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      數(shù)學(xué)科學(xué)在流域水環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用研究

      2012-02-26 00:48:18欒衛(wèi)中孟慶華
      東北水利水電 2012年6期
      關(guān)鍵詞:行列式概率論長春

      劉 巍,欒衛(wèi)中,孟慶華

      (1.松遼流域水資源保護局,吉林 長春 130021;2.大唐長春第二熱電有限責(zé)任公司,吉林 長春 130021;3.松遼水利委員會綜合服務(wù)中心,吉林 長春 130021)

      數(shù)學(xué)科學(xué)在流域水環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用研究

      劉 巍1,欒衛(wèi)中2,孟慶華3

      (1.松遼流域水資源保護局,吉林 長春 130021;2.大唐長春第二熱電有限責(zé)任公司,吉林 長春 130021;3.松遼水利委員會綜合服務(wù)中心,吉林 長春 130021)

      本文選擇了數(shù)學(xué)科學(xué)有關(guān)門類,如:線性代數(shù)、集合論、概率論、模糊數(shù)學(xué)等,與監(jiān)測科學(xué)進行跨學(xué)科地交叉研究,從理論與實踐的結(jié)合上證明,數(shù)學(xué)就是監(jiān)測學(xué)的方法論基礎(chǔ)。在應(yīng)用技術(shù)方面有創(chuàng)新,對流域水環(huán)境監(jiān)測而言,價值巨大,意義深遠。

      數(shù)學(xué)科學(xué);水環(huán)境;監(jiān)測;應(yīng)用研究

      數(shù)學(xué)涉及一切事物,關(guān)聯(lián)所有領(lǐng)域,特別是水環(huán)境監(jiān)測學(xué)中,如果沒有數(shù)學(xué)科學(xué)的應(yīng)用,就沒有質(zhì)量,沒有價值。因為水環(huán)境監(jiān)測本身就是用量化的概念去研究、掌握環(huán)境質(zhì)量現(xiàn)狀、變化規(guī)律及發(fā)展趨勢,所以,數(shù)學(xué)科學(xué)就是它的方法論基礎(chǔ)。大量科技文獻證明:有下列一些數(shù)學(xué)科學(xué)門類,在水環(huán)境監(jiān)測學(xué)中必不可少,非用不可。當然是選擇運用。

      1 線性代數(shù)

      在水環(huán)境監(jiān)測中的點位設(shè)計、質(zhì)量評價、預(yù)測預(yù)報及監(jiān)測管理中,有很多問題歸結(jié)到求解一個線性方程的問題,常用的數(shù)學(xué)知識有:“行列式”、“向量”與“向量空間的概念”、“矩陣”概念等等。

      1.1 行列式及其性質(zhì)

      線性方程組求解時,往往要用到“行列式”這個數(shù)學(xué)工具。其要求是:

      1)對于給定的2個二元線性方程所構(gòu)成的線性方程組:

      經(jīng)消元法及“交差相乘相減”處理后,可得二行二列式,即:

      2)對于含有n個n元線性方程的方程組,即:

      3)行列式有如下性質(zhì):

      某一行的各元素是二項之和,則可將行列式改成兩個行列式之和:

      任一行(或列)中各元素與其代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式的值,任一行(或列)的元素與另一行(或列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于0:

      1.2 向量概念

      在解析幾何中關(guān)于向量概念的基礎(chǔ),根據(jù)水環(huán)境監(jiān)測問題的需要,及其他重要的環(huán)境問題一樣,往往需要用更多的“量”來刻畫同一現(xiàn)象或問題,而超過三維空間就無法給予幾何描述,為此,定義:把n個數(shù)寫成一個有序的數(shù)組(a1,a2,…,am),則稱此數(shù)組為 n 維空間的一個 n 維向量,并用a表示。

      向量組的線性相關(guān)性判斷是:

      1)如果向量組a1,a2,…,an中有一部分與向量線性相關(guān),則全組也線性相關(guān)。

      2)如果向量組 a1,a2,…,an線性無關(guān),則其中任一部分向量也線性無關(guān)。

      3)如果在 m(m>1)個向量 a1,a2,…,am中有一個是零向量,則這m個向量線性相關(guān)。

      1.3 矩陣概念

      矩陣概念在水環(huán)境監(jiān)測的布點、數(shù)據(jù)分析、質(zhì)量評價中用的很多,尤其是聚類分析,是一個有力的工具。矩陣的定義為:由m×n個數(shù)按一定次序排列的有m行n列的表,即:

      稱為矩陣,其中aij為矩陣的元素。

      矩陣的運算要點是:

      1)加法:若矩陣A的行數(shù)分列數(shù)分別與矩陣B相同,即:

      2)乘數(shù):設(shè)有

      3)乘法:只有矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)時,才有矩陣的乘法。設(shè)有:

      4)交換律:A+B=B+A

      5)結(jié)合律:A+(B+C)=(A+B)+C

      2 集合論

      集合(集)是近代數(shù)學(xué)最基本的概念,凡具有某一同性質(zhì)的可以互相區(qū)別的事物的全體被當作一個整體來考慮時,就是一個集合。如,自然環(huán)境質(zhì)量和社會環(huán)境質(zhì)量構(gòu)成的集合就是整體環(huán)境質(zhì)量;如水體、空氣、固體廢棄物、生物等環(huán)境要素的環(huán)境質(zhì)量所構(gòu)成的集合就是自然環(huán)境質(zhì)量;化學(xué)污染、物理污染、生物污染所構(gòu)成的集合就是環(huán)境污染……構(gòu)成集合的事物叫做集合元素,給定一個集合時,必須說清元素的特征,即給出判別的準則。元素和集合的表示方法常用的是A={0,1,2,…,m},表示集合A是0和前m個自然數(shù)所組成,其有m+1個元素;B={1,2,3,…,m}表示B是由自然數(shù)組成的集合。一般稱A為有限集合,B為無限集合,集合的初等運算性質(zhì)有:冪等律,A∪A=A,A∩A=A;排中律,A∩A=φ;交換律,A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;結(jié)合律,A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;分配律,A∪(B∪C)=(A∪B)∩(A∩C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);吸收律,A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;空集性質(zhì),A∩φ,A∪φ=A。

      3 概率論

      概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)——數(shù)學(xué)科學(xué)的重要分支學(xué)科的基礎(chǔ),關(guān)于概率論的基本理論,在水環(huán)境監(jiān)測中用得十分普遍。如果說統(tǒng)計學(xué)是從樣本到總體的“推理學(xué)”,那么,概率論就是從總體到樣本的“推理學(xué)”。在通常的水環(huán)境監(jiān)測中要具備的概率論知識有:

      3.1 排列與組合概念

      在n個不同元素中任選r個(不許重復(fù),r≤n)按一定順序排成一列,稱為選排列,其排列總數(shù)為:

      另有全排列、可重復(fù)的排列、同物排列等,分別表示為:

      從n個不同元素中任取r個(不許重復(fù),r≤n)不計順序構(gòu)成一組,稱為從n個不同元素中取r個的一個組合,組合數(shù)為:

      3.2 隨機試驗和隨機事件概念

      概率論中的這一概念與集合論中的集合有許多相似之處,隨機試驗的全體基本事件組成的集合即為“基本事件空間”,隨機事件可稱為該空間的一個子集,隨機事件之間的關(guān)系及事件的運算和集合論中的子集相同,并、交、差、補等基本相似。若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生,則稱事件A包含于事件B,記為A?B或B?A;若B?A且A?B,則為A事件與B事件相等,記為A=B;同理,和、積、差分別記為:A+B(或 A∪B)、AB(或 A∩B)、A-B;互不相容事件記為A∩B=φ;對應(yīng)事件記為B=A。

      3.3 概率的定義

      若隨機事件A在n次試驗中出現(xiàn)K次,則稱K為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率,記為fn(A)=,若隨機試驗的基本事件空間僅含有限個基本事件,而且基本事件出現(xiàn)的可能性相等,則稱為古典型試驗。A的概率為:P(A)=。

      3.4 隨機變量與分布函數(shù)概念

      定義:如果每次試驗的結(jié)果可以用一個ξ來表示,而且對任何實數(shù)X,“ξ<X”有著確定的概率,則稱ξ是隨機變量,依試驗結(jié)果的不同性質(zhì),又可分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量。

      1)離散型隨機變量最重要的分布規(guī)律有。

      卜阿松分布:ξ-P(λ)。

      2)連續(xù)隨機變量的主要分布。

      均勻分布:

      3.5 隨機變量的數(shù)學(xué)特征

      4 模糊數(shù)學(xué)

      模糊數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有“模糊性”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。在水環(huán)境監(jiān)測中,常常要用模糊數(shù)學(xué)方法進行聚類分析(即模糊聚類),其要點是:

      1)設(shè)U是需要被分類的對象全體(集合),即因素集。R為相似矩陣,R的元素rij應(yīng)滿足:0≤rij≤1。

      設(shè)被分類的對象Uj由一組數(shù)據(jù)Xi1,Xi2,……,Xim來表示。ri1表示Ui和U1的相似程度構(gòu)成相似矩陣R。

      2)聚類。能夠進行聚類分析的模糊矩陣R必須是等價矩陣。即需同時滿足自反性、對稱性和傳遞性。所以,需采用傳遞閉包的方法對矩陣R進行改造。

      模糊矩陣相乘表示了兩個模糊關(guān)系合成,有:

      當R2n=Rn時,矩陣Rn則具有傳遞性并滿足等價關(guān)系,其中,模糊矩陣的乘法與普通矩陣乘法相比較,運算過程一樣,對具有等價關(guān)系的矩陣R采用取入截集的方法將模糊矩陣變?yōu)槠胀ㄟ壿嬀仃嚕M行聚類。當入取值從1降到0時,分類由細變粗,逐步歸并,形成一個動態(tài)的聚類圖。

      5 數(shù)學(xué)模型在水環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用

      所謂數(shù)學(xué)模型系指使用數(shù)學(xué)符號、函數(shù)和關(guān)系式等,抽象地表示其有關(guān)主題、程序或系統(tǒng)。

      水環(huán)境數(shù)學(xué)模型以仿真、副近客觀實際為目標,以地面水環(huán)境為重點,以完善的理論和方法,突出實際應(yīng)用為特點。這里必須強調(diào)的是:

      1)在地表水體模型中,全面、系統(tǒng)地建立水庫、湖泊中有機污染物和富營養(yǎng)化物質(zhì)總磷、三氮、重金屬三態(tài)(溶解態(tài)、懸浮態(tài)、底泥態(tài))遷移轉(zhuǎn)化模型,考慮到分子擴散、系統(tǒng)擴散,底泥、水溫和生物對濃度的影響,建立了總磷遷移轉(zhuǎn)化的三維水動力——水質(zhì)——生態(tài)——水溫耦合模型;還建立了地表水——地下水聯(lián)合水質(zhì)模型。

      2)在地下水模型中吸收了國內(nèi)外最新研究成果,加強了海水入侵,熱遷移及非飽和帶的污染物質(zhì)遷移問題。

      3)隨著水環(huán)境問題的日益增多,在解決這些問題中,全面、系統(tǒng)、深入定量化地進行水資源和水質(zhì)模擬、預(yù)測、管理研究成為關(guān)注焦點。水環(huán)境數(shù)學(xué)模型在近20~30年內(nèi)已經(jīng)發(fā)展成為一門重要的學(xué)科,在科研、生產(chǎn)、工程等領(lǐng)域均起到重要的指導(dǎo)作用,還被應(yīng)用于水污染治理與規(guī)劃之中。

      X832

      A

      1002-0624(2012)06-0025-04

      2012-03-16

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