秦麗華

算子算法是求解常系數(shù)齊次線性微分方程特解的一種方法，它比常數(shù)變易法、待定系數(shù)法和獿aplace變換法簡(jiǎn)便，和算子升降法相似，但算子升降法是把p(D)按升冪排列后去除1，除到部分商q(D)的次數(shù)與f(x)的次數(shù)相同為止，這對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)不易理解，而本文將用算子算法借助冪級(jí)數(shù)來(lái)求解常系數(shù)齊次線性微分方程的特解.

現(xiàn)在我們考慮常系數(shù)線性微分方程y(n)+a1y（n-1）+…+猘﹏-1獃′+a璶y=f(x)，這里f(x)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的線性組合.若令D琸=玠琸[]玠玿琸，其中k=0，1，…，則上邊的微分方程表示為D琻+a1D(n-1)+…a﹏-1狣y+a璶y=ゝ(x)或p(D)y=f(x).其中p(D)=D琻+a1D(n-1)+…+猘﹏-1狣y+a璶，顯然D=玠玔]玠玿是微分算子，p(D)是微分算子多項(xiàng)式.我們把1[]p(D)稱為p(D)的逆算子.所以我們可以有以下理解：

DА要f(x)玠玿=玠玔]玠玿А要f(x)玠玿=f(x).

D琸А搖∫f(x)(玠玿)琸=玠玔]玠玿∫…∫f(x)(玠玿)琸=f(x).И

反之：1[]D琸f(x)=А搖∫f(x)(dx)琸，k=0，1，…

為此，我們列出微分算子p(D)和逆算子1[]p(D)的有用性質(zhì)：

1.p(D)和1[]p(D)的互逆性：p(D)1[]p(D)f(x)=f(x),1[]p(D)(p(D)φ(x))=φ(x).

2.p(D)的線性：p(D)［φ1(x)+φ2(x)］=p(D)φ1(x)+﹑(D)φ2(x).

p(D)［cφ(x)］=c［p(D)φ(x)］.

3.p(D)的加乘運(yùn)算：

［p1(D)p2(D)］φ(x)=p1(D)［p2(D)φ(x)］.

［p1(D)+p2(D)］φ(x)=p1(D)φ(x)+p2(D)φ(x).

4.1[]p(D)的線性：1[]p(D)［c1f1(x)+c2f2(x)］=┆ヽ11[]p(D)猣1(x)+猚21[]p(D)f2(x).

5.1[]p(D)對(duì)實(shí)變量復(fù)值函數(shù)的運(yùn)算：

1[]p(D)獻(xiàn)m［u(x)+玦玽(x)］=獻(xiàn)m1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

1[]p(D)玆e［u(x)+玦玽(x)］=玆e1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

6.p(D)對(duì)指數(shù)函數(shù)玡│藊的運(yùn)算：

p(D)玡│藊=玡│藊猵(λ)，λ為常數(shù).

p(D)［玡│藊獀(x)］=玡│藊［p(D+λ)］v(x).

下面，我們依f(x)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的線性組合等情形討論計(jì)算1[]p(D)f(x).

一、當(dāng)f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵時(shí)，借助冪級(jí)數(shù)和函數(shù)求解

例1 求解方程y″+y=x2-x-2的特解.

解 (D2+1)y=x2-x-2,y=1[]D2+1(x2-x-2).

［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-x3[]3+x5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4+…

即1[]D2+1=［玜rctan玿］′.

所以1[]D2+1就取與f(x)的次數(shù)相同的多項(xiàng)式1-D2.

y=1[]D2+1(x2-x-2)=(1-D2)(x2-x-2)=x2-﹛-2-D2(x2-x-2)=x2-x-2-(x2-x-2)″=x2-x-4.

可見(jiàn)借助冪級(jí)數(shù)求解常系數(shù)線性微分方程特解，常用的冪級(jí)數(shù)和函數(shù)要記住.

如：1[]1-x=А啤轠]n=0x琻，1[]1+x=А啤轠]n=0(-1)琻x琻，1[]1-x2=А啤轠]n=0x2n.

二、當(dāng)f(x)=玡│藊，λ為一常數(shù)時(shí)，借助常規(guī)解法解，但須討論

1.如果p(λ)≠0，則1[]p(D)玡│藊=1[]p(λ)玡│藊.

2.如果p(λ)=0，則1[]p(D)玡│藊=玡│藊1[]p(D+λ)?1.

三、借助常規(guī)解法的情況

1.當(dāng)f(x)=玸inωx，ω為一常數(shù)時(shí)，也借助常規(guī)解法解，

即：1[]p(D)玸inωx=1[]p(D)獻(xiàn)me┆玦ωx=獻(xiàn)m1[]p(D)玡┆玦ωx.

2.當(dāng)f(x)=玞osωx，ω為一常數(shù)時(shí)，也用常規(guī)解法解，

即：1[]p(D)玞osωx=1[]p(D)玆e玡┆玦ωx=玆e1[]p(D)玡┆玦ωx.

3.當(dāng)f(x)=玡│藊?v(x)，λ為一常數(shù)時(shí)，也用常規(guī)解法解.

即：1[]p(D)玡│藊獀(x)=玡│藊1[]p(D+λ)?v(x).

四、當(dāng)f(x)為多個(gè)函數(shù)的線性組合時(shí)，借助冪級(jí)數(shù)求解

例2 求方程y″+y′=x2-x+2+9玸in玿-3玸in2x的一個(gè)特解.

解 y=1[]D2+1［(x2-x+2)+9玸in玿-3玸in2x］=1[]D2+1(x2-x+2)+1[]D2+1?9玸in玿-1[]D2+1?3玸in2x.

1[]1+x2=［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-﹛3[]3+獂5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4-…

ニ以1[]1+D2取1-D2，

則y=(1-D2)(x2-x+2)+1[]D2+1?9玸in玿-1[]D2+1?3玸in2x=x2-x-9[]2x玞os玿+玸in2x.

結(jié)論：從上邊的例子得出對(duì)于非齊次線性方程和方程組，如果f(x)是f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵的情況，用冪級(jí)數(shù)求解也很有意思.

同樣用算子算法解非齊次線性方程組時(shí)遇到當(dāng)f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…b﹎-1獂+b璵時(shí)，同樣可以用冪級(jí)數(shù)解決.