林鐵峰

摘要： 函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，而作為函數(shù)當(dāng)中的代表，二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的地位更是重中之重，二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式這三個二次式間的關(guān)系十分密切，本文從二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系這一層面，向讀者闡述了它們的關(guān)系，希望收到以點代面的效果.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù)一元二次方程實根

對于一元二次方程y=ax■+bx+c的根的個數(shù)問題，我們立即會想到方程對應(yīng)的判別式△=b■-4ac的便利性.當(dāng)△>0時，方程有兩實根；當(dāng)△=0時，方程有一實根；當(dāng)△<0時，方程沒有實根.當(dāng)然對于根的求解我們還有公式：x■=■.此外我們也常用配方法或十字相乘法解決根的求解問題.其中韋達定理的使用頻率也很高.但是隨著學(xué)習(xí)的深入，我們卻發(fā)現(xiàn)，只有上面的一些知識顯然不能解決與一元二次方程相關(guān)的更多問題，而此時，在復(fù)習(xí)中我們學(xué)習(xí)了一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)三者之間的關(guān)系，從而加深了對此類問題的認識.本文結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，討論一元二次方程的一類問題，即根的分布問題.

例1.已知二次函數(shù)f（x）=ax■-（a+2）x+1，

（1）若方程ax■-（a+2）x+1=0的兩根皆正根；

（2）若方程ax■-（a+2）x+1=0的兩根一正一負；

（3）若函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）由函數(shù)的圖像及韋達定理得：方程ax■-（a+2）x+1=0中△=a■+4>0

所以，設(shè)方程的兩根為：x■，x■，則x■+x■=■>0x■x■=■，得：a>0.

（2）（法一）同理可得：x■x■=■<0，得a<0.

（法二）由函數(shù)圖像得，當(dāng)函數(shù)圖像開口向上時，因為f（0）=1>0，由圖像得若方程的兩實根一正一負，則有a<0.

（3）∵f（x）=ax■-（a+2）x+1，

△=（a+2）■-4a=a■+4>0，

∴函數(shù)f（x）=ax■-（a+2）x+1必有兩個不同的零點，因此f（-2）f（-1）<0，

∴（6a+5）（2a+3）<0，∴-■

對于上題，若把題目改為：“若方程ax■-（a+2）x+1=0的兩根一個大于3，一個小于3.”結(jié)合圖像可得，當(dāng)函數(shù)f（x）=ax■-（a+2）x+1的圖像開口向上時，只需f（3）<0；當(dāng)函數(shù)f（x）=ax■-（a+2）x+1的圖像開口向下時，只需f（3）>0；故可求得a的取值范圍是（-■，0）∪（0，■）.圖像的魅力一覽無余.

上題為方程的根分布在一個數(shù)的兩側(cè)時的情況，若改為同一側(cè)呢？

例2.已知方程x■+2mx-m+12=0的兩個根都大于2，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：令f（x）=x■+2mx-m+12，

由方程的兩個根都大于2，則-m>2f（2）>0△=4m■+4，m-12≥0

解得-■

下面來看看此類問題的應(yīng)用.

例3.已知f（x）=-3x■+a（6-a）x+b.若方程f（x）=0有一根小于1，另一根大于1，當(dāng)b>-6且b為常數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍.

解：∵-3<0，由圖知，只需f（1）>0便可滿足題意.

∴-3+a（6-a）+b>0？圯a■-6a+3-b<0？圯3-■

從以上問題我們可以發(fā)現(xiàn)，如果我們能用函數(shù)的圖像來研究一元二次方程的根的一些問題，那么這些問題的解決就會更加便捷.數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時少自覺，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事非.這話說得非常有道理.