趙江林 孫瑾

摘要：本文以二項(xiàng)分布為基礎(chǔ)，建立一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)收益模型作為證券交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的理論依據(jù)。該模型從理論和實(shí)證上證明：在單次交易的收益率不變以及不考慮交易成本的條件下，交易策略的長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)不依賴于交易次數(shù)，只取決于正收益相對(duì)負(fù)收益的幅度，而不取決于正收益在總交易次數(shù)中的比率。該模型作為風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估工具為證券交易策略提供了理論基礎(chǔ)，同時(shí)給出了通過(guò)計(jì)算交易策略的alpha值來(lái)估計(jì)其長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)方法。

關(guān)鍵詞：交易策略；風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估；收益

Abstract：This paper sets up a risk-benefit model based on binomial distribution in order to provide theoretical foundation for risk assessment on securities trading strategy. This model proves from both theoretical and practical views that under some conditions the long-term risks of trading strategy are not relative to the number of transactions or the ratio of the number of positive-benefit transactions over the total number of transactions，they are only rely on the extent of positive benefits over negative benefits. This model as a tool of risk assessment provides basic foundation for securities trading strategies and gives a forecasting method to estimate long-term risks by calculating the value of alpha of trading strategy.

Key Words：trading strategy，risk assessment，benefit

中圖分類號(hào)：F830文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-2265（2012）10-0003-05

一、引言

自上個(gè)世紀(jì)50年代以來(lái)，大量學(xué)者研究證券市場(chǎng)中資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與收益率的關(guān)系。馬科維茨（Markowitz，1952）的投資組合理論奠定了風(fēng)險(xiǎn)和收益關(guān)系研究的基石，并導(dǎo)致了現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的發(fā)展?；谠撏顿Y組合理論，夏普（Sharp，1964）、林特納（Lintner，1965）和莫辛（Jan Mossin，1966）提出CAMP資本資產(chǎn)定價(jià)模型，根據(jù)市場(chǎng)走勢(shì)預(yù)測(cè)選擇不同的證券組合以規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、獲得較高收益。隨著證券市場(chǎng)的發(fā)展，羅斯（Ross，1976）提出APT套利定價(jià)理論，默頓（Merton，1973）提出OPT期權(quán)定價(jià)理論。這些理論模型在投資組合績(jī)效、證券估價(jià)、證券投資等領(lǐng)域成為里程碑式的投資模型，得到了廣泛應(yīng)用。然而，這些經(jīng)典模型以及后來(lái)布里登（Breeden，1979）、里昂諾姆（Reinganum，1981）、陳浪南等（2000）、靳云匯等（2001）都集中在對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)性的研究上，很少涉及到交易策略的風(fēng)險(xiǎn)研究；康拉德和考爾（Conrad和Kaul，1998）研究了交易策略，但沒(méi)有具體研究交易策略的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方面。投資組合的風(fēng)險(xiǎn)性和交易策略的風(fēng)險(xiǎn)性存在一定差別：前者屬于投資標(biāo)的選擇策略范疇，而后者屬于操作層面的交易策略范疇；投資標(biāo)的本身的風(fēng)險(xiǎn)具有不可控性，而操作策略往往能夠通過(guò)諸如“止盈”或者“止損”等手段來(lái)有效控制投資標(biāo)的自身帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

盡管目前一些理論試圖揭示證券市場(chǎng)復(fù)雜行為的原因，并預(yù)測(cè)投資標(biāo)的的未來(lái)行為，但是這方面的研究進(jìn)展仍很緩慢，甚至大多數(shù)成功的投資者也認(rèn)為，復(fù)雜的市場(chǎng)行為是不可預(yù)測(cè)的。巴菲特說(shuō)過(guò)，他從不預(yù)測(cè)市場(chǎng)，也沒(méi)有人能夠預(yù)測(cè)市場(chǎng)。當(dāng)人們總結(jié)這些投資者投資成功的原因時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們往往非常注意投資風(fēng)險(xiǎn)的控制，盡管他們也很重視對(duì)投資標(biāo)的的選擇，但從不對(duì)市場(chǎng)做出堅(jiān)決的預(yù)期。這說(shuō)明，復(fù)雜的市場(chǎng)行為至今仍是人類未解之謎，而包括風(fēng)險(xiǎn)控制和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估在內(nèi)的交易策略的風(fēng)險(xiǎn)研究在實(shí)際投資過(guò)程中的作用往往重要于投資組合或者投資標(biāo)的本身的風(fēng)險(xiǎn)研究，也就是交易策略的制定比投資組合策略的選擇重要得多。

由于交易策略的制定，每一次投資的收益率往往是可控的，因此我們可以假設(shè)其單次投資的收益率是固定的。在本文中，我們以熟悉的二項(xiàng)分布為基礎(chǔ)，建立了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)—收益模型，結(jié)果證明該模型能夠作為交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的一個(gè)理論基礎(chǔ)。該模型把目前關(guān)于交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法中常用的正收益比率與收益率聯(lián)系起來(lái)，改進(jìn)了評(píng)估方法。

二、 交易策略虧損概率的測(cè)算

（一）正收益交易的概率函數(shù)

我們假設(shè)某個(gè)投資者按照既定的交易策略，比如設(shè)定“止盈”和“止損”收益率等，進(jìn)行了一系列交易，投資者的初始資金為 ，并且每一次正收益交易的收益率為常數(shù) ，負(fù)收益交易的收益率為常數(shù)，則總收益率可以表示為：

這里， ；分別代表正收益交易和負(fù)收益交易的次數(shù)。我們感興趣的是總收益率小于零的條件：

即：

這里：。

在 次交易中，我們想知道發(fā)生 次正收益交易的概率是多大？顯然， 次正收益交易和

次負(fù)收益交易的順序可能不一樣，因此，交易次數(shù)為 的交易過(guò)程將有總共Q種可能的情況出現(xiàn)。

這里C 表示組合數(shù)。另外，發(fā)生 次正收益交易的可能性有M種。

于是，出現(xiàn) 次正收益交易的概率為：

該概率函數(shù)是歸一的，即：

顯然，這就是人們熟悉的二項(xiàng)分布。累計(jì)概率函數(shù)于是可以表達(dá)為：

（二）辛苦系數(shù)

當(dāng)正增長(zhǎng)率 和負(fù)增長(zhǎng)率 一定時(shí)，在 次交易中，正收益的交易次數(shù)小于次將導(dǎo)致總收益率小于零。這是個(gè)臨界正交易次數(shù)，即 ；

又由于 ，因此我們可以把這個(gè)臨界次數(shù)表達(dá)為：

這里，符號(hào)[]表示取整的意思，并且：

它是一個(gè)臨界的正交易比率，正交易比率就是正收益的交易次數(shù)占總交易次數(shù)的比例，也就是所謂的“勝率”。這里我們不妨稱這個(gè)臨界值為“辛苦系數(shù)”，它表明投資者在目前的正收益率和負(fù)收益率交易水平下，至少要保證總交易次數(shù)中的 比例是正收益，才能使最后的總收益率為正。顯然根據(jù)前面

的表達(dá)式，我們可以得到“辛苦系數(shù)”與單次收益率的關(guān)系：

假設(shè) ，并在圖1中畫(huà)出曲線。從圖中可以看出，單次負(fù)收益率相對(duì)正收益率越大，值越大，說(shuō)明投資者想要最后獲得正收益率就需要更多的單次正收益交易，就越“辛苦”。

（三）未來(lái)虧損概率

定義未來(lái)虧損概率為：假設(shè)保持現(xiàn)有的單次正增長(zhǎng)率和負(fù)增長(zhǎng)率的增長(zhǎng)模式，未來(lái)在一個(gè)較大的交易次數(shù) 下，總收益率虧損的概率。未來(lái)虧損概率實(shí)際上就是某一個(gè)交易策略的長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)這個(gè)定義，我們知道它等于累計(jì)概率函數(shù)（7）：

方程（11）的解析表達(dá)式為：

這里， 是 Gamma 函數(shù)，是超幾何函數(shù)，從而構(gòu)建了交易策略的風(fēng)險(xiǎn)收益模型。

方程 （12） 就是未來(lái)虧損概率的表達(dá)式，它是一個(gè)在交易次數(shù) 時(shí)與 無(wú)關(guān)的函數(shù)，這就為我們?cè)u(píng)估交易策略提供了很好的工具，因?yàn)槲磥?lái)無(wú)論 和

如何配置都不影響未來(lái)的虧損概率，它是一個(gè)能反映交易策略長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)的特征函數(shù)。圖2 根據(jù)方程 （12）給出了未來(lái)虧損概率與交易次數(shù)在不同“辛苦系數(shù)”下的關(guān)系，顯然，當(dāng)交易次數(shù)很大時(shí)，未來(lái)虧損概率是穩(wěn)定的；并且投資者越“辛苦”，其未來(lái)虧損的概率就越大。

三、Monte Carlo模擬

為了驗(yàn)證前面所述的模型，我們進(jìn)行了Monte Carlo 模擬。Monte Carlo 模擬是一種用以替代真實(shí)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)方法，它通過(guò)隨機(jī)抽樣的方法來(lái)模擬自然界中的各種隨機(jī)現(xiàn)象或者實(shí)現(xiàn)各種計(jì)算要求。我們假設(shè)一次試驗(yàn)過(guò)程包括 次交易，而每次交易的收益率不是正的就是負(fù)的；另外，出現(xiàn)正收益和負(fù)收益的概率是相等的。于是我們就可以計(jì)算出這樣一次試驗(yàn)的總收益率。我們重復(fù)這樣的試驗(yàn) 次，并且統(tǒng)計(jì)每次試驗(yàn)的交易總收益率

的次數(shù)，就可以得到在常數(shù)參數(shù) 、和的條件下，該交易策略的虧損概率 。當(dāng)我們?cè)诿恳淮卧囼?yàn)中選擇很大的交易次數(shù)時(shí)，便可得到未來(lái)虧損概率。圖3給出了計(jì)算流程圖。

方程（12）描述了在交易次數(shù)情況下，虧損概率與辛苦系數(shù) 的關(guān)系。從圖4中可以看出，未來(lái)虧損概率與辛苦系數(shù)存在正相關(guān)的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以劃分為三個(gè)區(qū)域：在辛苦系數(shù)小于0.4的區(qū)域，未來(lái)虧損概率幾乎為零；辛苦系數(shù)在0.4—0.6之間的區(qū)域，未來(lái)虧損概率顯著上升；而在辛苦系數(shù)大于0.6的區(qū)域，未來(lái)虧損概率幾乎為1。事實(shí)上，辛苦系數(shù)是關(guān)于單次收益率和的函數(shù)，因此我們可以通過(guò)某交易策略的單次收益率情況來(lái)判斷其未來(lái)存在的交易風(fēng)險(xiǎn)。

我們分別模擬了對(duì)應(yīng)這三個(gè)區(qū)域的虧損概率與交易次數(shù)的關(guān)系，其結(jié)果與方程（12）得到的理論值符合得很好。圖5給出了模擬值與理論值的比較。從圖中可以看到，當(dāng)交易次數(shù) 很大時(shí)，虧損概率趨向一個(gè)穩(wěn)定值，這說(shuō)明如果一個(gè)投資者堅(jiān)持在一個(gè)常數(shù)的單次（正負(fù)）收益率的交易模式下進(jìn)行交易，那么這個(gè)投資者長(zhǎng)期的收益率出現(xiàn)虧損（或者盈利）的風(fēng)險(xiǎn)也是固定的。另外，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與“辛苦系數(shù)”有關(guān)，“辛苦系數(shù)”越大，虧損概率越高；或者說(shuō)與單次交易的常數(shù)收益率有關(guān)，負(fù)收益率絕對(duì)值相對(duì)正收益率越高，虧損的風(fēng)險(xiǎn)越大。

未來(lái)虧損概率是在交易次數(shù)時(shí)的虧損概率，顯然它是個(gè)只與參數(shù)，也就是“辛苦系數(shù)”有關(guān)的量，而與交易次數(shù) 無(wú)關(guān)，換句話說(shuō)，它與單次交易的正負(fù)收益率有關(guān)。我們令單次正收益率

并給出了未來(lái)虧損概率和單次負(fù)收益率絕對(duì)值之間的關(guān)系。圖6 給出了理論值和模擬值的比較，可以看到兩者符合得很好。這說(shuō)明，我們的理論模型能夠很好地描述這樣一個(gè)基本的交易風(fēng)險(xiǎn)與收益的事實(shí)。

四、交易策略的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

我們提出的這個(gè)收益與風(fēng)險(xiǎn)模型為評(píng)估交易策略的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)提供了有力的理論支持。從上面的分析可以看出，當(dāng)單次交易的增長(zhǎng)率確定時(shí)，其交易策略在長(zhǎng)期交易下的虧損概率就是確定的，而與交易次數(shù)沒(méi)有關(guān)系。這個(gè)結(jié)論使我們科學(xué)地評(píng)估策略風(fēng)險(xiǎn)成為可能，因?yàn)樵谶@個(gè)模型下，策略的風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)由策略本身所決定的稟賦性特征，與任何交易次數(shù)或者交易時(shí)間等細(xì)節(jié)問(wèn)題無(wú)關(guān)。因此，也就可以不必對(duì)交易策略進(jìn)行耗時(shí)的實(shí)際測(cè)試，而直接判斷策略的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)了。當(dāng)然，實(shí)際的交易往往非常復(fù)雜，單次交易收益率經(jīng)常不會(huì)滿足這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)—收益模型的條件，但當(dāng)交易策略能夠長(zhǎng)時(shí)間保持一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的單次收益率時(shí)，這個(gè)模型確定的風(fēng)險(xiǎn)值就是可靠的。換句話說(shuō)，本文提出的風(fēng)險(xiǎn)—收益模型為數(shù)量化風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供了科學(xué)的理論依據(jù)。

另外，我們的評(píng)估模型也揭示出這樣一個(gè)關(guān)于投資交易的道理：一個(gè)交易策略的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)僅僅取決于正收益率相對(duì)負(fù)收益率絕對(duì)值的比值，也就是

，這個(gè)比值越大，其風(fēng)險(xiǎn)越小。換句話說(shuō)，交易的風(fēng)險(xiǎn)與發(fā)生正（負(fù)）交易的次數(shù)無(wú)關(guān)，而只與單次的正負(fù)收益率有關(guān)。我們必須保證一次或者少數(shù)幾次很高的正收益率，而其他發(fā)生負(fù)收益的交易產(chǎn)生的損失都很小，才可以保證我們長(zhǎng)期的總交易是正收益。這也就是平常投資者所說(shuō)的“大賺小賠”的投資法則。

目前，有關(guān)交易策略的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法多集中于考察交易策略所能達(dá)到的正交易比率上，也就是所謂的參數(shù)“勝率”上，然而本文的模型顯示“勝率”高的交易策略不一定未來(lái)虧損的風(fēng)險(xiǎn)就低。單次正收益率很低，但獲利次數(shù)很高，即“勝率”很高，未來(lái)虧損概率一樣會(huì)很大，這是因?yàn)閱未握找媛屎艿?，盡管正收益次數(shù)很多，但未來(lái)一次虧損就可能把以前積累的利潤(rùn)消耗盡。我們的模型把正交易比率與交易的收益率聯(lián)系起來(lái)，給出了更加科學(xué)的評(píng)估方法。

五、在交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中的應(yīng)用

我們的模型可以應(yīng)用于交易策略的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估?？梢愿鶕?jù)某個(gè)交易策略的歷史交易次數(shù)和交易收益率，把所有正收益率和負(fù)收益率分別折合成兩個(gè)復(fù)合收益率，即和；然后分別根據(jù)“辛苦系數(shù)”的計(jì)算公式（10）算出參數(shù) ；最后按照方程（12 ）可以算出該交易策略的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)概率。這個(gè)概率的含義就是，如果交易策略在未來(lái)以目前的模式繼續(xù)運(yùn)行下去的話，它的虧損概率就是。

舉個(gè)例子，假設(shè)某個(gè)交易策略產(chǎn)生了下列的收益率，如表1。首先，我們可以很容易地計(jì)算出復(fù)合收益率，即 ， -；另外根據(jù)（10）得到辛苦系數(shù) ；于是可以計(jì)算出該策略的未來(lái)虧損概率為。它表明，如果這個(gè)交易策略以后仍按這種模式運(yùn)行下去的話，其未來(lái)虧損的概率大概是0.58。這個(gè)例子表明我們可以通過(guò)計(jì)算交易策略的 值來(lái)估算它的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)，并且在這個(gè)例子中我們也看到盡管該交易策略有70%的勝率，但其未來(lái)存在的虧損風(fēng)險(xiǎn)仍然高達(dá)58%。

值得注意的是，由于實(shí)際交易中每次交易收益率是變化的，有時(shí)差別還很大，這將影響辛苦系數(shù)

值的評(píng)估效果，因此我們還需要附加計(jì)算單次收益率的方差 和。方差越小， 值的評(píng)估效果越好。另外，用戶可以選擇市場(chǎng)處于上升階段或者下跌階段計(jì)算 值，這樣評(píng)估更易于比較。

六、結(jié)論

不同于傳統(tǒng)的關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的描述，比如定義風(fēng)險(xiǎn)為收益率的方差等，本文試圖通過(guò)一些基本假設(shè)自然地推導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)的表達(dá)式。在二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)上，我們建立了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)收益模型來(lái)作為交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的理論依據(jù)。這個(gè)模型從理論上和數(shù)值實(shí)驗(yàn)上證明了：在單次交易的收益率不變以及不考慮交易成本的條件下，（1）交易策略的長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)不依賴于交易次數(shù)；（2）交易策略的長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)不取決于正收益比率；（3）交易策略的長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)只取決于正收益相對(duì)負(fù)收益的幅度。模型為風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估工具提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，并且把目前關(guān)于交易策略風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法中常用的正收益比率與收益率聯(lián)系起來(lái)，改進(jìn)了評(píng)估方法。

參考文獻(xiàn)：

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（特約編輯 齊稚平；校對(duì) GX）