程和界 楊樹宏

(湖北省翔宇教育集團(tuán)監(jiān)利中學(xué) 湖北 荊州 433300)

求解含彈性勢(shì)能的試題是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，很多考生患有恐簧癥.如何求解含彈性勢(shì)能的試題，值得研究.選擇振子運(yùn)動(dòng)的典型過(guò)程，是治療恐簧癥的有效方法[1，2].下面舉例說(shuō)明.

1 選擇彈力做功為零的過(guò)程求解彈性勢(shì)能的大小可消失

【例1】如圖1所示，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連,B靜止在水平導(dǎo)軌上,彈簧處在原長(zhǎng)狀態(tài).另一質(zhì)量與B相同的滑塊A，從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行.當(dāng)A滑過(guò)距離l1時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A，B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連.已知最后A恰好返回到出發(fā)點(diǎn)P并停止.滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最大形變量為l2.求A從P點(diǎn)出發(fā)時(shí)的初速度v0.

圖1

解析：如果選擇振子B從Q點(diǎn)經(jīng)2l2回到Q點(diǎn)的過(guò)程求解，由于彈簧的彈力做功為零，彈性勢(shì)能也為零，則方程中不出現(xiàn)彈性勢(shì)能這一項(xiàng)，可達(dá)到彈性勢(shì)能的大小消失的目的.再者，如果采用按運(yùn)動(dòng)過(guò)程的先后列方程，則每列一個(gè)方程新增一個(gè)未知數(shù)，越做越?jīng)]有信心.如果采用逆向思維列方程(從最后的過(guò)程到最初的過(guò)程列方程)，每列一個(gè)方程就會(huì)新增一個(gè)已知量，則越做越有信心.

對(duì)滑塊A從Q點(diǎn)恰好返回到出發(fā)點(diǎn)P并停止的過(guò)程，設(shè)滑塊A，B分離時(shí)的速度為v3，根據(jù)動(dòng)能定理有

彈簧振子從Q點(diǎn)經(jīng)2l2又回到Q點(diǎn)，滑塊A，B沒(méi)有分離，速度一直相同.在這一過(guò)程中，振子的位移為零，彈性勢(shì)能也為零.設(shè)碰撞時(shí)滑塊A，B的共同速度為v2，根據(jù)動(dòng)能定理有

由于碰撞時(shí)間極短，設(shè)碰撞前滑塊A的速度為v1，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

mv1=2mv2

滑塊A從P到Q，根據(jù)動(dòng)能定理有

得

【例2】一個(gè)勁度系數(shù)為κ=800 N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質(zhì)量均為m=12 kg的物體A和B.將它們豎直靜止地放在水平地面上，如圖2所示.在物體A上施加一豎直向上的變力F，使物體A從靜止開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng).當(dāng)t=0.4 s時(shí),物體B剛離開地面(設(shè)整個(gè)勻加速過(guò)程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，取g=10 m/s2).求此過(guò)程中外力F所做的功.

圖2

解析：本題的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是，彈簧在外力F的作用下，由壓縮變?yōu)樯扉L(zhǎng)，且彈簧振子的壓縮量與伸長(zhǎng)量相同，彈性勢(shì)能相同.如果選擇彈簧由壓縮變?yōu)樯扉L(zhǎng)的全過(guò)程求解，彈簧的彈力先做正功，后做負(fù)功，彈簧的彈力做功為零，方程中可不出現(xiàn)彈性勢(shì)能這一項(xiàng)，達(dá)到彈性勢(shì)能的大小消失的目的.

設(shè)開始時(shí)彈簧的壓縮量為x1， 對(duì)物體A

κx1=mAg

(1)

設(shè)物體B剛要離開地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2， 對(duì)物體B

κx2=mBg

(2)

因?yàn)?/p>

mA=mB=m

代入式(1)、(2)得

x1=x2

在整個(gè)過(guò)程中物體A上升的位移為

代入數(shù)據(jù)得

s=0.3 m

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

得物體A的加速度

設(shè)物體A的末速度為vt，則由

得

設(shè)此過(guò)程中外力F做功為W，根據(jù)動(dòng)能定理

2 選擇彈力做功相等的過(guò)程求解彈性勢(shì)能的增量可替代

【例3】如圖3所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連.彈簧的勁度系數(shù)為κ.A,B都處于靜止?fàn)顟B(tài).一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向.現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放.已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升.若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.

圖3

解析：本題是前后兩個(gè)過(guò)程;每一次彈簧都由壓縮變?yōu)樯扉L(zhǎng)，彈力做功相等，彈性勢(shì)能的變化相同，彈性勢(shì)能的增量可替代.

開始時(shí)，物體A,B靜止.設(shè)彈簧壓縮量為x1，有

κx1=m1g

(1)

掛上C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，物體A向上運(yùn)動(dòng).設(shè)物體B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x2，則有

κx2=m2g

(2)

物體B不再上升，表示此時(shí)物體B，A和C的速度均為零，C已降到最低點(diǎn).由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢(shì)能的增加量為

ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

(3)

物體C換成D后，當(dāng)物體B剛離地時(shí)彈簧彈性勢(shì)能的增量與前一次相同.由于B的合外力為零，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變，因此vB=0.由能量關(guān)系得

(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

由式(1)、(2)、(5)得

【例4】質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接.彈簧下端固定在地上.平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x0,如圖4所示.一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng),但不粘連.它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng).已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn).若物塊質(zhì)量為2m,仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度.求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離.

圖4

解析：本題是前后兩個(gè)過(guò)程，每一次彈簧都由壓縮變?yōu)樵L(zhǎng)，彈力做功相等，彈性勢(shì)能的變化相同，彈性勢(shì)能的增量可替代.

設(shè)物塊與鋼板碰撞前速度為v0，由機(jī)械能守恒定律

則有

(6)

設(shè)物塊與鋼板碰撞后速度為v1，由動(dòng)量守恒有

mv0=2mv1

(7)

設(shè)剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為EP，根據(jù)條件，當(dāng)它們一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈性勢(shì)能為零.這時(shí)物塊與鋼板的速度為零.由機(jī)械能守恒則有

(8)

設(shè)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后速度為v2，則有

2mv0=3mv2

(9)

剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為EP′，當(dāng)它們一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧無(wú)形變，彈性勢(shì)能為零，仍繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng).設(shè)此時(shí)速度為v，由機(jī)械能守恒定律，得

(10)

由于彈簧的壓縮量相同， 故有

EP′=EP

(11)

當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力作用，加速度為g.一過(guò)O點(diǎn)，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物塊與鋼板不粘連，故在O點(diǎn)物塊與鋼板分離，分離后,物塊以速度v豎直上升，則由以上各式解得，物塊向上運(yùn)動(dòng)所到最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為

總之，對(duì)含有彈性勢(shì)能的求解問(wèn)題，只要選擇彈簧振子運(yùn)動(dòng)的典型過(guò)程，彈簧的彈力做功為零,彈力做功相等，讓彈性勢(shì)能為零或者彈性勢(shì)能等量替代，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理求解，好像沒(méi)有彈簧一樣，就能達(dá)到治療恐簧癥的目的.

參考文獻(xiàn)

1 人民教育出版社物理室編著.高級(jí)中學(xué)物理課本(第二冊(cè)).北京：人民教育出版社，2003

2 邢新山，丁汝輝，等.十年高考分類解析及命題趨勢(shì)：物理(第一版).延邊：延邊大學(xué)出版社，2004