王世芳，吳 濤，鄧永菊，戴 偉

（1.湖北第二師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，武漢 430205；2.武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430074）

隨機(jī)分布樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)滲流特性的分形研究

王世芳1＊，吳 濤2，鄧永菊1，戴 偉1

（1.湖北第二師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，武漢 430205；2.武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430074）

基于Darcy定律和Hagen－Poiseuille方程，應(yīng)用分形理論研究了母管直徑分布具有分形分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的滲流特性，得到了具有隨機(jī)分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)滲透率的解析表達(dá)式.研究結(jié)果表明：通過具有隨機(jī)分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的流量與壓力梯度之間呈線性變化關(guān)系；其滲透率隨分形維數(shù)Df和孔隙率φ的增加而增加，隨長(zhǎng)度比的增加而減小.

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)；滲透率；Darcy定律；壓力梯度

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)是自然界一種常見網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在生物工程、石油開采工程、材料科學(xué)工程、微電子器件冷卻系統(tǒng)工程等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，因此樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)輸運(yùn)特性的研究引起眾多學(xué)者的關(guān)注［1-5］.

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的研究始于1926年生理學(xué)家Murray對(duì)于血管系統(tǒng)血液流動(dòng)優(yōu)化管道直徑比為2－1／3的提出［6-7］.Chen等人［8］提出了一個(gè)三維樹狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)微通道散熱器熱流體動(dòng)力學(xué)模型，他們的研究結(jié)果表明樹狀網(wǎng)絡(luò)的微通道散熱器在散熱和壓降損失等方面將比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有更大的優(yōu)勢(shì).Xu和 Yu［9-10］采用兩種不同的方法研究了“點(diǎn)到線”型和“點(diǎn)到圓”型樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的滲流特性，還討論了迂曲度對(duì)網(wǎng)絡(luò)滲流特性的影響，但他們只研究了單個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)滲流特性.Wang和Yu［11］研究了非牛頓冪律流體在單個(gè)Y－Shape樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)中的滲流特性，分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)滲透率的影響.Li和Yu［12］研究非牛頓Bingham流體在單個(gè)規(guī)則樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)中啟動(dòng)壓力梯度，討論了網(wǎng)絡(luò)微結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)啟動(dòng)壓力梯度的影響.然而自然界中的分叉網(wǎng)絡(luò)一般都是不規(guī)則的，且大部分是隨機(jī)分布，僅僅用規(guī)則的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)來分析滲流特性往往是不夠的.本文以低滲透油藏中可能存在的裂縫網(wǎng)絡(luò)為研究背景，將母管直徑分布具有分形分布的“點(diǎn)到線”型樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)嵌入到多孔介質(zhì)母體材料中，形成復(fù)合材料.假設(shè)這些分叉網(wǎng)絡(luò)在分叉過程中沒有重疊現(xiàn)象，分叉網(wǎng)絡(luò)具有相同的直徑比和長(zhǎng)度比.為了研究問題的方便，本文忽略了母體介質(zhì)對(duì)滲流的影響，主要研究了母管直徑具有分形分布樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的滲流特性.

1 母管直徑具有分形分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的流量

單個(gè)類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)一般是由初級(jí)到末級(jí)組成，設(shè)其最大分叉級(jí)數(shù)為m，每個(gè)母分支可以分成n個(gè)子分叉.圖1是單個(gè)“點(diǎn)到線”型樹狀分形分叉網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖［13］，第k級(jí)分叉的長(zhǎng)度和直徑分別為lk和dk，分叉角度為θ，為了描述分叉網(wǎng)絡(luò)的幾何結(jié)構(gòu)，定義尺度因子γk和βk分別表示相鄰兩級(jí)分叉子管的長(zhǎng)度比和直徑比：

圖1 點(diǎn)到線型樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)示意圖［13］Fig.1 Fractal－like tree network model between apoint and a straight line［13］

如果單個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)具有分形特征，必須要求分叉長(zhǎng)度比與直徑比保持常數(shù)［1］，即：γk＝γ和βk＝β.第k級(jí)分叉管道的總數(shù)為nk，其長(zhǎng)度與直徑分別為［1］：

式中，l0和d0分別表示第0級(jí)管道的長(zhǎng)度和直徑.對(duì)于二分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，分叉數(shù)n＝2.

圖2 隨機(jī)分布的類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)嵌入到母體多孔介質(zhì)中（忽略母體滲流的影響）Fig.2 A porous matrix embedded with randomly distributed Y－shaped fractal－like tree networks（The seepage of matrix is ignored）

圖2為母管直徑具有分形分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)嵌入到母體多孔介質(zhì)中形成復(fù)合介質(zhì)示意圖，這里忽略了母體的滲流影響.根據(jù)Hagen－Poiseuille方程，通過第k級(jí)分叉單管的流量為

式中，Δpk為第k級(jí)單管兩端的壓強(qiáng)差，μ為牛頓流體的粘度.由（4）式可以得到流過第k級(jí)所有分叉管道的流量：

根據(jù)流體的質(zhì)量守恒定律，第k級(jí)分叉網(wǎng)絡(luò)的流量q（d0）也是通過單個(gè)樹狀分形分叉網(wǎng)絡(luò)的總流量.由（5）式可得第k級(jí)分叉網(wǎng)絡(luò)兩端的壓強(qiáng)降為：

如果忽略網(wǎng)絡(luò)分叉處的局部損失，網(wǎng)絡(luò)的總壓降Δp可近似等于各級(jí)壓降Δpk之和：

將方程（3）、（5）和（6）代入（7）式，得到分叉網(wǎng)絡(luò)的總壓降為：

根據(jù)方程（8），則流過母管直徑為d0的單個(gè)分叉網(wǎng)絡(luò)的流量重新改寫為：

假設(shè)分叉網(wǎng)絡(luò)的母管直徑滿足分形分布，則母管道直徑分布在d0和d0＋d（d0）區(qū)間內(nèi)的母管數(shù)目為：

根據(jù)Darcy定律：

式中，A和L0分別代表復(fù)合材料的橫截面積和直線距離長(zhǎng)度，L0可以由下式計(jì)算得［9］

將方程（11）（13）代入（12）式，得到隨機(jī)分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)嵌入到母體介質(zhì)形成的復(fù)合介質(zhì)的滲透率的分形解析表達(dá)式：

對(duì)于二分叉網(wǎng)絡(luò)（n＝2），在保證分叉網(wǎng)絡(luò)橫截面積守恒的前提下，即每一個(gè)母管分叉出兩個(gè)相鄰子管道的橫截面積均相等，得到直徑比大小為

類似于多孔介質(zhì)孔隙率的定義［14］，定義母管直徑具有分形分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)鑲嵌到多孔介質(zhì)中形成復(fù)合材料的孔隙率：

由上式可以看出復(fù)合材料無量綱滲透率k＋是分叉管道長(zhǎng)度比γ、分叉角θ以及孔隙率φ和分形維數(shù)Df的函數(shù)，該表達(dá)式不含任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，清楚地揭示了影響裂縫網(wǎng)絡(luò)滲透率的物理機(jī)制.

由此可以看出流量和滲透率對(duì)最大母管直徑非常敏感.當(dāng)m＝0或γ＝0時(shí)，每個(gè)樹狀分形分叉網(wǎng)絡(luò)只有第0級(jí)單管，此時(shí)裂縫網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)于由一束獨(dú)立的、不同大小尺寸的平行直圓毛細(xì)管組成的，此時(shí)裂縫網(wǎng)絡(luò)流量和滲透率的表達(dá)式與Yu和Cheng［15］給出的結(jié)論一致.

圖3顯示了基于方程（19）在不同最大母管直徑下，通過裂縫網(wǎng)絡(luò)的流量與壓力梯度之間的關(guān)系.在總分叉級(jí)數(shù)m＝10、分叉角θ＝、分形維數(shù)Df＝1.1、孔隙率φ＝0.4、粘度μ＝1Pa·s下，通過裂縫網(wǎng)絡(luò)的流量隨壓力梯度的增加而線性增加；當(dāng)長(zhǎng)度比γ＝0.6和直徑比β＝時(shí)，分叉網(wǎng)絡(luò)的最大母管直徑越大，通過具有分形分布樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的流量也越大.

圖3 在不同最大母管直徑下流量與壓力梯度之間的關(guān)系Fig.3 The flow rate versus the pressure gradient at the different maximum diameter of the 0th branching level

圖4顯示裂縫網(wǎng)絡(luò)無量綱滲透率隨孔隙率的變化趨勢(shì)曲線.在m＝10，n＝2，θ＝，μ＝1Pa·s，γ＝0.6，β＝和Df＝1.1時(shí)，裂縫網(wǎng)絡(luò)無量綱滲透率隨孔隙率的增加而逐漸增加，這也與物理事實(shí)相符合.

圖4 無量綱滲透率與孔隙率的關(guān)系曲線Fig.4 The dimensionless permeability versus the porosity

圖5 在不同的分形維數(shù)下，裂縫網(wǎng)絡(luò)無量綱滲透率隨長(zhǎng)度比的變化趨勢(shì)圖Fig.5 The dimensionless permeability versus the length ratio

圖5顯示了裂縫網(wǎng)絡(luò)無量綱滲透率隨長(zhǎng)度比的變化趨勢(shì)圖，其中參數(shù)為m＝10，n＝2，θ＝π／4，β＝從該圖可以看出，無量綱滲透率隨長(zhǎng)度比的增加而減小，最后逐漸趨近于0，這是因?yàn)榱黧w流動(dòng)阻力隨著長(zhǎng)度的增加而增加.

2 結(jié)論

本文基于分形理論與技術(shù)，將母管直徑具有分形分布的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)嵌入到母體材料中形成復(fù)合材料，在不考慮母體材料的滲透率情況下，得到了通過裂縫網(wǎng)絡(luò)的流量以及滲透率的分形表達(dá)式.結(jié)果表明通過裂縫網(wǎng)絡(luò)的流量與滲透率均對(duì)最大母管直徑很敏感.裂縫網(wǎng)絡(luò)滲透率k＋是最大母管直徑d0max、長(zhǎng)度比γ以及孔隙率φ和分形維數(shù)Df的函數(shù)，不含任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；且滲透率隨分形維數(shù)Df和孔隙率φ的增加而增加，隨長(zhǎng)度比的增加而減小.

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Analysis on seepage of the randomly distributed fractal－like tree network

WANG Shifang1，WU Tao2，DENG Yongju1，DAI Wei1
（1.School Physics and Electronic Information，Hubei University of Education，Wuhan 430205；2.School of Science，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430074）

Based on Darcy's law and Hagen－Poiseuille equation，the flow characteristics of the randomly distributed fractal－like tree network with the diameter d0of the 0th branching level are investigated by use of fractal theory，which follows the fractal scaling law.An analytical expression for permeability of the randomly distributed fractal－like tree network is presented.The results show that the flow rate for the randomly distributed fractal－like tree network scales linearly with pressure gradient.The dimensionless permeability for the randomly distributed fractal－like tree network increases with the increase of fractal dimension and porosity and decreases with the increase of the length ratio.

fractal－like tree network；permeability；Darcy law；pressure gradient

O357

A

1000－1190（2012）04－0406－04

2011－12－05.

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)項(xiàng)目（B20113002）.

＊E－mail：flatime＠sina.com.