蘇明強(qiáng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修改稿）在總體目標(biāo)中指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！痹谶@里明確提出“四基”（即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的目標(biāo)要求，《標(biāo)準(zhǔn)》（修改稿）還在教學(xué)建議中指出要“引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想”，這是對(duì)傳統(tǒng)“雙基”要求的繼承與發(fā)揚(yáng)，凸顯新課程對(duì)“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”目標(biāo)的關(guān)注和要求。我國基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來高度重視“雙基”的教學(xué)，并取得了舉世矚目的成績，然而，比較缺乏對(duì)“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的關(guān)注和教學(xué)，教師對(duì)數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐還不夠。筆者認(rèn)為這里的“基本思想”包括意識(shí)形態(tài)的數(shù)學(xué)思想和操作形態(tài)的數(shù)學(xué)方法兩個(gè)方面，其中，數(shù)學(xué)思想是分析解決問題的指導(dǎo)思想，數(shù)學(xué)方法是分析解決問題的操作方法；“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”包括外顯形態(tài)的操作活動(dòng)和內(nèi)蘊(yùn)形態(tài)的思維活動(dòng)兩個(gè)方面，其中，操作活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段，思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的。

下面，通過分?jǐn)?shù)加法的4個(gè)具體例子，從基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的角度分析其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，盼能為小學(xué)數(shù)學(xué)的教材分析及教學(xué)研究提供一種視角和參考。

例1： +

這是一個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的加法問題，分?jǐn)?shù)的概念和意義是解決這類問題的基礎(chǔ)，這是學(xué)生在分?jǐn)?shù)加法學(xué)習(xí)中遇到的第一個(gè)難點(diǎn)，初學(xué)者容易將分子與分子相加，分母與分母相加，得出的錯(cuò)誤結(jié)論。從數(shù)學(xué)思想的角度分析，這里蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的模型思想，它是一個(gè)分?jǐn)?shù)加法的模型，賦予情境后的模型可以描述為：一個(gè)西瓜平均切成8塊，小熊吃了這個(gè)西瓜的，大熊吃了這個(gè)西瓜的，那么小熊和大熊一共吃了這個(gè)西瓜的幾分之幾？從數(shù)學(xué)方法的角度分析，這里可以通過“數(shù)數(shù)”的方法解決問題，具體方法是：一個(gè)西瓜平均切成8塊，每塊一樣大，都是這個(gè)西瓜的，小熊吃了2塊，大熊吃了3塊，數(shù)一數(shù)，小熊和大熊一共吃了5塊，就是這個(gè)西瓜的。從操作活動(dòng)的角度分析，如果用圓片代替西瓜，那么主要包括以下操作活動(dòng)：將一個(gè)圓片平均分成8份，先涂出2份表示這個(gè)圓的，再涂出3份表示這個(gè)圓的。從數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的角度分析，這里主要包括以下思維過程：因?yàn)楸硎?個(gè)，表示3個(gè)，所以，+表示2個(gè)與3個(gè)的和，等于5個(gè)即。這是一個(gè)非常重要的思維活動(dòng)過程，它為后續(xù)解決異分母分?jǐn)?shù)加法問題奠定了思維活動(dòng)基礎(chǔ)。

例2：+

這是一個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的加法問題，是學(xué)生在分?jǐn)?shù)加法學(xué)習(xí)中的一次提升，同分母分?jǐn)?shù)的加法是解決異分母分?jǐn)?shù)加法問題的重要基礎(chǔ)。從數(shù)學(xué)思想的角度分析，這里蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，即需要將異分母分?jǐn)?shù)的加法問題轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加法問題進(jìn)行解決，這是解決這類問題的基本指導(dǎo)思想。從數(shù)學(xué)方法的角度分析，實(shí)現(xiàn)將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，采用的具體操作方法是“通分”。 “通分”是解決異分母分?jǐn)?shù)加法問題的一種有效數(shù)學(xué)方法，它的基本知識(shí)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。從操作活動(dòng)的角度分析，這里主要包括以下操作活動(dòng)過程：將大小相同的兩張正方形紙，一張折出并涂上陰影，另一張折出并涂上陰影，然后將的陰影部分剪下貼到第一張涂陰影的紙上，接著進(jìn)行觀察，體會(huì)+的具體過程。從思維活動(dòng)的角度分析，這里包括以下四個(gè)思維過程：一是主觀判斷的思維過程，+不屬于同分母分?jǐn)?shù)的問題，不能直接相加，這一主觀判斷對(duì)于問題的解決至關(guān)重要，它的知識(shí)基礎(chǔ)是同分母分?jǐn)?shù)加法；二是反思判斷的思維過程，思考與不能直接相加的根本原因，是它們的分?jǐn)?shù)單位不相同，明確了這一點(diǎn)，就能確保主觀判斷的準(zhǔn)確性；三是分析問題的思維過程，異分母分?jǐn)?shù)相加是一個(gè)新問題，必須將它轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)相加的問題，這是解決問題的關(guān)鍵性思維過程；四是解決問題的思維過程，思考2和4的最小公倍數(shù)以及與的具體通分策略等。

例3：++

從根本上看，這仍然屬于異分母分?jǐn)?shù)加法的問題，但是從形式上看，它是三個(gè)分?jǐn)?shù)相加的問題，綜合了同分母加法和異分母加法的問題，屬于同分母和異分母混合運(yùn)算的問題，它是分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算的再一次提升。從數(shù)學(xué)思想的角度分析，這里蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的優(yōu)化思想，尋找解決問題的最優(yōu)策略是數(shù)學(xué)精神的重要體現(xiàn)。從數(shù)學(xué)方法的角度分析，為了達(dá)到解題過程的進(jìn)一步優(yōu)化，利用加法交換律，采用交換后兩個(gè)分?jǐn)?shù)位置的方法。從操作活動(dòng)的角度分析，這里主要是利用加法交換律進(jìn)行具體演算的過程，即++=++。從思維活動(dòng)的角度分析，這里主要包括以下思維過程：通過觀察和比較，發(fā)現(xiàn)和這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同，而與這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不同，然后作出如下判斷：“利用加法交換律，先算與的和，再將和與相加，這樣的計(jì)算比較簡便”。

例4：++…+

從根本上看這仍然屬于異分母分?jǐn)?shù)加法的問題，但是，從形式上看，這里有兩個(gè)主要特點(diǎn)，一是分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積；二是共有18個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)相加。這樣的分?jǐn)?shù)加法問題是一種全新的挑戰(zhàn)，是分?jǐn)?shù)加法常規(guī)計(jì)算的一次飛躍和提升，通過解決這類問題，不僅思想認(rèn)識(shí)和思維水平會(huì)有很大提升，而且還可以使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的“美”和“妙”。從數(shù)學(xué)思想的角度分析，這里主要蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的變換思想，更準(zhǔn)確地說是“恒等變換”的思想，通過變換每一個(gè)分?jǐn)?shù)的外在形式而使其大小保持不變。從數(shù)學(xué)方法的角度分析，這里主要使用了“拆分”的方法，它與“通分”的目標(biāo)指向正好相反，“通分”是將兩個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)變換成一個(gè)分?jǐn)?shù)，而“拆分”是將一個(gè)分?jǐn)?shù)變換成兩個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)，如=-，=-，依此類推。從操作活動(dòng)的角度分析，這里主要是利用“拆分”的方法進(jìn)行具體變換的演算過程。從思維活動(dòng)的角度分析，這里主要包括以下思維過程：通過觀察和比較，發(fā)現(xiàn)這類問題的兩個(gè)主要特點(diǎn)，并作出判斷“這類問題不能直接用通分的方法進(jìn)行解決”，然后借助“拆分的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”展開想象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律“拆分后除了第一個(gè)分?jǐn)?shù)和最后一個(gè)分?jǐn)?shù)以外，其他相鄰的兩個(gè)分?jǐn)?shù)都分別相互抵消”，最后作出推理“它們的和就是-=”。

以上四個(gè)例子，呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)加法基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過程，外在的操作活動(dòng)和內(nèi)在的思維活動(dòng)交織成數(shù)學(xué)活動(dòng)的統(tǒng)一體，操作活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段，思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的。隨著活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將逐步從借助學(xué)具的操作活動(dòng)理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過渡到借助數(shù)學(xué)思維理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。例1和例2側(cè)重于外在操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，旨在理解同分母和異分母分?jǐn)?shù)加法的原理，例3和例4側(cè)重于內(nèi)在思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，這些基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，而在問題解決過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，是分?jǐn)?shù)加法深層次的重要內(nèi)容，它是提高問題解決能力的根本保證，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓所在，應(yīng)該引起我們教材分析和教學(xué)研究的足夠重視。?