù)”化“形”將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題一般有三種基本途徑：應(yīng)用平面幾何知識(shí)、立體幾何知識(shí)、解析幾何知識(shí)將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題。
　　（2）依“形”變“數(shù)”
　　“形”雖然有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在運(yùn)算方面用代數(shù)的計(jì)算更為方便，尤其是對(duì)于較復(fù)雜的“形”，既要正確觀察分析圖形，把圖形數(shù)字化，更要細(xì)心觀察圖形的特點(diǎn)，挖掘隱含的條件，抓住圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算，把“形”用代數(shù)抽象表達(dá)出來(lái)，形成代數(shù)結(jié)果。依“形”變“數(shù)”的基本思路是：從不同角度理解圖形中的幾何意義，將圖形的幾何性質(zhì)用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)。
　?。?）“數(shù)”“形”相依
　　在解決問(wèn)題中，不僅要依“數(shù)”變“形”或依“形”變“數(shù)”，更應(yīng)是“形”“數(shù)”互相依存轉(zhuǎn)換，既要由“形”的直觀聯(lián)想并變?yōu)閲?yán)密的“數(shù)”，又要由“數(shù)”的抽象聯(lián)想到“形”的直觀。“形”與“數(shù)”相依的基本思路是，看“形”思“數(shù)”、見(jiàn)“數(shù)”想“形”。實(shí)質(zhì)就是依“數(shù)”化“形”、依“形”變“數(shù)”的結(jié)合。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法主要有三個(gè)步驟：一是通過(guò)坐標(biāo)系統(tǒng)的建立，引入?yún)⒆兞?，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解；二是轉(zhuǎn)化；三是構(gòu)造，即構(gòu)造幾何模型，構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造一個(gè)圖形。
　　三、學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想形成的認(rèn)知心理
　　現(xiàn)代認(rèn)知心理理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)認(rèn)知的心理過(guò)程。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的特征之一。借助心理表征理論對(duì)“數(shù)”抽象和“形”表征進(jìn)行區(qū)分，并拓展到心理表征領(lǐng)域，“數(shù)形結(jié)合”其實(shí)包括兩種信息加工過(guò)程：選擇與轉(zhuǎn)換，即“數(shù)”和“形”的選擇與轉(zhuǎn)換。構(gòu)成認(rèn)知活動(dòng)的因素是多層次的和不同步的，因此，認(rèn)知的發(fā)展要經(jīng)歷一個(gè)由淺入深、多階段和多種水平的循環(huán)發(fā)展過(guò)程。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中就要設(shè)置認(rèn)知沖突，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，讓課堂煥發(fā)出生命活力，喚起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，在學(xué)生的腦海中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，促使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)知識(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣，提高學(xué)習(xí)效率。
　　四、學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想動(dòng)態(tài)可視化的形成過(guò)程
　　1．建立基礎(chǔ)性的數(shù)形結(jié)合的元素對(duì)應(yīng)關(guān)系
　　對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是從基礎(chǔ)開(kāi)始的，數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)也不例外?！皵?shù)”和“形”既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)形結(jié)合思想形成的基礎(chǔ)，打牢基礎(chǔ)，就能形成更為扎實(shí)的數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)和形認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)包括：實(shí)數(shù)與數(shù)軸的一一對(duì)應(yīng)，平面坐標(biāo)系點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，空間直角坐標(biāo)系和點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，幾何圖形點(diǎn)與字母的對(duì)應(yīng)，線段與長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)，用圖示表示行程的應(yīng)用問(wèn)題等。
　　2．將數(shù)和形通過(guò)信息技術(shù)顯現(xiàn)出來(lái)
　　通過(guò)信息技術(shù)工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，建立“數(shù)”和“形”的關(guān)聯(lián)，建立“數(shù)”和“形”的動(dòng)態(tài)直觀可視化表示方式，將圖形通過(guò)計(jì)算機(jī)在顯示屏上表示出來(lái)，不僅將數(shù)和形聯(lián)系起來(lái)，而且還將數(shù)與形的變化關(guān)系顯示出來(lái)，數(shù)的變化決定了圖形的變化以及如何變化，圖的變化聯(lián)系著數(shù)的參數(shù)變化，將圖動(dòng)態(tài)調(diào)控漸變，整個(gè)過(guò)程數(shù)和形的關(guān)系一目了然。直觀形象地掌握函數(shù)的性質(zhì)，既包括宏觀的，也包括微觀的，還可以是整體的。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合是研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的極好方法。
　　3．建立數(shù)和形的互聯(lián)互依對(duì)應(yīng)關(guān)系
　　在頭腦中建立“數(shù)”和“形”的聯(lián)想和再現(xiàn)，由代數(shù)想圖形，或由圖形想代數(shù)符號(hào)，找到兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立數(shù)和形的聯(lián)系。數(shù)學(xué)本身就是由數(shù)和形組合的，通過(guò)數(shù)和形的直觀動(dòng)態(tài)可視過(guò)程，在頭腦中形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等的“字、數(shù)、形”結(jié)合體，也就是看到數(shù)，便能馬上想到形，看到形便能馬上想到數(shù)。頭腦中的數(shù)形還是可視和動(dòng)態(tài)的，形成一種條件反射式的數(shù)形結(jié)合體，力求體現(xiàn)數(shù)與形結(jié)合的基本思想，將“圖、式、文”這三種數(shù)學(xué)的最基本表現(xiàn)元素進(jìn)行分類(lèi)編排，組合搭配，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力以及文字、式子與圖形的轉(zhuǎn)換能力。
　　4．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中深化數(shù)形結(jié)合思想
　　在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，要想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；在研究圖形時(shí)，要利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題。在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀地容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。
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　?。ㄘ?zé)任編輯楊子）