摘 要:論文首先闡述了帶參IFS理論，然后分析了自然界中在風中樹的搖曳形態(tài)，根據(jù)IFS理論定義了3D分形樹的一般形式，然后確定仿射矩陣和參數(shù)，最后給出了一個四叉樹的IFS碼，并繪制了此3D分形樹在風中搖曳形態(tài)。

關(guān)鍵詞:分形樹 IFS 搖曳

中圖分類號:TP391\t\t文獻標識碼:A\t\t\t文章編號:1672-3791(2011)10(a)-0005-01

分形理論能很好地描述一大類復雜無規(guī)則的幾何對象，如蜿蜒曲折的海岸線，繁茂的樹木植物，起伏不定的山脈等，因此在自然景物的仿真繪制中得到了廣泛應(yīng)用。樹木一直是虛擬現(xiàn)實，GIS等領(lǐng)域的重要描述對象，而分形為人們表達樹木實體提供了很好的方法，因此近年來對分形樹的研究也逐漸成熟[1]。通常對分形樹的描述有遞歸算法、IFS算法和LS算法，其中由Bamsley提出的分形疊代系統(tǒng)IFS具有較大的影響力，在植物與樹木的計算機生成方面顯示出明顯的優(yōu)勢。近年來研究人員對IFS算法生成2D、3D樹進行了大量深入的研究，并對構(gòu)造分形3D樹的IFS碼的獲取提出了切實可行的方法，本文對原有的IFS算法提出了改進，利用改進的算法實現(xiàn)了3D樹的構(gòu)建，并實現(xiàn)了3D樹受不同方向不同風力影響而搖曳的各種形態(tài)。

1 帶參IFS理論

1.1 疊代函數(shù)系統(tǒng)IFS

一個疊代函數(shù)系統(tǒng)由一個完備的度量空間(X，d)和一個有限的壓縮映射集及其相應(yīng)得壓縮因子，n=1，2，…N所組成，因此IFS可表示為{X;，n=1，2，…，N}，其壓縮因子便是S=MAX{;n=1，2，…N}。

1.2 帶凝聚的IFS

設(shè){}為具有壓縮因子的IFS，如果定義變換為:，，，則稱為凝聚變換，C為凝聚集，則{}稱為帶凝聚的IFS[2]。

1.3 帶參量的IFS

設(shè)(X，d)是度量空間，{}是一個帶凝聚的IFS，令:是以為壓縮因子的壓縮映射族，亦即對每個固定的是X上的一個壓縮映射，對每一個固定的W在P上是連續(xù)的，則W的不動點連續(xù)地依賴于p，相應(yīng)地，我們稱此時的IFS為帶參量的IFS。

2 搖曳的3D分形樹的實現(xiàn)算法

2.1 大自然中風中樹的特點

風向:較常見的風向一般是和地面近似平行的，即風向的方向向量可定義為{nx，0，nz}。

搖曳樹的特點:樹搖曳時，一般是和風向垂直的分支搖擺幅度大，而且幅度由外到內(nèi)逐漸減小;樹頂搖曳幅度大，由上到下幅度逐漸減小。樹枝搖曳的方向為風向。

2.2 帶依賴參數(shù)的變換矩陣的確定

根據(jù)樹枝搖曳的特點，風從(nx，0，nz)方向吹過來，整個樹身近似于繞直線旋轉(zhuǎn)，同時兩邊的樹枝的搖擺可看作近似于繞Y軸小幅度旋轉(zhuǎn)。這里為保持更加真實性，要求:(1)旋轉(zhuǎn)幅度不要過大;(2)樹頂影響最大，往下影響逐漸減小，我們可采用不同階段的風力因子來控制。

根據(jù)IFS思想，3D樹的主枝到分枝的生長，可近似認為由主干繞過樹根(原點)的向量為(x，0，y)直線作旋轉(zhuǎn)變換，再進行壓縮、平移變換而成。其中仿射變換的形式可簡寫為，其中為壓縮因子，為仿射變換矩陣，為平移量?；贗FS思想，我們可定義一顆3D分形樹為:，在這里，r的三個分量分別代表x軸，y軸，z軸方向的偏移量，、和分別是主枝依次繞x軸，y軸，z軸的旋轉(zhuǎn)角度。設(shè)3D樹的變換矩陣分別為:分枝偏移量矩陣，繞x軸角度矩陣，繞y軸角度矩陣，繞z軸角度矩陣。求的逆變換分別為，，，根據(jù)分形樹定義有。 、角和依據(jù)我們的需要而定(即希望分枝的形態(tài))，此時的為無風時的變換矩陣，為了加入樹頂向風向搖曳特征，我們設(shè)風向為，風力為，則加入?yún)?shù)后的為: 當然，還要加入和風向近似垂直的兩側(cè)樹枝向風向方向擺動，兩側(cè)樹枝和風向越接近垂直擺動幅度越大，此時可看作樹枝繞Y軸旋轉(zhuǎn)，而且兩側(cè)樹枝旋轉(zhuǎn)方向相反。設(shè)樹枝當前向量為，風向為，則同風向向量L垂直的向量為，計算向量與樹枝向量的夾角余弦:，的范圍為:，當為時，即樹枝與風向相同時影響最小，當為0或時影響最大。

2.3 IFSP碼的確定

通常獲取二維IFS碼所依據(jù)的是Barnsley的拼貼定理，即:設(shè)是一組IFS碼，壓縮比為C，e是任意小的正數(shù)，T為上給定的邊界閉合的子集，假設(shè)已選定，使得，那么。這里，B為該IFS的吸引子;h為Hausdorff距離，同樣將此定理的應(yīng)用擴展到三維空間，依此來判斷由一個3D-IFS經(jīng)連續(xù)變換所產(chǎn)生的吸引子與給定的初始集的相似程度，三維空間上的仿射變換的形式可簡寫為。所以確定一組IFS碼，就是確定這組壓縮映射中每一個的變換系數(shù)和。在帶參IFS中，我們最終也是要確定仿射變換的變換系數(shù)，由于我們加入的參數(shù)可表示的變換系數(shù)，所以我們用參數(shù)代替的系數(shù)作IFS碼。由本文前面所論述，我們可確定IFS碼包括:分枝繞X軸的旋轉(zhuǎn)角度，繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角度，X方向上的壓縮因子，Y方向上的壓縮因子，Z方向上的壓縮因子，風力影響因子，仿射變換的概率，X方向上的偏移量，Y方向上的偏移量，Z方向上的偏移量。

3 圖形繪制實例

根據(jù)上述思想，制作一個四叉樹，初始化樹干的方向為(0，1，0)。要注意的是以上一項為風力風力影響因子，它控制樹的每個部位受風力的影響力，從數(shù)值可以看出，樹的上部的值為0.6，即受風力影響最大，旁枝分別為0.45，0.45，0.35，0.25，樹干下部受風力影響最小為0.1。

4 結(jié)果分析

從實驗結(jié)果可以看出:(1)通過修改樹枝旋轉(zhuǎn)的角度可以有目的的改變樹的形態(tài)。(2)通過改變風向和風力可以控制樹的搖曳形態(tài)。由此，本文利用分形算法模擬了一個樹的多種形態(tài)。

參考文獻

[1]\t趙欣，林和平．三維分形樹木模型在3D GIS中的應(yīng)用[J]．吉林大學學報，2003，21(3):307～311.

[2]\t李水根，吳紀桃．分形與小波[M]．北京:科學出版社，2002.

[3]\t孫家廣，等．計算機圖形學[M].北京:清華大學出版社，1998.