楊士莪

(哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

迄今為止，對(duì)于聲在隨機(jī)介質(zhì)中傳播起伏問(wèn)題的研究，絕大部分僅限于無(wú)限介質(zhì)的環(huán)境條件，很少有人討論波導(dǎo)傳播所可能附加的效應(yīng).而且除Rytov方法以外，所利用的數(shù)學(xué)工具，如Feynman所提出的路徑積分等方法，多數(shù)工程技術(shù)人員也都很不熟悉［1-3］.為此，采用逐次近似方法討論在波導(dǎo)條件下，聲傳播起伏的某些特點(diǎn)，將是有實(shí)際參考意義的.為了數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)便，文中將僅限于討論點(diǎn)源聲波在具有絕對(duì)軟上邊界，和半無(wú)限流體介質(zhì)下邊界的平面平行波導(dǎo)中的傳播，且波導(dǎo)和下半空間中的介質(zhì)總體均勻，其平均聲速和密度分別為:c0、ρ0、c1、 ρ1，但上、下方介質(zhì)中均具有隨機(jī)的微弱不均勻起伏，這樣將仍能反映出介質(zhì)起伏對(duì)聲信號(hào)傳播的主要影響規(guī)律.

1 聲場(chǎng)基本方程式

取直角坐標(biāo)，令波導(dǎo)深度為H，聲源位于z軸上深度為zs處，這時(shí)波導(dǎo)中及下方介質(zhì)中聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)φ(0)(r)、φ(1)(r)應(yīng)滿足的微分方程式可分別寫為

式中，Zn(z，x，y)為第n階局地簡(jiǎn)正波，并應(yīng)滿足下列方程式與邊界條件:

將Zn寫為ε的冪級(jí)數(shù)，即

將此表示代入式(4)，按照ε的同冪次項(xiàng)進(jìn)行整理后，可分別得到:

上述公式及今后為了書寫簡(jiǎn)便起見(jiàn)，對(duì)φ、ψ、Z等函數(shù)，當(dāng)其有關(guān)公式基本相同時(shí)，即省略各函數(shù)的肩標(biāo)，而不再分別列出.已知對(duì)兩層均勻介質(zhì)的Pekeris波導(dǎo)有:

根據(jù)式(12)、(13)求解聲場(chǎng)的一次近似時(shí)，可選用以下函數(shù)做為微分方程的2個(gè)線性獨(dú)立解:

依照二階微分方程求特解的方法，最后可得

其中:

Λn、Δn均為與隨機(jī)量無(wú)關(guān)的確定性函數(shù).由于原所選取的G1、G2均滿足邊界條件(11)，故可知上式給出的Zn1的解，也必然滿足給定的邊界條件.按照以上方法，可依次求得更高階的近似，可以看出，Zn的各高階近似，將相應(yīng)的含有μ(x，y，x)的高冪次項(xiàng).為簡(jiǎn)便，在此將僅考慮Zn的一階近似.

2 信號(hào)起伏的時(shí)空相關(guān)函數(shù)

首先計(jì)算各ψn的近似值.根據(jù)耦合簡(jiǎn)正波方法，利用各階簡(jiǎn)正波的正交性，忽略局地簡(jiǎn)正波空間變化的二階小量，可得:

對(duì)于不存在隨機(jī)不均勻體的兩層液態(tài)介質(zhì)波導(dǎo)來(lái)說(shuō)，作為0階近似有其中并滿足上式右端為0的微分方程式.注意到，故上式等號(hào)右邊的項(xiàng)可視為當(dāng)波導(dǎo)中存在隨機(jī)不均勻體時(shí)，引發(fā)聲場(chǎng)水平勢(shì)函數(shù)分量修正值的二次聲源.同樣將ψn展開寫成ε的冪級(jí)數(shù):

若僅考慮一階近似，可得:

若需要計(jì)算ψn的更高階近似，可依前述利用逐次近似法進(jìn)行.當(dāng)僅考慮一階近似時(shí)，可得到波導(dǎo)中信號(hào)起伏值為

從上式中可以看出，由于波導(dǎo)中存在隨機(jī)起伏的不均勻體，不僅各階局地簡(jiǎn)正波有變化，且各階勢(shì)函數(shù)水平分量也有變化.需要注意的是:這時(shí)ψn與Zn均不是μ(x，y，z)的線性函數(shù)，因此即μ(x，y，z)服從0均值的Gauss分布規(guī)律，波導(dǎo)中信號(hào)起伏一般也不遵從Gauss規(guī)律，僅在一級(jí)近似條件下，可以近似的認(rèn)為服從Gauss規(guī)律.

利用式(15)計(jì)算信號(hào)起伏的水平和垂直相關(guān)函數(shù)時(shí)，考慮到各不同階簡(jiǎn)正波相互干涉，其空間平均值近似為0，因而可以僅計(jì)算相同階簡(jiǎn)正波的結(jié)果;同時(shí)還可以考慮到，聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)水平分量的起伏，和介質(zhì)起伏的空間梯度有關(guān)，而簡(jiǎn)正波的起伏則與介質(zhì)起伏直接相關(guān)，因而可認(rèn)為ψn1與Zn1相互獨(dú)立，其統(tǒng)計(jì)平均值也可以忽略.從而得到如下公式:

設(shè)介質(zhì)起伏的空間相關(guān)函數(shù)為

經(jīng)過(guò)若干計(jì)算后可得:

1)波導(dǎo)中信號(hào)起伏的均方值:

2)波導(dǎo)中信號(hào)起伏的垂向相關(guān)系數(shù):

3)波導(dǎo)中信號(hào)起伏的縱向相關(guān)系數(shù):

4)波導(dǎo)中信號(hào)起伏的橫向相關(guān)系數(shù):

其中:

從上述各表達(dá)式可以看出，無(wú)論是波導(dǎo)中信號(hào)起伏的均方值，抑或是信號(hào)起伏的各項(xiàng)空間相關(guān)函數(shù)，都將和接收點(diǎn)與聲源的相對(duì)位置有關(guān).由于具體公式的復(fù)雜性，很難直接從解析公式中看出應(yīng)有的規(guī)律，而需要利用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行分析討論.由于篇幅的限制，具體的仿真計(jì)算結(jié)果，以及試驗(yàn)驗(yàn)證情況，將在后續(xù)文章中給出.

3 結(jié)論

文中介紹了一種利用逐次近似法，分析當(dāng)介質(zhì)環(huán)境存在微小擾動(dòng)時(shí)，聲在波導(dǎo)中遠(yuǎn)距離傳播情況下的起伏方法.從有關(guān)計(jì)算過(guò)程中可以看出，由于波導(dǎo)中存在隨機(jī)起伏的不均勻體，在聲波傳播過(guò)程中，不僅各階局地簡(jiǎn)正波有變化，且各階勢(shì)函數(shù)水平分量也有變化.需要注意的是:這時(shí)ψn與Zn均不是μ(x，y，z)的線性函數(shù)，因此即或μ(x，y，z)服從0均值的Gauss分布規(guī)律，波導(dǎo)中信號(hào)起伏一般也不遵從Gauss規(guī)律，僅在介質(zhì)起伏率甚小的一級(jí)近似條件下，可以近似的認(rèn)為服從Gauss規(guī)律.隨著傳播距離的竲加，高階簡(jiǎn)正波逐漸衰減，信號(hào)起伏的空間相關(guān)將會(huì)逐漸竲大，但具體的規(guī)律十分復(fù)雜，將在后繼工作中借助數(shù)值分析進(jìn)行討論.

［1］YANG Shie.Theory of underwater sound propagation［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社，2009.

［2］FLATTE S M.Sound transmission through a fluctuating ocean［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1979.

［3］Ярощук И О，Гулин О Э.Метод статистичекого моделирования в зачах гидроакутики.Владивосток Дальнаука，2002.

［4］BERTSATOS I.General second-order covariance of Gaussian maximum likelihood estimates applied to passive source localization in fluctuating waveguides［J］.The Journal of Acoustical Society of America.2010，128(5):2635-2651.