高等數(shù)學(xué)教學(xué)中易錯的二個問題

羅星海

(湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研處，湖北武漢430079)

高等職業(yè)教育快速發(fā)展，招生規(guī)模不斷增加，高等數(shù)學(xué)教學(xué)壓力增大，學(xué)校聘請一些名校的博士、碩士來校上課，作為學(xué)院的中老年數(shù)學(xué)教師，在聽課中發(fā)現(xiàn)外聘教師二個常犯的教學(xué)錯誤，分析出錯原因，供教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)參考。

1 洛必達法則求極限

錯誤原因:洛必達法則誤用。

定理(洛必達法則)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足:

(2)g'(x)≠0;

正確解法如下:

使用洛必達法則求數(shù)列極限應(yīng)注意:不能直接應(yīng)用該法則，可先求對應(yīng)的函數(shù)極限，再根據(jù)海涅定理得到數(shù)列的極限。

海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限可化為求數(shù)列極限，同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。此處，只討論將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限問題，以便能正確使用洛必達法則。

這樣教學(xué)，高職學(xué)生顯然無法聽懂，用極限的“ε－N”定義證明數(shù)列的極限不是高職教學(xué)之重點，但采用洛必達法則求極限的方法證明，學(xué)生比較易于接受。

證法二:由洛必達法則

由海涅定理

2 定積分的定義

定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上有界，在區(qū)間［a，b］上任意插入n－1個分點

a=x0＜ x1＜ x2＜ … ＜ xi－1＜ xi＜ … ＜ xn－1＜ xn=b，把區(qū)間［a，b］分成 n個小區(qū)間:［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xi－1，xi］，…［xn－1，xn］，各個小區(qū)間的長度分別記為

△xi=xi－ xi－1(i=1，2，…，n).在每個小區(qū)間［xi－1，xi］上，任取一點 ξi(xi－1≤ξi≤xi)，得相應(yīng)的，作乘積 f(ξi)△xi(i=1，2，…，n)，得和式，當 n無限增大時，如果上述和式的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上可積，并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的定積分.記作

錯誤原因:理解有誤，以為n→+∞就可實現(xiàn)［a，b］的無限細分，“任意插入n－1個分點”與“均勻插入n－1個分點”是完全不同的，當將［a，b］平均分成n等份時，n→+∞可以保證所有△xi→0，否則，當n→+∞ 時，不能保證所有△xi→0。如，在［a，b］插入 c(a＜c＜b)，再在［a，c］內(nèi)插入 n－2個分點，這樣當n→+∞時，△xn=b－c不趨于0。

正確定義是:設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間［a，b］上有界，在區(qū)間［a，b］上任意插入n－1個分點

a=x0＜ x1＜ x2＜ … ＜ xi－1＜ xi＜ … ＜ xn－1＜ xn=b，把區(qū)間［a，b］分成 n個小區(qū)間:［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xi－1，xi］，…［xn－1，xn］，各個小區(qū)間的長度分別記為

△xi=xi－ xi－1(i=1，2，…，n).在每個小區(qū)間［xi－1，xi］上，任取一點得相應(yīng)的函數(shù)值 f(ξi)，作乘積 f(ξi)△xi(i=1，2，…，n)，得和式，令 λ =max{△xi}(i=1，2，…，n)，當n無限增大且λ→0時，和式極限存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上可積，并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的定積分.記作

例2 利用定積分概念求極限

解:設(shè)f(x)=x，在區(qū)間［0，1］內(nèi)插入 n－1個分點，將區(qū)間［0，1］分成n等份，這樣1，2，…，n)，在第i個小區(qū)間上取右端點為

解:函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］上有界連續(xù)函數(shù)，顯然可積。在區(qū)間［0，1］內(nèi)插入n－1個分點，將區(qū)間［0，1］分成 n等份在第i個小區(qū)間上取右端點為于是

分母的極限

例2和例3可以看出，為了計算方便，一般將積分區(qū)間［a，b］分成n個區(qū)間長度相等的小區(qū)間，每個，于是，當n→∞時，也就能保證λ=Max{△xi}→0，這也就是為什么一些碩士、博士生教學(xué)時，將λ→0誤解為n→∞是等效的根本原因。