熊青厚

1.課例背景

時常聽數(shù)學(xué)課，有種“趕”的感覺，一道題目剛出示，便催著學(xué)生說思路，有時學(xué)生連題目都沒看清，就提問怎樣解答，老師總想在有限的一節(jié)課里多講一些題，更想讓學(xué)生多練一些題，總覺著一節(jié)課時間太短，生怕課堂計劃完不成，老師教得辛苦，學(xué)生聽得痛苦.在一次備課組內(nèi)的教研活動中，筆者想做一些嘗試，一節(jié)復(fù)習(xí)課只講了一道題，通過課前的精心預(yù)設(shè)，課堂上師生的積極參與和有效互動，覺得比起多講幾題，然后強化訓(xùn)練效果要好，課后備課組進行了認真的討論，資深老師作了詳細點評，本節(jié)課的成敗得失漸漸清晰明了.在各位老師的幫助下，我又對這節(jié)課做了及時的反思，有了些許感悟.現(xiàn)收錄如下，進一步求教于專家和同行.

2.課堂簡錄

師：前面我們學(xué)習(xí)了和、差、倍、半的三角函數(shù)公式，也補講了萬能公式，這節(jié)課，我們對這些內(nèi)容進行復(fù)習(xí)，請思考下面一題的證法.（教師出示題目）

題 求證：1+玸in4θ-玞os4θ[]2玹anθ=1+玸in4θ+玞os4θ[]1-玹an2θ.

三分鐘后，叫第一名學(xué)生回答.

生1：我用了“1”的代換及倍角的正、余弦公式.

證1 左=玸in2θ+玞os2θ+2玸in2θ·玞os2θ-(玞os22θ-玸in22θ)[]2玹anθ,做不下去了！

師：能想到“1”的代換及倍角的正、余弦公式，很不錯，可惜沒有做出來，大家能否幫幫他？

見沒有響應(yīng)，老師只好請了生2.

生2：我覺得生1的變形有些盲目，按他的思路我也不知該怎樣做下去，我的思路是這樣的.生2迫不及待地說出了證2.

證2 原式等價于1+玸in4θ-玞os4θ[]1+玸in4θ+玞os4θ=2玹anθ[]1-玹an2θ=玹an2θ.プ蟊=1-(1-2玸in22θ)+2玸in2θ·玞os2θ[]1+(2玞os22θ-1)+2玸in2θ·玞os2θ=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)=玹an2θ.

師：很好！先將要證的等式合理變形，不失為一種巧思妙想，看來見“1”找余弦還是深入人心的嘛！（生笑）同學(xué)們還有沒有其他證法？

生3：我將所證式子兩邊分別變形，注意異名化同名，正切化正、余弦就可以了.

證3 左=1+玸in4θ-(1-2玸in22θ)[]2玸inθ[]玞osθ=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]2玸inθ[]玞osθ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ).

右=1+2玸in2θ玞os2θ+(2玞os22θ-1)[]1-玹an2θ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ[]玞os2θ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)，

所以原式成立.

師：說得好，“異名化同名，異角化同角”這種求同意識很重要.證法3與證法2有什么聯(lián)系?

生眾:所用公式基本相同，還是證2簡單些.

師：看來合理變形是必要的.有沒有其他的變形方式呢？

生4舉起了手，給出了證法4.

證4 原式等價于(1+玸in4θ-玞os4θ)(1-玹an2θ)=(1+玸in4θ+玞os4θ)·2玹anθ.

上式左=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)·玞os2θ[]玞os2θ=玸in4θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ,

右=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)·2玸inθ[]玞osθ=玸in4θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ，ニ以原式成立.

師：大家思路很活躍，已經(jīng)想出了好幾種證法.回過頭我們再看看，生1的思路真的行不通嗎？

生5：我覺得生1的思路沒問題.可以這樣做：

證5 左=(玸in2θ+玞os2θ)2-(玞os22θ-玸in22θ)[]2玹anθ=(玸in2θ+玞os2θ)·2玸in2θ[]2玸inθ[]玞osθ.以下同證3.

師：非常好，我們在進行“1”的代換時，要選擇合適的角.

3.反思與感悟

（1）關(guān)于習(xí)題課的授課模式和課堂容量.一般情況下，按照知識點回顧、典型例題講解、練習(xí)鞏固三步進行，為了趕進度，完成教學(xué)計劃，追求課堂容量，往往不能給學(xué)生足夠的思考問題的時間，學(xué)生由老師牽著走，老師掌控全局，學(xué)生的思路稍有出入，便會被老師生拉硬拽回既定軌道，以最大限度地節(jié)約教學(xué)時間.這樣的課堂模式化太濃，學(xué)生不能自由發(fā)揮，不能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，不能凸顯學(xué)生的主體地位.放手讓學(xué)生自由思考，自由發(fā)揮，盡管費時，但學(xué)生在實實在在的探索中深刻領(lǐng)悟知識的來龍去脈，體驗發(fā)現(xiàn)和探索的成功與快樂，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì).我們實在沒必要在乎一節(jié)習(xí)題課到底講了幾道題，做了多少鞏固性練習(xí)！

（2）解法多多益善嗎？有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師大多都有一題多解、一題多變、一題多用、多題一解的意識和追求，但須要考慮學(xué)生的實際與接受水平，不能為變而變，“變”的目的或為了知識的融會貫通，或為了概念對比辨析，或為了開闊學(xué)生視野，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，或為了數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會.總之，不能盲目追求方法的多樣化，一題多解后應(yīng)對方法進行比較與優(yōu)化，從中篩選出自然簡捷的方法，為后續(xù)解題做好儲備.本節(jié)課在方法的提煉、合并與歸納方面做得不夠，受到了備課組老師的批評.我想，今后備課、授課必須冷靜地、深入細致地思考這一問題.

（3） 數(shù)學(xué)課堂應(yīng)是真實的、自然的、從容的、美好的.教無定法，貴在得法.教學(xué)過程中充分尊重學(xué)生的勞動和思維習(xí)慣，教學(xué)過程順乎自然，不做刻意雕琢，真實地展現(xiàn)學(xué)生的疑惑、老師的啟發(fā)與點評、學(xué)生的興奮狀態(tài)、課堂的有效生成情況，沒有此起彼落的陣陣掌聲和虛假的熱鬧場景，同樣可以強烈地感受到生動鮮活的課堂氛圍和學(xué)生的火熱思考.真實是美好的生命底色，真實給人以親近之感，尤其在講解的過程中，非常關(guān)注不同學(xué)生的思維層次，在通性通法的基礎(chǔ)上展示學(xué)生的巧思妙解，點評力求恰到好處且有針對性，不浮夸、不掩飾，表揚與批評真情流露，讓成功者滿心歡心，讓失敗者也心情舒坦.打造和諧靈動的、火花四濺的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)是我們努力的方向！

（4）既重視課前精心預(yù)設(shè)，更關(guān)注課堂有效生成.教師備課主要備什么？備教材、備大綱、備學(xué)情.任何脫離學(xué)生實際的教學(xué)設(shè)計都是徒勞的，任何超越學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”津津有味的講解都是無效的.從教學(xué)方面講，要強調(diào)精心預(yù)設(shè)，課前盡可能預(yù)計和考慮學(xué)生學(xué)習(xí)活動的各種可能性，減少低水平和可預(yù)知的“生成”，激發(fā)高水平和精彩的生成.恰當(dāng)?shù)刈プ∩傻臅r機和資源，能夠更大程度地提高教學(xué)的有效性.當(dāng)學(xué)生被激發(fā)起“興奮”的學(xué)習(xí)狀態(tài)而發(fā)表精彩的觀點時，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)理解或誤解的“錯誤”時，當(dāng)師生互動中學(xué)生“隨機”冒出精彩火花時，當(dāng)學(xué)生的表情出現(xiàn)“細微”的變化時，當(dāng)教師設(shè)身處地地“換位”思考時，都是意外生成資源利用的大好時機.力爭使課堂教學(xué)因預(yù)設(shè)而有序，因生成而精彩！