梁 斌，項(xiàng) 爽

(河南科技大學(xué)規(guī)劃與建筑工程學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 前言

功能梯度(FG)圓柱殼作為一種由新興材料制成的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，憑借其耐高溫和良好的幾何特性等優(yōu)點(diǎn)，逐步在航空、航天、船舶等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，繼而推動(dòng)了很多對(duì)各種圓柱殼的固有頻率及自由振動(dòng)特性的研究。文獻(xiàn)［1］用Love的一階理論來(lái)計(jì)算旋轉(zhuǎn)FG圓柱殼的固有頻率，研究了冪指數(shù)、x和θ方向的波數(shù)、厚度－半徑比對(duì)簡(jiǎn)支旋轉(zhuǎn)FG圓柱殼固有頻率的影響;文獻(xiàn)［2］用有限元分析軟件ANSYS對(duì)增強(qiáng)型夾層圓柱殼的自由振動(dòng)進(jìn)行了分析;文獻(xiàn)［3］研究了邊界條件對(duì)旋轉(zhuǎn)去頂錐形多層圓柱殼的自由振動(dòng)的影響;文獻(xiàn)［4］利用Love一階理論，以梁函數(shù)為軸向模態(tài)關(guān)系，研究了邊界條件對(duì)多層圓柱殼的固有頻率的影響;文獻(xiàn)［5］采用Runge-Kutta法和多尺度法對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線(xiàn)性振動(dòng)特性進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)［6］基于經(jīng)典Love薄殼理論，采用Rayleigh-Ritz法分析了兩端簡(jiǎn)支邊界條件下FG圓柱殼的自振特性，并探討了體積分?jǐn)?shù)和材料組分對(duì)固有頻率的影響;文獻(xiàn)［7］研究了指數(shù)型體積分?jǐn)?shù)對(duì)FG圓柱薄殼振動(dòng)頻率的影響;文獻(xiàn)［8］對(duì)彈性邊界條件下圓柱殼的自由振動(dòng)進(jìn)行了分析;文獻(xiàn)［9］研究了不同邊界條件對(duì)FG圓柱殼固有頻率的影響;文獻(xiàn)［10］采用DQM方法分析了多種邊界條件下圓柱殼的自由振動(dòng)。由于功能梯度材料參數(shù)與空間坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)、其控制方程是變系數(shù)的，直接獲得解析解在數(shù)學(xué)上有諸多困難，相關(guān)研究文獻(xiàn)十分有限［11］。

本文采用Love一階殼體理論，建立應(yīng)變－位移、曲率－位移關(guān)系，用Rayleigh-Ritz法得出FG圓柱殼自由振動(dòng)固有頻率的特征方程，研究了S-S、F-S及C-C這3種不同邊界條件下殼體的固有頻率，從體積分?jǐn)?shù)、材料組分和邊界條件等因素探討對(duì)自由振動(dòng)的影響。

1 FG圓柱殼自由振動(dòng)的理論推導(dǎo)

功能梯度(FG)圓柱殼的平均半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為h，幾何外形如圖1所示。

用Rayleigh-Ritz法求FG圓柱殼的固有頻率，根據(jù)能量最小原理，得到Lagrange函數(shù)形式

FG圓柱殼的應(yīng)變能表示為

圖1 FG圓柱殼模型

式中，

Aij、Bij和Dij(i，j=1，2，6)分別為殼體的拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度;Qij(i，j=1，2，6)為折算剛度，

用Love一階殼體理論分別描述曲面應(yīng)變(e1，e2，γ)及曲面曲率(k1，k2，τ)與位移的關(guān)系如下

不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，F(xiàn)G圓柱殼的動(dòng)能表示為

式中，u、v、w分別表示x、θ、z方向的軸向、環(huán)向和徑向位移分量，

式中，N為冪率指數(shù)，其取值范圍為0≤N≤∞;彈性模量E、Poisson比μ和質(zhì)量密度ρ分別取決于構(gòu)成FG圓柱殼的不同材料組分。

假設(shè)位移函數(shù)u，v，w的形態(tài)形式對(duì)于空間變量x、θ及時(shí)間變量t來(lái)說(shuō)是分離的，

式中，A、B、C為振動(dòng)振幅;n為周向波數(shù);ω為固有角頻率。

取Lagrange函數(shù)關(guān)于振幅A、B、C的極值，得到3個(gè)聯(lián)立方程

導(dǎo)出振動(dòng)特征方程，用于求解固有頻率和模態(tài)

式中，αi(i=0，1，2，3)是常系數(shù)。由式(14)可得到3個(gè)固有頻率，取其中最小者為研究對(duì)象。

2 軸向形態(tài)關(guān)系及邊界條件

可以表達(dá)軸向形態(tài)關(guān)系的代數(shù)函數(shù)有很多，如梁函數(shù)、Fourier級(jí)數(shù)形式的三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等，它們都滿(mǎn)足殼兩端的邊界條件，本文采用的軸向形態(tài)關(guān)系為

式中，特征梁函數(shù)φ(x)［12］定義為

式中，bi(i=1，2，3，4)和λ與邊界條件有關(guān)。

圓柱殼的邊界條件可以表示為

3 算例與分析

將本文結(jié)果與已有文獻(xiàn)成果做對(duì)比，表1驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性和正確性。計(jì)算頻率參數(shù)時(shí)，殼體的各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo)為:h/R=0.01，L/R=20，E=2.050 98×1011N/m2，μ=0.3，ρ=8 900 kg/m3，p=1，m=1。

表2給出了文中所用FG圓柱殼的組分材料參數(shù)(T=300 K)。

表1 各項(xiàng)同性圓柱殼兩端簡(jiǎn)支時(shí)的頻率參數(shù)Ω=ωR ((1－μ2)ρ)/E對(duì)比分析

表1 各項(xiàng)同性圓柱殼兩端簡(jiǎn)支時(shí)的頻率參數(shù)Ω=ωR ((1－μ2)ρ)/E對(duì)比分析

n文獻(xiàn)［1］ 本文 誤差/% 1 0.016 102 0.016 101 0.00 2 0.009 387 0.009 378 0.00 3 0.022 108 0.022 103 0.02 4 0.042 096 0.042 094 0.00 5 0.068 008 0.068 007 0.00 6 0.099 730 0.009 729 0.00 7 0.137 239 0.137 238 0.00 8 0.180 527 0.180 527 0.00 9 0.229 594 0.229 593 0.00 10 0.284 435 0.284 435 0.00

表2 材料參數(shù)表

表3給出了材料組分為不銹鋼和氧化鋯時(shí)的殼體在F-S邊界條件下，通過(guò)改變體積分?jǐn)?shù)對(duì)FG圓柱殼固有頻率的影響。由表3可以看出:隨著體積分?jǐn)?shù)的不斷增大，F(xiàn)G圓柱殼的固有頻率也逐漸增大;但體積分?jǐn)?shù)從0.5變化到30，對(duì)殼體的固有頻率影響不顯著。

表3 不同體積分?jǐn)?shù)下FG圓柱殼的固有頻率(m=1，h/R=0.002，L/R=20)

表4給出了F-S邊界條件下，6組材料分別復(fù)合時(shí)，材料組分對(duì)固有頻率的影響。由表4可以看出:在相同邊界條件下，材料組分對(duì)殼體的固有頻率影響較大;且周向波數(shù)n越大，影響越顯著;其中鋁/氧化鋯組合的固有頻率最大，鈦合金/鎳組合的固有頻率最小。

表4 不同材料組分時(shí)FG圓柱殼的固有頻率(m=1，N=1，h/R=0.002，L/R=20)

表5給出了S-S、F-S及C-C這3種不同邊界條件對(duì)固有頻率的影響，由表5可以看出:邊界條件對(duì)固有頻率的影響很大，特別是在周向波數(shù)n≤3的情況下;又以C-C邊界條件下的的固有頻率最大，S-S邊界條件下的的固有頻率最小;它們有著相似的變化規(guī)律。

表5 不同邊界條件下FG圓柱殼的固有頻率(m=1，N=1，h/R=0.002，L/R=20)

4 結(jié)論

本文通過(guò)研究不同因素對(duì)FG圓柱殼固有頻率的影響，得出如下結(jié)論:(1)體積分?jǐn)?shù)、材料組分和邊界條件都對(duì)固有頻率有影響;(2)固有頻率隨體積分?jǐn)?shù)的增大呈增大趨勢(shì)，但變化不顯著;(3)材料組分對(duì)固有頻率的影響較大，且周向波數(shù)n越大，影響越顯著;(4)邊界條件對(duì)固有頻率的影響很大，且主要表現(xiàn)在周向波數(shù)n≤3的情況下;(5)不同邊界條件下的固有頻率有著相似的變化規(guī)律，又以C-C邊界條件下的固有頻率最大，S-S邊界條件下的固有頻率最小。

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